4.4: Тригонометрія прямокутного трикутника
- Page ID
- 54442
Тригонометрія - це вивчення трикутників. Якщо ви знаєте кути трикутника і довжину однієї сторони, можна використовувати властивості аналогічних трикутників і пропорцій, щоб повністю вирішити для відсутніх сторін.
Уявіть, що намагаєтеся виміряти висоту прапорця. Було б дуже важко виміряти вертикально, тому що це може бути кілька історій заввишки. Замість цього ходити 10 футів і помітити, що прапор стовп робить кут 65 градусів з вашими ногами. Використовуючи цю інформацію, яка висота прапорця?
Тригонометричні функції
Шість тригонометричних функцій - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс і косеканс. Opp означає сторону, протилежну куту\(\theta,\) hyp, позначає гіпотенузу, а adj означає сторону, прилеглу до кута\(\theta\).
\(\begin{aligned} \sin \theta &=\frac{o p p}{h y p} \\ \cos \theta &=\frac{a d j}{h y p} \\ \tan \theta &=\frac{o p p}{a d j} \\ \cot \theta &=\frac{a d j}{o p p} \\ \sec \theta &=\frac{h y p}{a d j} \\ \csc \theta &=\frac{h y p}{o p p} \end{aligned}\)
Причина, чому існують ці тригонометричні функції, полягає в тому, що два трикутники з однаковими внутрішніми кутами матимуть довжини сторін, які завжди пропорційні. Тригонометричні функції використовуються шляхом ідентифікації двох відомих фрагментів інформації на трикутнику і одного невідомого, налаштування та вирішення для невідомого. Калькулятори важливі, оскільки операції гріха, cos та tan вже запрограмовані. Інші три (cot, sec і csc) зазвичай не є в калькуляторах, оскільки між ними існує взаємний зв'язок і tan, cos і sec.
\(\sin \theta=\frac{o p p}{h y p}=\frac{1}{\csc \theta}\)
\(\cos \theta=\frac{a d j}{h y p}=\frac{1}{\sec \theta}\)
\(\tan \theta=\frac{o p p}{a d j}=\frac{1}{\cot \theta}\)
Майте на увазі, що ваш калькулятор може бути в градусному режимі або радіановому режимі. Переконайтеся, що ви можете перемикатися вперед і назад, щоб ви завжди були у відповідних одиницях для кожної проблеми.
Зверніть увагу, що зображення по всій цій концепції не намальовані в масштабі. Якби вам дали наступний трикутник і попросили вирішити для сторони\(b\), ви б використали синус, щоб знайти\(b\).
\(\begin{aligned} \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) &=\frac{b}{14} \\ b &=14 \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \approx 10.9 \mathrm{in} \end{aligned}\)
Приклади
Раніше вас запитали про висоту флагштока, від якого ви знаходитесь на відстані 10 футів. Ви помічаєте, що прапорець робить\(65^{\circ}\) кут ногами.
Якщо ви знаходитесь на відстані 10 футів від основи флагштока і припускаєте, що флагшток робить\(90^{\circ}\) кут із землею, ви можете використовувати наступний трикутник для моделювання ситуації.
\(\begin{aligned} \tan 65^{\circ} &=\frac{x}{10} \\ x &=10 \tan 65^{\circ} \approx 21.4 f t \end{aligned}\)
Вирішити для кута\(A\).
Цю проблему можна вирішити за допомогою sin, cos або tan, оскільки всі наведені протилежні, сусідні та гіпотенузелінги.
Аргумент, або вхід, функції sin завжди є кутом. \(\sin ^{-1} \theta,\)Функція arcsin, або на калькуляторі має аргумент, який є співвідношенням сторін трикутника.
\(\begin{aligned} \sin A &=\frac{5}{13} \\ \sin ^{-1}(\sin A) &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \\ A &=\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 0.39 \text { radian } \approx 22.6^{\circ} \end{aligned}\)
Задано прямокутний трикутник з\(a=12\) in\(, m \angle B=20^{\circ},\) і\(m \angle C=90^{\circ}\), знайти довжину гіпотенузи.
Корисно намалювати діаграму для представлення даних, наведених у питанні.
\(\begin{aligned} \cos 20^{\circ} &=\frac{12}{c} \\ c &=\frac{12}{\cos 20^{\circ}} \approx 12.77 \mathrm{in} \end{aligned}\)
З огляду\(B\) на,\(\triangle A B C\) де прямий кут,\(m \angle C=18^{\circ},\) а\(c=12 .\) що таке\(a\)?
Розмальовуючи цей трикутник, він виглядає так:
\(\begin{aligned} \tan 18^{\circ} &=\frac{12}{a} \\ a &=\frac{12}{\tan 18^{\circ}} \approx 36.9 \end{aligned}\)
Дано\(O\),\(\triangle M N O\) де знаходиться прямий кут\(m=12\), і\(n=14\). Що таке міра кута\(M\)?
Розмальовуючи трикутник, він виглядає так:
\(\begin{aligned} \tan M &=\frac{12}{14} \\ M &=\tan ^{-1}\left(\frac{12}{14}\right) \approx 0.7 \text { radian } \approx 40.6^{\circ} \end{aligned}\)
Рецензія
Для\(1-15\), наведено відомості про сторони і/або кути прямокутного трикутника\(A B C\). Повністю розв'яжіть трикутник (знайти всі відсутні сторони і кути) до 1 знака після коми.
Номер проблеми | \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
1. | \(90^{\circ}\) | 4 | 7 | |||
2. | \(90^{\circ}\) | \(37^{\circ}\) | 18 | |||
3. | \(90^{\circ}\) | \(15^{\circ}\) | 32 | |||
4. | \(90^{\circ}\) | 6 | 11 | |||
5. | \(90^{\circ}\) | \(12^{\circ}\) | 19 | |||
6. | \(90^{\circ}\) | 17 | 10 | |||
7. | \(90^{\circ}\) | \(10^{\circ}\) | 2 | |||
8. | \(4^{\circ}\) | \(90^{\circ}\) | 0.3 | |||
9. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан | 1 радіан | 15 | |||
10. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан | 12 | 15 | |||
11. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан | 9 | 14 | |||
12. | \(\frac{\pi}{4}\)радіан | \(\frac{\pi}{4}\)радіан | 5 | |||
13. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан | 26 | 13 | |||
14. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан | 19 | 16 | |||
15. | \(\frac{\pi}{2}\)радіан |
10 |
\(10 \sqrt{2}\) |