4.4.1: Полярні координати

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 4.4: Полярні рівняння
- 4.4.2: Полярна та декартова трансформація

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Полярні координати

Всі мріяли літати в той чи інший час. Мало того, що було б набагато менше трафіку, щоб турбуватися про, але напрямки були б набагато простішими!

Ходьба або водіння: «Ідіть на схід 2 квартали, поверніть ліворуч, потім на північ 6 блоків. Дочекайтеся поїзда. Поверніть направо, схід ще 3 блоки, обережно корови! Поверніть ліворуч, йдіть на північ ще 4 квартали і паркуйтеся».

Політ: «Літайте 30 град на схід від півночі трохи менше 11 і 1/4 блоків. Земля».

Приємний сон, але яке відношення це має до полярних координат?

Полярні координати

Полярна система координат є альтернативою декартовій системі координат, яку ви використовували в минулому для графічних функцій. Полярна система координат спеціалізується на візуалізації та маніпуляції кутами.

Кути ідентифікуються шляхом переміщення проти годинникової стрілки навколо кругового графіка від лінії 0 град або осі r (де буде вісь + x) до заданого кута.

Ф-Д_ПК-ДФ 27Д83Е18011ДАД 541 А377СА59488БК 86ССК410551А71ЕБ79А9+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Для побудови певної точки спочатку пройдіть вздовж осі r на r одиниць. Потім поверніть проти годинникової стрілки на заданий кут, зазвичай представлений «θ». Будьте обережні, щоб використовувати правильні одиниці виміру кута (радіани або градуси).

Радіани

Зазвичай полярні графіки робляться з радіанами (особливо якщо вони включають тригонометричні функції), але іноді використовуються градуси.

Радіан - це кут, утворений між віссю r та полярною віссю, намальованою для задоволення ділянки окружності, яка є тією ж довжиною, що і радіус кола.

Враховуючи, що окружність кола дорівнює 2π⋅r, а оскільки r - радіус, це означає, що в повному колі є 2π радіани, а 1π радіани в 1/2 кола.

Якщо 1/2 кола дорівнює π радіани, і 180 град, це означає, що в кожному радіані є $\ \frac{180}{\pi}$ градуси.

Це означає приблизно 57,3 градусів = 1 радіан.

Графік за допомогою технології

Полярні рівняння можна графікувати за допомогою графічного калькулятора: За допомогою графічного калькулятора - перейдіть до MODE. Там виберіть RADIAN для вимірювання кута і POL (для Polar) на лінії FUNC (функція). При натисканні Y = зверніть увагу, що рівняння змінилося з y = на r =. Туди введіть полярне рівняння. Після натискання графіка, якщо ви не бачите повний графік, відрегулюйте x - і y - max/min тощо у ВІКНО.

Приклади

Приклад 1

Покладіть точки на графіку полярних координат: точка A $\ \left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ , точка B (4, 135 ^o) та точка C $\ \left(-2, \frac{\pi}{6}\right)$

Рішення

Нижче знаходиться полюс, полярна вісь і точки A, B і C.

Ф-Д_45279С3164Д72 АА30БК 907КС78577Ф3А446Б590А7А7603563ДЕ5Б25БК+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 2

Побудуйте наступні пункти.

(4, 30 ^о)
(2.5, $\ \pi$ )
$\ \left(-1, \frac{\pi}{3}\right)$
$\ \left(3, \frac{5 \pi}{6}\right)$
(−2, 300 ^о)

Рішення

Ф-Д_9А4А4А 1287КФ13 ФАФА-4Ф8118ФЦ75СА57Е906АФ30ДФ296Ф3ЕЕ0С7504С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Приклад 3

Використовуйте графічний калькулятор або програму побудови графіків для побудови наступних рівнянь.

r = 1+3sinθ
r = 1+2коСθ

Рішення

Перегляньте наведені вище кроки під графіком за допомогою технології, якщо у вас виникли проблеми.

Приклад 4

Перетворення з радіанів в градуси.

Нагадаємо, що $\ \pi r a d=180^{\circ} \text { and } 1 \mathrm{rad}=\frac{180}{\pi} \approx 57.3^{\circ}$

$\ \frac{\pi}{2}$
5.17
$\ \frac{3 \pi}{2}$

Рішення

Якщо $\ \pi r a d=180^{\circ}$ тоді $\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}$
Якщо $\ 1 rad \approx 57.3^{\circ}$ тоді $\ 5.17 rad \approx 296^{\circ}$
Якщо $\ \pi r a d=180^{\circ}$ тоді $\ \frac{3 \pi}{2} r a d=270^{\circ}$

Приклад 5

Перетворення з градусів в радіани.

