9.27: Обсяг сфер

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.26: Площа поверхні сфер
- Назад Матерія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У Марії є прес-пап'є, що представляє собою скляну сферу. Сфера наповнена рідиною. Якщо діаметр прес-пап'є становить 6 дюймів, скільки рідини воно містить?

У цьому понятті ви навчитеся обчислювати обсяг сфер.

Обсяг

Об'єм - це міра тривимірного простору, який займає фігура. Ви також можете думати про це як про те, скільки місця «тримає» фігура.

Щоб знайти обсяг сфер, можна використовувати піраміди. Уявіть собі піраміду з її основою на поверхні сфери та її точкою як центром сфери. Радіус сфери буде висотою піраміди.

Піраміда становить частину обсягу сфери. Якщо ви можете заповнити всю сферу такими пірамідами, ви б знали обсяг сфери. Вона дорівнювала б обсягам всіх пірамід, зібраних разом. Скільки пірамід потрібно, щоб заповнити сферу? Це залежить від площі поверхні сфери.

Ви можете об'єднати площу поверхні сфери з формулою об'єму для піраміди, щоб обчислити об'єм усіх пірамід, що містяться в сфері.

Формула для обсягу піраміди є $V=\dfrac{1}{3}Bh$ .

Ви знаєте, що висота піраміди - це радіус (r) сфери, а основа піраміди - площа поверхні сфери ( $SA=4\pi r^2$ ). Якщо ви підставите цю інформацію в формулу для обсягу піраміди, ви отримаєте наступне.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3}Bh \\ V&=\dfrac{1}{3}(4\pi r^{2})r \\ V&=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}\end{aligned}$

Обсяг сфери можна знайти за формулою

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

Знову ж таки, все, що вам потрібно знати, це радіус сфери. Ви ставите значення в for r у формулі і вирішуєте for $V$ , обсяг.

Давайте розглянемо приклад.

Знайдіть обсяг сфери нижче.

По-перше, підставляйте те, що ви знаєте, у формулу обсягу.

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (6)^{3}\end{aligned}$

Далі використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi (6)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (216) \\ V&=288\pi \\ V&=904.78\end{aligned}$

Відповідь - 904,78.

Обсяг сфери - це $904.78 \text{ m}^{3}$ .

Якщо ви хотіли зробити своє вимірювання більш точним, ви могли б сказати, що обсяг є $288\pi m^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{1}$

Раніше вам давали проблему з приводу рідкого прес-пап'є Марії.

У Марії є прес-пап'є діаметром 6 дюймів, яка наповнена водою, і вона хоче дізнатися, скільки рідини всередині.

Рішення

Спочатку знайдіть радіус сфери. Пам'ятайте, що радіус дорівнює половині діаметра.

$\begin{aligned}r&=\dfrac{d}{2} \\ r&=\dfrac{6}{2} \\ r&=3 \end{aligned}$

Далі підставте те, що ви знаєте, в формулу обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (3)^{3}\end{aligned}$

Потім використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi (3)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi \\ V&=(27)^{3}6\pi \\ V&=113.10v\end{aligned}$

Відповідь - 113.10.

Обсяг, що міститься в прес-пап'є Марії, є $113.10 \text{ in}^{3}$ або $36\pi \text{ in}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{2}$

Знайдіть обсяг наступної сфери.

Рішення

По-перше, підставляйте те, що ви знаєте, у формулу обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (8)^{3}\end{aligned}$

Далі використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi (8)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (512) \\ V&=682.67\pi \\ V&=2144.66\end{aligned}$

Відповідь - 2144.66. Обсяг сфери - це $2144.66 cm^{3}$ .

Якщо ви хотіли зробити своє вимірювання більш точним, ви могли б сказати, що обсяг є $682.67\pi cm^3$ .

Приклад $\PageIndex{3}$

Знайдіть обсяг сфери радіусом 4 дюйми.

Рішення

По-перше, підставляйте те, що ви знаєте, у формулу обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (4)^{3}\end{aligned}$

Далі використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi (4)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (64) \\ V&=85.33\pi \\ V&=268.08\end{aligned}$

Відповідь - 268.08.

Обсяг сфери - це $268.08 \text{ in}^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{4}$

Знайдіть об'єм сфери радіусом 5 футів.

Рішення

По-перше, підставляйте те, що ви знаєте, у формулу обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (5)^{3}\end{aligned}$

Далі використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi (5)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (125) \\ V&=166.67\pi \\ V&=523.60\end{aligned}$

Відповідь - 523.60.

Обсяг сфери - це $523.60 \: ft^{3}$ .

Приклад $\PageIndex{5}$

Знайдіть обсяг сфери радіусом 3,5 дюйма.

Рішення

По-перше, підставляйте те, що ви знаєте, у формулу обсягу.

$\begin{aligned}V&=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (3.5)^{3}\end{aligned}$

Далі використовуйте алгебру для обчислення обсягу.

$\begin{aligned} V&=\dfrac{4}{3}\pi (3.5)^{3} \\ V&=\dfrac{4}{3}\pi (42.875) \\ V&=57.17\pi \\ V&=179.59\end{aligned}$

Відповідь - 179,59.

Обсяг сфери - це $179.59 \text{ in}^{3}$ .

Рецензія

Знайдіть обсяг кожної сфери. Ви можете округлити до найближчих сотих, коли це необхідно.

1. Сфера радіусом 3 м.

2. Сфера радіусом 2,5 м.

3. Сфера радіусом 5 дюймів.

4. Сфера радіусом 6 дюймів.

5. Сфера радіусом 7 футів.

6. Сфера радіусом 4,5 см.

7. Сфера радіусом 5,5 м.

8. Сфера радіусом 13 мм.

9. Сфера діаметром 8 дюймів.

10. Сфера діаметром 10 футів.

11. Сфера діаметром 3 м.

12. Сфера діаметром 13 м.

13. Сфера діаметром 22 фути.

Використовуйте те, що ви навчилися, щоб вирішити кожну проблему.

14. Сфера має діаметр 12 футів. Який її обсяг?

15. У Келлі флакон духів у формі кулі. Діаметр пляшки - 6 дюймів. Скільки парфумів залишилося Келлі, якщо флакон заповнений лише наполовину?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.15.

Лексика

Термін	Визначення
Сфера	Сфера - це кругле об'ємне тверде тіло. Всі точки на поверхні сфери рівновіддалені від центру сфери.
Обсяг	Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта.

Додаткові ресурси

Відео: Обсяг сфери

Практика: Обсяг сфер