4.4.4: Полярні рівняння коніків
- Page ID
- 55015
Полярні рівняння коніків
Полярні координати дозволяють розширити свої знання про коніки в новому контексті. Калькулятори є відмінним інструментом для побудови графіків полярних коніків. Які настройки потрібно знати, щоб правильно користуватися калькулятором?
Полярні рівняння коніків
Полярні рівняння відносяться до радіуса r як до функції кута θ. Є кілька типових полярних рівнянь, які ви повинні бути в змозі розпізнати і графік безпосередньо з їх полярної форми.
Наступна полярна функція - це коло радіуса,\(\ \frac{\alpha}{2}\) що проходить через початок з центром під кутом β.
r=a⋅cos (θ −β)
Існують інші способи представлення кола, подібного до цього, використовуючи співфункціональні ідентичності та котермінальні кути.
Еліпси, параболи і гіперболи мають загальне загальне полярне рівняння. Так само, як і у випадку з колом, існують інші способи представлення цих відносин за допомогою кофункціональних та котермінальних кутів; однак цю загальну форму найпростіше використовувати, оскільки кожен параметр може бути негайно інтерпретований у графіку. Параметр - це константа в загальному рівнянні, яка приймає певне значення в конкретному рівнянні.
Одна з точок фокусування конічного коніка, написаного таким чином, завжди знаходиться на полюсі (початку). Кут β вказує кут до центру, якщо конічний є еліпсом, напрямок відкриття, якщо конічний - парабола, і кут від центру, якщо конічний є гіперболою. Ексцентриситет e повинен підказати, що це таке конічний. Константа k - відстань від фокуса на полюсі до найближчої директриси. Ця директриса лежить у зворотному напрямку, позначеному β.
Є багато можливостей для питань, пов'язаних з частковою інформацією з полярними коніками. Кілька відносин, які часто корисні для вирішення цих питань:
- \(\ e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{P F}}{\overline{P D}} \rightarrow \overline{P F}=e \cdot \overrightarrow{P D}\)
- Еліпси:\(\ k=\frac{a^{2}}{c}-c\)
- Гіперболи:\(\ k=c-\frac{a^{2}}{c}\)
Відмінний спосіб відкрити нові типи графіків у полярних координатах - це самостійно експериментувати з калькулятором. Спробуйте придумати рівняння і графіки, схожі на наступні дві полярні функції.
Коло синього кольору має центр в 90і має діаметр 2. Його рівняння
\(\ r=2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)\).
Червоний еліпс, здається, має центр (2, 0) з a=4 та c = 2. Це означає, що ексцентриситет є\(\ e=\frac{1}{2}\). Для того, щоб записати рівняння в полярній формі, потрібно ще знайти k.
\(\ k=\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{4^{2}}{2}-2=8-2=6\)
Таким чином, рівняння для еліпса таке:
\(\ r=\frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos (\theta)}\)
Приклади
Раніше вас запитали про те, як використовувати калькулятор для графування полярних рівнянь.
Рішення
Більшість калькуляторів мають режим полярних координат. На TI-84 режим можна переключити на полярний в меню режимів. Це змінює функції графіки. Ви можете вибрати, щоб бути в радіанах або градусах, і графіки будуть виглядати однаково. Коли ви графуєте коло у вигляді r=8⋅cosθ, ви повинні побачити наступне на своєму калькуляторі.
Коли ви переходите до налаштування вікна, ви повинні помітити, що крім X min, X max є нові налаштування, які називаються θ min, θ max та θ step.
Якщо θ min і θ max не охоплюють весь період, ви можете в кінцевому підсумку втратити частину вашого полярного графіка.
Крок θ контролює, наскільки точним повинен бути графік. Якщо поставити θ крок з низьким числом, як 0.1, графік буде будувати надзвичайно повільно, оскільки калькулятор робить 3600 розрахунків косинусів. З іншого боку, якщо θ крок = 30, то калькулятор буде робити менше обчислень, виробляючи грубе коло, але, ймовірно, недостатньо точний для ваших цілей.