Нагадаємо, що $\ \frac{180^{\circ}}{\pi}=57.3^{\circ} \approx 1 \mathrm{rad}$ .

251 ^г
360 ^о
327 ^г

Рішення

Якщо $\ 57.3^{\circ} \approx 1rad$ тоді $\ 251^{\circ} \approx 4.38 \mathrm{rad} \approx 1.4 \pi \mathrm{rad}$
Якщо $\ 57.3^{\circ} \approx 1 rad$ тоді $\ 360^{\circ} \approx 6.28 rad$
Якщо $\ 57.3^{\circ} \approx 1 rad$ тоді $\ \frac{327^{\circ}}{57.3^{\circ}} \approx 5.71 rad$

Приклад 6

Перетворити з градусів в радіани, відповісти з точки зору π.

Нагадаємо, що 2πrad = 360o і, отже, πrad=180 ^o.

90 ^г
270 ^о
45 ^о

Рішення

Якщо $\ \pi r a d=180^{\circ}$ тоді $\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}$
Якщо $\ \pi r a d=180^{\circ} \text { and } \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}$ тоді $\ 1 \frac{1}{2} \pi r a d \rightarrow \frac{3}{2} \pi \rightarrow \frac{3 \pi}{2} r a d=270^{\circ}$
Якщо $\ \frac{\pi}{2} r a d=90^{\circ}$ тоді $\ \frac{\pi}{4} r a d=45^{\circ}$

Рецензія

Чому точка на площині не може бути позначена за допомогою унікальної впорядкованої пари (r, θ).
Поясніть, як графік (r, θ), якщо r360<0 and/or θ>.

Графік кожної точки на полярній площині.

$\ \text{A}\left(6,145^{\circ}\right)$
$\ \text{B} (-2, \frac{13\pi}{6})$
$\ \text{C} (\frac{7}{4}, -210^{\circ})$
$\ \text{D}(5, \frac{\pi}{2})$
$\ \text{E}(3.5, \frac{-\pi}{8})$

Назвіть дві інші пари полярних координат для кожної точки.

$\ (1.5, 170^{\circ})$
$\ (-5, \frac{\pi}{-3})$
$\ (3, 305^{\circ})$

Графік кожного полярного рівняння.

$\ r=3$
$\ \theta=\frac{\pi}{5}$
$\ r=15.5$
$\ r=1.5$
$\ \theta=-175^{\circ}$

Знайти відстань між заданими точками.

$\ P_{1}\left(5, \frac{\pi}{2}\right) \text { and } P_{2}\left(7, \frac{3 \pi}{9}\right)$
$\ P_{1}\left(1.3,-52^{o}\right) \text { and } P_{2}\left(-13.6,-162^{\circ}\right)$
$\ P_{1}\left(3,250^{\circ}\right) \text { and } P_{2}\left(7,90^{\circ}\right)$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.1.

Лексика

Термін	Визначення
$\ \pi$	$\ \pi$ (Pi) - відношення окружності кола до його діаметру. Це ірраціональне число, яке приблизно дорівнює 3,14.
Декартова система координат	Декартова площина - це сітка, утворена горизонтальною цифровою лінією та вертикальною цифровою лінією, які перетинаються в точці (0, 0), яка називається початком.
полярна вісь	Полярна вісь - це промінь, проведений від полюса під кутом 0 на полярному графіку.
полярна система координат	Полярна система координат - це спеціальна система координат, в якій розташування кожної точки визначається її відстанню від полюса і кутом по відношенню до полярної осі.
полюс	Полюс - це центральна точка на полярному графіку.
радіан	Радіан - це одиниця кута, яка дорівнює куту, створеному в центрі кола, дуга якого по довжині дорівнює радіусу.

Атрибуції зображень

[Рисунок 1]
Кредит: Невідоме
джерело: https://es.Wikipedia.org/wiki/Archivo:Lahore-PIA-747-TakeOff-80375.JPG
[Рисунок 2]
Кредит: Невідоме
джерело: https://es.Wikipedia.org/wiki/Archivo:Lahore-PIA-747-TakeOff-80375.JPG
[Рисунок 3]
Кредит: Невідоме
джерело: https://es.Wikipedia.org/wiki/Archivo:Lahore-PIA-747-TakeOff-80375.JPG