Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4: Тригонометрія прямокутного трикутника

Тригонометрія - це вивчення трикутників. Якщо ви знаєте кути трикутника і довжину однієї сторони, можна використовувати властивості аналогічних трикутників і пропорцій, щоб повністю вирішити для відсутніх сторін.

Уявіть, що намагаєтеся виміряти висоту прапорця. Було б дуже важко виміряти вертикально, тому що це може бути кілька історій заввишки. Замість цього ходити 10 футів і помітити, що прапор стовп робить кут 65 градусів з вашими ногами. Використовуючи цю інформацію, яка висота прапорця?

Тригонометричні функції

Шість тригонометричних функцій - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс. Opp означає сторону, протилежну кутуθ, hyp, позначає гіпотенузу, а adj означає сторону, прилеглу до кутаθ.

sinθ=opphypcosθ=adjhyptanθ=oppadjcotθ=adjoppsecθ=hypadjcscθ=hypopp

Причина, чому існують ці тригонометричні функції, полягає в тому, що два трикутники з однаковими внутрішніми кутами матимуть довжини сторін, які завжди пропорційні. Тригонометричні функції використовуються шляхом ідентифікації двох відомих фрагментів інформації на трикутнику і одного невідомого, налаштування та вирішення для невідомого. Калькулятори важливі, оскільки операції гріха, cos та tan вже запрограмовані. Інші три (cot, sec і csc) зазвичай не є в калькуляторах, оскільки між ними існує взаємний зв'язок і tan, cos і sec.

sinθ=opphyp=1cscθ
cosθ=adjhyp=1secθ
tanθ=oppadj=1cotθ

Майте на увазі, що ваш калькулятор може бути в градусному режимі або радіановому режимі. Переконайтеся, що ви можете перемикатися вперед і назад, щоб ви завжди були у відповідних одиницях для кожної проблеми.

Зверніть увагу, що зображення по всій цій концепції не намальовані в масштабі. Якби вам дали наступний трикутник і попросили вирішити для сторониb, ви б використали синус, щоб знайтиb.

sin(2π7)=b14b=14sin(2π7)10.9in

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про висоту флагштока, від якого ви знаходитесь на відстані 10 футів. Ви помічаєте, що прапорець робить65 кут ногами.

Якщо ви знаходитесь на відстані 10 футів від основи флагштока і припускаєте, що флагшток робить90 кут із землею, ви можете використовувати наступний трикутник для моделювання ситуації.

tan65=x10x=10tan6521.4ft

Приклад 2

Вирішити для кутаA.

Цю проблему можна вирішити за допомогою sin, cos або tan, оскільки всі наведені протилежні, сусідні та гіпотенузелінги.

Аргумент, або вхід, функції sin завжди є кутом. sin1θ,Функція arcsin, або на калькуляторі має аргумент, який є співвідношенням сторін трикутника.

sinA=513sin1(sinA)=sin1(513)A=sin1(513)0.39 radian 22.6

Приклад 3

Задано прямокутний трикутник зa=12 in,mB=20, іmC=90, знайти довжину гіпотенузи.

Корисно намалювати діаграму для представлення даних, наведених у питанні.

cos20=12cc=12cos2012.77in

Приклад 4

З оглядуB на,ABC де прямий кут,mC=18, аc=12. що такеa?

Розмальовуючи цей трикутник, він виглядає так:

tan18=12aa=12tan1836.9

Приклад 5

ДаноO,MNO де знаходиться прямий кутm=12, іn=14. Що таке міра кутаM?
Розмальовуючи трикутник, він виглядає так:

tanM=1214M=tan1(1214)0.7 radian 40.6

Рецензія

Для115, наведено відомості про сторони і/або кути прямокутного трикутникаABC. Повністю розв'яжіть трикутник (знайти всі відсутні сторони і кути) до 1 знака після коми.

Номер проблеми A B C a b c
1. 90       4 7
2. 90   37 18    
3.   90 15   32  
4.     90 6   11
5. 90 12   19    
6.   90     17 10
7. 90 10     2  
8. 4 90   0.3    
9. π2радіан   1 радіан     15
10.     π2радіан 12 15  
11.     π2радіан   9 14
12. π4радіан π4радіан     5  
13. π2радіан     26 13  
14.   π2радіан     19 16
15.     π2радіан

10

  102