Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4.4: Полярні рівняння коніків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55015

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Полярні рівняння коніків

    Полярні координати дозволяють розширити свої знання про коніки в новому контексті. Калькулятори є відмінним інструментом для побудови графіків полярних коніків. Які настройки потрібно знати, щоб правильно користуватися калькулятором?

    Полярні рівняння коніків

    Полярні рівняння відносяться до радіуса r як до функції кута θ. Є кілька типових полярних рівнянь, які ви повинні бути в змозі розпізнати і графік безпосередньо з їх полярної форми.

    Наступна полярна функція - це коло радіуса,\(\ \frac{\alpha}{2}\) що проходить через початок з центром під кутом β.

    r=a⋅cos (θ −β)

    F-D_5E2BD3760511a1A1A5113CE054944716c6760a7C233E9f76FBE+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

    [Малюнок 1]

    Існують інші способи представлення кола, подібного до цього, використовуючи співфункціональні ідентичності та котермінальні кути.

    Еліпси, параболи і гіперболи мають загальне загальне полярне рівняння. Так само, як і у випадку з колом, існують інші способи представлення цих відносин за допомогою кофункціональних та котермінальних кутів; однак цю загальну форму найпростіше використовувати, оскільки кожен параметр може бути негайно інтерпретований у графіку. Параметр - це константа в загальному рівнянні, яка приймає певне значення в конкретному рівнянні.

    F-D_A6376853C22C35C18CFA6A 150470676348c3789e0FFDB29E72BF4F+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Одна з точок фокусування конічного коніка, написаного таким чином, завжди знаходиться на полюсі (початку). Кут β вказує кут до центру, якщо конічний є еліпсом, напрямок відкриття, якщо конічний - парабола, і кут від центру, якщо конічний є гіперболою. Ексцентриситет e повинен підказати, що це таке конічний. Константа k - відстань від фокуса на полюсі до найближчої директриси. Ця директриса лежить у зворотному напрямку, позначеному β.

    Є багато можливостей для питань, пов'язаних з частковою інформацією з полярними коніками. Кілька відносин, які часто корисні для вирішення цих питань:

    • \(\ e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{P F}}{\overline{P D}} \rightarrow \overline{P F}=e \cdot \overrightarrow{P D}\)
    • Еліпси:\(\ k=\frac{a^{2}}{c}-c\)
    • Гіперболи:\(\ k=c-\frac{a^{2}}{c}\)

    Відмінний спосіб відкрити нові типи графіків у полярних координатах - це самостійно експериментувати з калькулятором. Спробуйте придумати рівняння і графіки, схожі на наступні дві полярні функції.

    F-D_6ed169766A5B8525C024A9D330E2B07e334D45bd31afe 18967425+зображення_thumb_листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    Коло синього кольору має центр в 90і має діаметр 2. Його рівняння

    \(\ r=2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)\).

    Червоний еліпс, здається, має центр (2, 0) з a=4 та c = 2. Це означає, що ексцентриситет є\(\ e=\frac{1}{2}\). Для того, щоб записати рівняння в полярній формі, потрібно ще знайти k.

    \(\ k=\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{4^{2}}{2}-2=8-2=6\)

    Таким чином, рівняння для еліпса таке:

    \(\ r=\frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos (\theta)}\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали про те, як використовувати калькулятор для графування полярних рівнянь.

    Рішення

    Більшість калькуляторів мають режим полярних координат. На TI-84 режим можна переключити на полярний в меню режимів. Це змінює функції графіки. Ви можете вибрати, щоб бути в радіанах або градусах, і графіки будуть виглядати однаково. Коли ви графуєте коло у вигляді r=8⋅cosθ, ви повинні побачити наступне на своєму калькуляторі.

    F-D_16b4537d59E08C70F10c56C2A212FBB505E9682C3904E56aaf1444+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Коли ви переходите до налаштування вікна, ви повинні помітити, що крім X min, X max є нові налаштування, які називаються θ min, θ max та θ step.

    Якщо θ min і θ max не охоплюють весь період, ви можете в кінцевому підсумку втратити частину вашого полярного графіка.