Визначте центр, вогнища, вершини та рівняння прямих директрис для наступних конічних:
\(\ r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)
Рішення
Спочатку полярне рівняння має бути в графічній формі. Це означає, що знаменник повинен мати вигляд 1−e⋅cos (θ −β).
\ (\\ почати {масив} {l}
r=\ frac {20} {4-5\ cdot\ cos\ cos\ лівий (\ тета-\ гідророзрив {3\ пі} {4}\ правий)}\ cdot\ frac {1} {4}} {4}} =\ frac {5} {1-\ frac {5} {5}\ cdot\ cos\ лівий (\ тета-\ frac {3\ пі} {4}\ праворуч)} =\ frac {4\ cdot\ frac {5} {4}} {1-\ frac {5} {4}\ cdot\ cos\ ліворуч (\ тета-\ frac {3\ пі} {4}\ праворуч)}\\
e=\ гідророзриву {5} {4},\ квад k = 4,\ квад\ бета=\ гідророзриву {3\ pi} {4} =135^ {\ circ}
\ кінець {масив}\)
Використовуючи цю інформацію та зв'язки, про які вам нагадали в керівництві, ви можете налаштувати систему та вирішити для a та c.
\ (\\ почати {вирівняний}
4 &=c-\ розрив {a^ {2}} {c}\
\ гідророзриву {5} {4} &=\ гідророзриву {c} {a}\ правої стрілки\ frac {4} {5} =\ frac {a} {c}\ правої стрілки\ гідророзриву {4 c} {5} =a\
4 &= c-\ ліворуч (\ frac {4 c} {5}\ праворуч) ^ {2}\ cdot\ гідророзриву {1} {c}\
4 &= c-\ frac {16 c^ {2}} {25 c}\\
4 &=\ гідророзриву {9 c} {25}\
\ гідророзриву {100} {9} &=c\
\ гідророзриву {80} {9} &= a
\ кінець {вирівняний}\)
Центр - це точка,\(\ \left(\frac{100}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) яку набагато зручніше писати в полярних координатах. Найближча директриса - це лінія\(\ r=4 \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Інша директриса - це лінія\(\ r=\left(2 \cdot \frac{100}{9}-4\right) \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Один фокус знаходиться на полюсі, інший фокус - точка\(\ \left(\frac{200}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\). Вершини знаходяться в центрі плюс або мінус a під тим же кутом:
Зібравши всю цю інформацію воєдино, графік конічного конуса такий:
Перетворіть наступний конічний з полярної форми в прямокутну форму.
\(\ r=\frac{3}{2-\cos \theta}\)
Рішення
Існує багато способів перетворення з полярної форми в прямокутну форму. Вам повинно стати комфортно з алгеброю.
\ (\\ почати {вирівняний}
r &=\ розрив {3} {2-\ cos\ тета}\\
r (2-\ cos\ тета) &= 3\\
2 р-р\ cdot\ cos\ тета &= 3\\
2 r &=3+r\ cdot\ cos\ theta = 3+y\\
4 r^ {2} &=9++y^ {2}\\
4\ ліворуч (x^ {2} +y^ {2}\ праворуч) &=9+6 y+ y^ {2}\\
4 x^ {2} +4 y^ {2} &=9++y+y^ {2}\\
4 x^ {2} +3 y^ {3} +6 y &=9\
4 x^ {2} +3\ ліворуч (y^ {2} +2 y+1\ праворуч) &=9+3\\
4 x^ {2} +3 (y+1) ^ {2} &2} =12
\\ розриву {x^ {2}} {3} +\ розриву {(y+1) ^ {2}} {4} &=1
\ кінець {вирівняний}\)
Графік наступний конічний.
\(\ r=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)
Рішення
Перетворити на стандартну конічну форму.
