6.3: Похідні експоненціальних функцій

Експоненціальні функції та швидкість зміни використовуються для моделювання багатьох реальних ситуацій, таких як зростання населення, радіоактивний розпад періоду напіврозпаду, ослаблення електромагнітних сигналів у засобах масової інформації та фінансові операції. Чи знаєте ви, як написати загальні експоненціальні рівняння для зростання популяції, яка подвоюється кожні 5 років, та її темпи зміни?

---

Похідні експоненціальних функцій

Експоненціальна функція$f(x) \nonumber$ має вигляд:

$$f(x) = b^x \nonumber$$

де b називається базовим і є додатним, дійсним числом.

На малюнку нижче показано кілька графіків експоненціальних функцій для 0 <b≤10. Дуже зрозуміло, що знак похідної експоненціальної залежить від значення b, якщо 0<b<1, значення похідної функції (нахил дотичної лінії) буде від'ємним, оскільки функція завжди зменшується зі збільшенням x. Для b>1 похідна функції завжди буде позитивною, оскільки функція збільшується зі збільшенням x.

CC ЗА NC-SA

Але, що таке похідна від експоненціальної функції? Ми можемо зробити наступні кроки, щоб знайти вираз для,$\frac{d}{dx}[bx] \nonumber$ використовуючи визначення похідної:

$\displaystyle \frac{d}{dx}[bx]= \lim_{h \to 0} \frac{b^{x+h}−b^x}{h} \nonumber$... Граничне визначення похідної

$= \lim_{h \to 0} \frac{b^xb^h−b^x}{h} \nonumber$... Властивість експоненти

$= \lim_{h \to 0} \frac{b^h−1}{h}⋅b^x \nonumber$... Факторинг

$= ( \lim_{h→0} \frac{b^h−1}{h})⋅bx \nonumber$... Обмеження властивості продукту

Результат вище показує$\frac{d}{dx}[bx] \nonumber$ залежить від продукту$\lim_{h→0} \frac{b^h−1}{h} \nonumber$ і вихідної функції. Але що таке$\lim_{h→0} \frac{b^h−1}{h} \nonumber$? Існує ряд способів оцінити цю межу, але поки давайте швидко розглянемо поведінку$\frac{b^h−1}{h} \nonumber$. Цю функцію наведено нижче для кількості значень b , а межа у точках A−E$h=0 \nonumber$ позначається точками A−E.

CC ЗА NC-SA

Поки це зовсім не очевидно:$\lim_{h→0} \frac{b^h−1}{h} = ln(b) \nonumber$. Пам'ятайте функцію натурального логарифма$y=lnx \nonumber$ на вашому калькуляторі? Натуральний логарифм - це загальна функція логарифма з основою$b=e=2.71828 \nonumber$...

З огляду на експоненціальну функцію$f(x)=b^x \nonumber$, де основою b є додатне дійсне число, то загальне уявлення похідної експоненціальної функції дорівнює:

$$\frac{d}{dx}[bx]=lnb⋅b^x \nonumber$$

Додавання правила ланцюга до визначення, заданого експоненціальною функцією f (x) =bu, де u=g (x) та g (x) є диференційованою функцією, то:

$$\frac{d}{dx}[bu]=(lnb⋅b^u) \frac{du}{dx} \nonumber$$

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, що таке загальне експоненціальне рівняння для зростання населення, яке подвоюється кожні 5 років.

Населення$P(t) \nonumber$, яке подвоюється кожні 5 років, може бути змодельовано як$P(t)=P_02^{\frac{t}{5}} \nonumber$, де змінна t представляє кількість років, оскільки населення перебувало на рівні$P_0 \nonumber] \nonumber$. Чи змогли ви визначити, що швидкість зміни$P(t) \nonumber$ є$P′(t) = \frac{P_0 ln2}{5}⋅2^{\frac{t}{5}} \nonumber$?

Приклад 2

Враховуючи$y=500⋅0.7^x \nonumber$, що таке$\frac{dy}{dx} \nonumber$?

