4.4: Тригонометрія прямокутного трикутника

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.3: Спеціальні правильні трикутники
- 4.5: Закон косинусів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тригонометрія - це вивчення трикутників. Якщо ви знаєте кути трикутника і довжину однієї сторони, можна використовувати властивості аналогічних трикутників і пропорцій, щоб повністю вирішити для відсутніх сторін.

Уявіть, що намагаєтеся виміряти висоту прапорця. Було б дуже важко виміряти вертикально, тому що це може бути кілька історій заввишки. Замість цього ходити 10 футів і помітити, що прапор стовп робить кут 65 градусів з вашими ногами. Використовуючи цю інформацію, яка висота прапорця?

Тригонометричні функції

Шість тригонометричних функцій - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс. Opp означає сторону, протилежну куту $\theta,$ hyp, позначає гіпотенузу, а adj означає сторону, прилеглу до кута $\theta$ .

$\begin{aligned} \sin \theta &=\frac{o p p}{h y p} \\ \cos \theta &=\frac{a d j}{h y p} \\ \tan \theta &=\frac{o p p}{a d j} \\ \cot \theta &=\frac{a d j}{o p p} \\ \sec \theta &=\frac{h y p}{a d j} \\ \csc \theta &=\frac{h y p}{o p p} \end{aligned}$

Причина, чому існують ці тригонометричні функції, полягає в тому, що два трикутники з однаковими внутрішніми кутами матимуть довжини сторін, які завжди пропорційні. Тригонометричні функції використовуються шляхом ідентифікації двох відомих фрагментів інформації на трикутнику і одного невідомого, налаштування та вирішення для невідомого. Калькулятори важливі, оскільки операції гріха, cos та tan вже запрограмовані. Інші три (cot, sec і csc) зазвичай не є в калькуляторах, оскільки між ними існує взаємний зв'язок і tan, cos і sec.

$\sin \theta=\frac{o p p}{h y p}=\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta=\frac{a d j}{h y p}=\frac{1}{\sec \theta}$
$\tan \theta=\frac{o p p}{a d j}=\frac{1}{\cot \theta}$

Майте на увазі, що ваш калькулятор може бути в градусному режимі або радіановому режимі. Переконайтеся, що ви можете перемикатися вперед і назад, щоб ви завжди були у відповідних одиницях для кожної проблеми.

Зверніть увагу, що зображення по всій цій концепції не намальовані в масштабі. Якби вам дали наступний трикутник і попросили вирішити для сторони $b$ , ви б використали синус, щоб знайти $b$ .

$\begin{aligned} \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) &=\frac{b}{14} \\ b &=14 \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \approx 10.9 \mathrm{in} \end{aligned}$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про висоту флагштока, від якого ви знаходитесь на відстані 10 футів. Ви помічаєте, що прапорець робить $65^{\circ}$ кут ногами.

Якщо ви знаходитесь на відстані 10 футів від основи флагштока і припускаєте, що флагшток робить $90^{\circ}$ кут із землею, ви можете використовувати наступний трикутник для моделювання ситуації.

$\begin{aligned} \tan 65^{\circ} &=\frac{x}{10} \\ x &=10 \tan 65^{\circ} \approx 21.4 f t \end{aligned}$

Приклад 2

Вирішити для кута $A$ .

Цю проблему можна вирішити за допомогою sin, cos або tan, оскільки всі наведені протилежні, сусідні та гіпотенузелінги.

Аргумент, або вхід, функції sin завжди є кутом. $\sin ^{-1} \theta,$ Функція arcsin, або на калькуляторі має аргумент, який є співвідношенням сторін трикутника.

$\begin{aligned} \sin A &=\frac{5}{13} \\ \sin ^{-1}(\sin A) &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \\ A &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 0.39 \text { radian } \approx 22.6^{\circ} \end{aligned}$

Приклад 3

Задано прямокутний трикутник з $a=12$ in $, m \angle B=20^{\circ},$ і $m \angle C=90^{\circ}$ , знайти довжину гіпотенузи.

Корисно намалювати діаграму для представлення даних, наведених у питанні.

$\begin{aligned} \cos 20^{\circ} &=\frac{12}{c} \\ c &=\frac{12}{\cos 20^{\circ}} \approx 12.77 \mathrm{in} \end{aligned}$

Приклад 4

З огляду $B$ на, $\triangle A B C$ де прямий кут, $m \angle C=18^{\circ},$ а $c=12 .$ що таке $a$ ?

Розмальовуючи цей трикутник, він виглядає так:

$\begin{aligned} \tan 18^{\circ} &=\frac{12}{a} \\ a &=\frac{12}{\tan 18^{\circ}} \approx 36.9 \end{aligned}$

Приклад 5

Дано $O$ , $\triangle M N O$ де знаходиться прямий кут $m=12$ , і $n=14$ . Що таке міра кута $M$ ?
Розмальовуючи трикутник, він виглядає так:

$\begin{aligned} \tan M &=\frac{12}{14} \\ M &=\tan ^{-1}\left(\frac{12}{14}\right) \approx 0.7 \text { radian } \approx 40.6^{\circ} \end{aligned}$

Рецензія

Для $1-15$ , наведено відомості про сторони і/або кути прямокутного трикутника $A B C$ . Повністю розв'яжіть трикутник (знайти всі відсутні сторони і кути) до 1 знака після коми.

Номер проблеми	$A$	$B$	$C$	$a$	$b$	$c$
1.	$90^{\circ}$				4	7
2.	$90^{\circ}$		$37^{\circ}$	18
3.		$90^{\circ}$	$15^{\circ}$		32
4.			$90^{\circ}$	6		11
5.	$90^{\circ}$	$12^{\circ}$		19
6.		$90^{\circ}$			17	10
7.	$90^{\circ}$	$10^{\circ}$			2
8.	$4^{\circ}$	$90^{\circ}$		0.3
9.	$\frac{\pi}{2}$ радіан		1 радіан			15
10.			$\frac{\pi}{2}$ радіан	12	15
11.			$\frac{\pi}{2}$ радіан		9	14
12.	$\frac{\pi}{4}$ радіан	$\frac{\pi}{4}$ радіан			5
13.	$\frac{\pi}{2}$ радіан			26	13
14.		$\frac{\pi}{2}$ радіан			19	16
15.			$\frac{\pi}{2}$ радіан	10		$10 \sqrt{2}$