\ (\\ почати {вирівняний}
r &=\ розрив {3} {2-\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\\
r &=\ гідророзриву {3} {2-\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\ cdot\ гідророзриву {\ frac {1} {2}} {\ frac 1} {2}} =\ гідророзриву {\ гідророзриву {3} {2}} {1-\ гідророзриву {1} {2}\ cdot\ cos\ ліворуч (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)} =\ frac {3\ cdot\ frac {1} {2}} {1-\ frac { 1} {2}\ cdot\ cos\ лівий (\ тета-30^ {\ circ}\ праворуч)}\\
k &=3,\ квадрад e=\ frac {1} {2},\ квад\ бета = 30^ {\ circ}
\ кінець {вирівняний}\)
Переведіть наступну конічну форму в полярну форму.
\(\ (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)
Рішення
Розгорніть вихідне рівняння, а потім перекладіть на полярні координати:
\ (\\ почати {масив} {л}
(x-3) ^ {2} + (y+4) ^ {2} =25\
x^ {2} -6 x+9+y^ {2} +8 y+16 = 25\\
r^ {2} -6 х+8 y=0\\
r^ {2} -6 r\ cdot\ cos\ theta+8 r\ cdot\ гріх\ тета = 0\\
r-6\ cos\ тета+8\ гріх\ тета = 0\\ r
= 6\ cos\ тета-8\ гріх\ тета
\ end {масив}\)
Рецензія
Перетворіть наступні коніки з полярної форми в прямокутну форму. Потім визначте конічний конус.
- \(\ r=\frac{5}{3-\cos \theta}\)
- \(\ r=\frac{4}{2-\cos \theta}\)
- \(\ r=\frac{2}{2-\cos \theta}\)
- \(\ r=\frac{3}{2-4 \cos \theta}\)
- \(\ r=5 \cos (\theta)\)
Графік наведені нижче коніки.
- \(\ r=\frac{5}{4-2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)}\)
- \(\ r=\frac{5}{3-7 \cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)
- \(\ r=\frac{3}{3-3 \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)
- \(\ r=\frac{1}{2-\cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)
- \(\ r=\frac{3}{6-3 \cos \left(\theta-45^{\circ}\right)}\)
Переведіть наступні коніки в полярну форму.
- \(\ \frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)
- \(\ (x-5)^{2}+(y+12)^{2}=169\)
- \(\ x^{2}+(y+1)^{2}=1\)
- \(\ x^{2}+(y+1)^{2}=1\)
- \(\ -3 x^{2}-4 x+y^{2}-1=0\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.2.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Конічна | Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи. |
Ексцентричність | Ексцентриситет конічного перерізу - це міра того, наскільки конічний переріз відхиляється від кругового. Ексцентриситет кіл дорівнює 0, ексцентриситет еліпсів - між 0 і 1, ексцентриситет парабол - 1, а ексцентриситет гіпербол більше 1. Для еліпсів і гіпербол,\(\ e=\frac{c}{a}\). |
параметр | Параметр - це змінна в загальному рівнянні, яка приймає певне значення для того, щоб створити конкретне рівняння. |
полярна форма | Полярна форма точки або кривої задається через r і θ і графікується на полярній площині. |
полюс | Полюс - це центральна точка на полярному графіку. |
прямокутна форма | Прямокутна форма точки або кривої задається через x і y і зображується на декартовій площині. |
Атрибуції зображень
- [Рисунок 1]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Рисунок 2]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 3]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA - [Рисунок 4]
Кредит:
Ліцензія Фонду CK-12: CC BY-SA - [Рисунок 5]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
Ліцензія: CC BY-SA - [Рисунок 6]
Кредит: CK-12 Фонд
Джерело: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Phases_of_Venus.jpg
Ліцензія: CC BY-SA - [Рисунок 7]
Кредит: CK-12
Ліцензія Фонду: CC BY-SA