4.4: Тригонометрія прямокутного трикутника
Тригонометрія - це вивчення трикутників. Якщо ви знаєте кути трикутника і довжину однієї сторони, можна використовувати властивості аналогічних трикутників і пропорцій, щоб повністю вирішити для відсутніх сторін.
Уявіть, що намагаєтеся виміряти висоту прапорця. Було б дуже важко виміряти вертикально, тому що це може бути кілька історій заввишки. Замість цього ходити 10 футів і помітити, що прапор стовп робить кут 65 градусів з вашими ногами. Використовуючи цю інформацію, яка висота прапорця?
Тригонометричні функції
Шість тригонометричних функцій - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс. Opp означає сторону, протилежну кутуθ, hyp, позначає гіпотенузу, а adj означає сторону, прилеглу до кутаθ.
sinθ=opphypcosθ=adjhyptanθ=oppadjcotθ=adjoppsecθ=hypadjcscθ=hypopp
Причина, чому існують ці тригонометричні функції, полягає в тому, що два трикутники з однаковими внутрішніми кутами матимуть довжини сторін, які завжди пропорційні. Тригонометричні функції використовуються шляхом ідентифікації двох відомих фрагментів інформації на трикутнику і одного невідомого, налаштування та вирішення для невідомого. Калькулятори важливі, оскільки операції гріха, cos та tan вже запрограмовані. Інші три (cot, sec і csc) зазвичай не є в калькуляторах, оскільки між ними існує взаємний зв'язок і tan, cos і sec.
sinθ=opphyp=1cscθ
cosθ=adjhyp=1secθ
tanθ=oppadj=1cotθ
Майте на увазі, що ваш калькулятор може бути в градусному режимі або радіановому режимі. Переконайтеся, що ви можете перемикатися вперед і назад, щоб ви завжди були у відповідних одиницях для кожної проблеми.
Зверніть увагу, що зображення по всій цій концепції не намальовані в масштабі. Якби вам дали наступний трикутник і попросили вирішити для сторониb, ви б використали синус, щоб знайтиb.
sin(2π7)=b14b=14⋅sin(2π7)≈10.9in
Приклади
Раніше вас запитали про висоту флагштока, від якого ви знаходитесь на відстані 10 футів. Ви помічаєте, що прапорець робить65∘ кут ногами.
Якщо ви знаходитесь на відстані 10 футів від основи флагштока і припускаєте, що флагшток робить90∘ кут із землею, ви можете використовувати наступний трикутник для моделювання ситуації.
tan65∘=x10x=10tan65∘≈21.4ft
Вирішити для кутаA.
Цю проблему можна вирішити за допомогою sin, cos або tan, оскільки всі наведені протилежні, сусідні та гіпотенузелінги.
Аргумент, або вхід, функції sin завжди є кутом. sin−1θ,Функція arcsin, або на калькуляторі має аргумент, який є співвідношенням сторін трикутника.
sinA=513sin−1(sinA)=sin−1(513)A=sin−1(513)≈0.39 radian ≈22.6∘
Задано прямокутний трикутник зa=12 in,m∠B=20∘, іm∠C=90∘, знайти довжину гіпотенузи.
Корисно намалювати діаграму для представлення даних, наведених у питанні.
cos20∘=12cc=12cos20∘≈12.77in
З оглядуB на,△ABC де прямий кут,m∠C=18∘, аc=12. що такеa?
Розмальовуючи цей трикутник, він виглядає так:
tan18∘=12aa=12tan18∘≈36.9
ДаноO,△MNO де знаходиться прямий кутm=12, іn=14. Що таке міра кутаM?
Розмальовуючи трикутник, він виглядає так:
tanM=1214M=tan−1(1214)≈0.7 radian ≈40.6∘
Рецензія
Для1−15, наведено відомості про сторони і/або кути прямокутного трикутникаABC. Повністю розв'яжіть трикутник (знайти всі відсутні сторони і кути) до 1 знака після коми.
Номер проблеми | A | B | C | a | b | c |
1. | 90∘ | 4 | 7 | |||
2. | 90∘ | 37∘ | 18 | |||
3. | 90∘ | 15∘ | 32 | |||
4. | 90∘ | 6 | 11 | |||
5. | 90∘ | 12∘ | 19 | |||
6. | 90∘ | 17 | 10 | |||
7. | 90∘ | 10∘ | 2 | |||
8. | 4∘ | 90∘ | 0.3 | |||
9. | π2радіан | 1 радіан | 15 | |||
10. | π2радіан | 12 | 15 | |||
11. | π2радіан | 9 | 14 | |||
12. | π4радіан | π4радіан | 5 | |||
13. | π2радіан | 26 | 13 | |||
14. | π2радіан | 19 | 16 | |||
15. | π2радіан |
10 |
10√2 |