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[500⋅0.7^x] \nonumber$$

$$= 500 \frac{d}{dx}[0.7^x] \nonumber$$

$= 500[ln(0.7)⋅0.7^x] \nonumber$... Використовуйте калькулятор, щоб знайти ln (0.7)

$$=−178.3⋅0.7^x \nonumber$$

Отже, і$\frac{dy}{dx} =−178.3⋅0.7^x \nonumber$, як і очікувалося, нахили всіх дотичних ліній негативні.

Є важливий особливий випадок, про який ви повинні знати

Приклад 3

Враховуючи$y=500⋅e^x \nonumber$, що таке$\frac{dy}{dx} \nonumber$?

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}[500⋅ex] \nonumber$$

$$= 500 \frac{d}{dx}[ex] \nonumber$$

$\frac{dy}{dx}=500[ln(e)⋅ex] \nonumber$... Використовуйте калькулятор, щоб знайти ln (e)

$$= \frac{d}{dx}[500⋅ex] \nonumber$$

$$=500[1⋅ex] \nonumber$$

$$=500⋅ex \nonumber$$

Значить$\frac{dy}{dx}=500⋅ex \nonumber$, і це тільки оригінальна функція. Ця експоненціальна функція з основою e є особливою: швидкість зміни (або нахил лінії танжета) у будь-якій точці дорівнює значенню функції в цій точці.

Приклад 4

Враховуючи$y=10⋅2.5−3x^2 \nonumber$, що таке$\frac{dy}{dx} \nonumber$?

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[10⋅2.5−3x2] \nonumber$$

$$=10 \frac{d}{dx}[2.5−3x2] \nonumber$$

$$=10⋅ln(2.5)⋅2.5−3x2⋅ddx[−3x^2] \nonumber$$

$$=10⋅(0.9162)⋅2.5−3x^2⋅[−6x] \nonumber$$

$$=−55x⋅2.5−3x^2 \nonumber$$

Тому,$\frac{dy}{dx} =−55x⋅2.5−3x^2 \nonumber$

Приклад 5

Враховуючи$y=500⋅e−2x⋅cos(5πx) \nonumber$, що таке$\frac{dy}{dx} \nonumber$?

$$\frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}[500⋅e−2x⋅cos(5πx)] \nonumber$$

$=500⋅[ \frac{d}{dx}(e−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅ \frac{d}{dx}(cos(5πx))] \nonumber$... Правило продукту

$=500⋅[ln(e)⋅e−2x \frac{d}{dx}(−2x)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅ \frac{d}{dx}(5πx))] \nonumber$... Використовувати правило ланцюга

$=500⋅[(1)⋅e−2x⋅(−2)⋅cos(5πx)+e−2x⋅(−sin(5πx)⋅5π)] \nonumber$... Спростити.

$=−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber$... Спростити

Тому,$\frac{dy}{dx} =−500⋅e−2x[2⋅cos(5πx)+5πsin(5πx)] \nonumber$.

---

Рецензія

Для #1 -14 знайдіть похідну.

1. $y=7^x \nonumber$
2. $y=3^{2x} \nonumber$
3. $y=5^x−3x^2 \nonumber$
4. $y=2^{x^2} \nonumber$
5. $y=e^{x^2} \nonumber$
6. $f(x)= \frac{1}{ \sqrt{πσ}}e^{−αk(x−x0)^2} \nonumber$де σ, α, x0 і k - константи і σ 0.
7. $y=e^{6x} \nonumber$
8. $y=e^{3x^3}−2x^2+6 \nonumber$
9. $y=\frac{e^x−e−x}{e^x+e−x} \nonumber$
10. $y=cos(e^x) \nonumber$
11. $y=e^{−x}3^x \nonumber$
12. $y=3^{−x^2+2x+1} \nonumber$
13. $y=2^x3^x \nonumber$
14. $y=e^{−x}sinx \nonumber$
15. Знайти рівняння дотичної$f(x)=x^3+2e^x \nonumber$ прямої до точки (0, 2).

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.9.

---

Лексика

Термін	Визначення
похідний	Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), dydx, y′, dfdx і\ frac {df (x)} {dx}.
Експоненціальна функція	Експоненціальна функція - це функція, змінна якої знаходиться в експоненті. Загальна форма є$y=a⋅b^{x−h}+k \nonumber$.

---

Додаткові ресурси