    Крок θ контролює, наскільки точним повинен бути графік. Якщо поставити θ крок з низьким числом, як 0.1, графік буде будувати надзвичайно повільно, оскільки калькулятор робить 3600 розрахунків косинусів. З іншого боку, якщо θ крок = 30, то калькулятор буде робити менше обчислень, виробляючи грубе коло, але, ймовірно, недостатньо точний для ваших цілей.

    F-D_800596B8809B4DE2D3ABD 6714CA528ec49d91cc3fab3c559bc701088+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 5]
    Приклад 2

    Визначте центр, вогнища, вершини та рівняння прямих директрис для наступних конічних:

    \(\ r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

    Рішення

    Спочатку полярне рівняння має бути в графічній формі. Це означає, що знаменник повинен мати вигляд 1−e⋅cos (θ −β).

    \ (\\ почати {масив} {l}
    r=\ frac {20} {4-5\ cdot\ cos\ cos\ лівий (\ тета-\ гідророзрив {3\ пі} {4}\ правий)}\ cdot\ frac {1} {4}} {4}} =\ frac {5} {1-\ frac {5} {5}\ cdot\ cos\ лівий (\ тета-\ frac {3\ пі} {4}\ праворуч)} =\ frac {4\ cdot\ frac {5} {4}} {1-\ frac {5} {4}\ cdot\ cos\ ліворуч (\ тета-\ frac {3\ пі} {4}\ праворуч)}\\
    e=\ гідророзриву {5} {4},\ квад k = 4,\ квад\ бета=\ гідророзриву {3\ pi} {4} =135^ {\ circ}
    \ кінець {масив}\)

    Використовуючи цю інформацію та зв'язки, про які вам нагадали в керівництві, ви можете налаштувати систему та вирішити для a та c.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    4 &=c-\ розрив {a^ {2}} {c}\
    \ гідророзриву {5} {4} &=\ гідророзриву {c} {a}\ правої стрілки\ frac {4} {5} =\ frac {a} {c}\ правої стрілки\ гідророзриву {4 c} {5} =a\
    4 &= c-\ ліворуч (\ frac {4 c} {5}\ праворуч) ^ {2}\ cdot\ гідророзриву {1} {c}\
    4 &= c-\ frac {16 c^ {2}} {25 c}\\
    4 &=\ гідророзриву {9 c} {25}\
    \ гідророзриву {100} {9} &=c\
    \ гідророзриву {80} {9} &= a
    \ кінець {вирівняний}\)

    Центр - це точка,\(\ \left(\frac{100}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) яку набагато зручніше писати в полярних координатах. Найближча директриса - це лінія\(\ r=4 \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Інша директриса - це лінія\(\ r=\left(2 \cdot \frac{100}{9}-4\right) \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Один фокус знаходиться на полюсі, інший фокус - точка\(\ \left(\frac{200}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\). Вершини знаходяться в центрі плюс або мінус a під тим же кутом:

    Зібравши всю цю інформацію воєдино, графік конічного конуса такий:

    F-D9F26 ABEA5302B82795D8EBC636321А710А9744ББ6Б65E03D90E49D3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 6]
    Приклад 3

    Перетворіть наступний конічний з полярної форми в прямокутну форму.

    \(\ r=\frac{3}{2-\cos \theta}\)

    Рішення

    Існує багато способів перетворення з полярної форми в прямокутну форму. Вам повинно стати комфортно з алгеброю.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    r &=\ розрив {3} {2-\ cos\ тета}\\
    r (2-\ cos\ тета) &= 3\\
    2 р-р\ cdot\ cos\ тета &= 3\\
    2 r &=3+r\ cdot\ cos\ theta = 3+y\\
    4 r^ {2} &=9++y^ {2}\\
    4\ ліворуч (x^ {2} +y^ {2}\ праворуч) &=9+6 y+ y^ {2}\\
    4 x^ {2} +4 y^ {2} &=9++y+y^ {2}\\
    4 x^ {2} +3 y^ {3} +6 y &=9\
    4 x^ {2} +3\ ліворуч (y^ {2} +2 y+1\ праворуч) &=9+3\\
    4 x^ {2} +3 (y+1) ^ {2} &2} =12
    \\ розриву {x^ {2}} {3} +\ розриву {(y+1) ^ {2}} {4} &=1
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад 4

    Графік наступний конічний.

    \(\ r=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)

    Рішення

    Перетворити на стандартну конічну форму.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    r &=\ розрив {3} {2-\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\\
    r &=\ гідророзриву {3} {2-\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\ cdot\ гідророзриву {\ frac {1} {2}} {\ frac 1} {2}} =\ гідророзриву {\ гідророзриву {3} {2}} {1-\ гідророзриву {1} {2}\ cdot\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)} =\ frac {3\ cdot\ frac {1} {2}} {1-\ frac { 1} {2}\ cdot\ cos\ лівий (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\\
    k &=3,\ квадрад e=\ frac {1} {2},\ квад\ бета = 30^ {\ circ}
    \ кінець {вирівняний}\)

    F-D_929 FAC007E754A13A38AD6AE337C8F27393A23A62ad81C1A2095B844+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 7]
    Приклад 5

    Переведіть наступну конічну форму в полярну форму.

    \(\ (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

    Рішення

    Розгорніть вихідне рівняння, а потім перекладіть на полярні координати:

    \ (\\ почати {масив} {л}
    (x-3) ^ {2} + (y+4) ^ {2} =25\
    x^ {2} -6 x+9+y^ {2} +8 y+16 = 25\\
    r^ {2} -6 х+8 y=0\\
    r^ {2} -6 r\ cdot\ cos\ theta+8 r\ cdot\ гріх\ тета = 0\\
    r-6\ cos\ тета+8\ гріх\ тета = 0\\ r
    = 6\ cos\ тета-8\ гріх\ тета
    \ end {масив}\)

    Рецензія

    Перетворіть наступні коніки з полярної форми в прямокутну форму. Потім визначте конічний конус.

    1. \(\ r=\frac{5}{3-\cos \theta}\)
    2. \(\ r=\frac{4}{2-\cos \theta}\)
    3. \(\ r=\frac{2}{2-\cos \theta}\)
    4. \(\ r=\frac{3}{2-4 \cos \theta}\)
    5. \(\ r=5 \cos (\theta)\)

    Графік наведені нижче коніки.

    1. \(\ r=\frac{5}{4-2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)}\)
    2. \(\ r=\frac{5}{3-7 \cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)
    3. \(\ r=\frac{3}{3-3 \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)
    4. \(\ r=\frac{1}{2-\cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)
    5. \(\ r=\frac{3}{6-3 \cos \left(\theta-45^{\circ}\right)}\)

    Переведіть наступні коніки в полярну форму.

    1. \(\ \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)
    2. \(\ (x-5)^{2}+(y+12)^{2}=169\)
    3. \(\ x^{2}+(y+1)^{2}=1\)
    4. \(\ x^{2}+(y+1)^{2}=1\)
    5. \(\ -3 x^{2}-4 x+y^{2}-1=0\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    Конічна Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи.
    Ексцентричність Ексцентриситет конічного перерізу - це міра того, наскільки конічний переріз відхиляється від кругового. Ексцентриситет кіл дорівнює 0, ексцентриситет еліпсів - між 0 і 1, ексцентриситет парабол - 1, а ексцентриситет гіпербол більше 1. Для еліпсів і гіпербол,\(\ e=\frac{c}{a}\).
    параметр Параметр - це змінна в загальному рівнянні, яка приймає певне значення для того, щоб створити конкретне рівняння.
    полярна форма Полярна форма точки або кривої задається через r і θ і графікується на полярній площині.
    полюс Полюс - це центральна точка на полярному графіку.
    прямокутна форма Прямокутна форма точки або кривої задається через x і y і зображується на декартовій площині.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
       Кредит:
       Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA
    5. [Рисунок 5]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
       Ліцензія: CC BY-SA
    6. [Рисунок 6]
       Кредит: CK-12 Фонд
      Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
       Ліцензія: CC BY-SA
    7. [Рисунок 7]
       Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA