Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5.4: Позначення для перетворень

  • Page ID
    55195
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Точкові позначення та позначення функцій

    При виконанні декількох перетворень дуже легко зробити невелику похибку. Особливо це актуально, коли намагаєшся робити кожен крок подумки. Точкове позначення є корисним інструментом для концентрації зусиль на одній точці і допомагає уникнути дрібних помилок.

    Як би виглядав f (3x) +7 в точкових позначеннях і чому це корисно?


    Використання позначення функцій та позначення точок

    Перетворення може бути записано в позначеннях функцій і в точкових позначеннях. Функція позначення є дуже поширеним і практичним, оскільки дозволяє графікувати будь-яку функцію, використовуючи той самий базовий процес мислення, який потрібно для графування параболи у формі вершини.

    Інший спосіб графіка функції полягає в перетворенні кожної точки по черзі. Цей метод добре працює, коли таблиця значень x, y доступна або легко ідентифікується з графіка.

    По суті, він приймає кожну координату (x, y) і призначає нову координату на основі перетворення.

    (x, y) ⟶ (новий х, новий у)

    Це позначення називається точковим. Нова координата y є простою і безпосередньо з того, що відбувається поза межами f (x), оскільки f (x) — це лише інший спосіб запису y. Наприклад, f (x) →2f (x) −1 матиме нову координату y 2y−1.

    Нова координата x складніша. Вона походить від скасування операцій, які впливають на x. Наприклад, f (x) →f (2x−1) матиме нову координату x\(\ \frac{x+1}{2}\).

    Функція позначення і точкові позначення зображення перетворення «Горизонтальний зсув вправо три одиниці, вертикальний зсув вгору 4 одиниці» є

    ф (х) →ф (х−3) +4

    (х, у) → (х+3, у+4)

    Зверніть увагу, що операції з x відрізняються.

    Застосуйте наведене вище перетворення до наступної таблиці пунктів.

    х

    у

    1

    3

    2

    5

    8

    −11

    F-D_CB2B7243D7109FA972CCB43F39FDA7A1F814CC391E62515C3BD7BCBD+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

    [Малюнок 1]

    Зверніть увагу, що позначення точки значно зменшує ментальну візуалізацію, необхідну для збереження всіх перетворень відразу.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас запитали, якою буде функція f (3x) +7 при написанні в точкових позначеннях. Коли написано в точкових позначеннях, це буде написано як\(\ (x, y) \rightarrow\left(\frac{x}{3}, y+7\right)\). Це корисно, оскільки стає очевидним, що всі значення x діляться на три, а значення y збільшуються на 7.

    Приклад 2

    Перетворіть наступну функцію в точкових позначеннях в слова, а потім позначення функції.

    (х, у) → (3х+1, −у+7)

    Рішення

    Горизонтальне розтягування в 3 рази, а потім горизонтальне зсув вправо на одну одиницю. Вертикальне відображення над віссю х і потім вертикальний зсув на 7 одиниць вгору.

    \(\ f(x) \rightarrow-f\left(\frac{1}{3} x-\frac{1}{3}\right)+7\)

    Приклад 3

    Перетворіть наступні позначення функції в слова, а потім позначення точки. Нарешті, застосуйте трансформацію до трьох прикладних точок.

    f (x) →−2f (х−1) +4

    Рішення

    Вертикальне відображення по осі x. Вертикальна розтяжка в 2 рази. Вертикальний зсув 4 од. Горизонтальний зсув вправо на одну одиницю.

    (x, y) → (x+1, −2y+4)

    F-D_C217B13a6F14CC90F8157d7D71ec8E3F400Фаб3E903c9162aa739d2+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]
    Приклад 4

    Перетворіть наступні позначення функції в позначення точок і застосуйте його до включеної таблиці точок

    \(\ f(x) \rightarrow \frac{1}{4} f(-x-3)-1\)

    х

    у

    1

    4

    2

    8

    Рішення

    За y компонентом можна безпосередньо спостерігати. Для компонента x потрібно скасувати аргумент. \(\ (x, y) \rightarrow\left(-x-3, \frac{1}{4} y-1\right)\)

    F-D_3A06552DC284946BCA74946BCA775E7BDFCBE628B9ACA542B577D15be46+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 3]
    Приклад 5

    Перетворіть наступні позначення точки на слова та функцію позначення, а потім застосуйте перетворення до включеної таблиці точок.

    (x+3, y−1) → (2x+6, −y)

    х

    у

    10

    8

    12

    7

    14

    6

    Рішення

    Ця проблема інша, оскільки здається, що відбувається трансформація, що відбувається з початковою лівою точкою. Це додатковий шар виклику, оскільки трансформація інтересу - це лише різниця між двома пунктами. Зверніть увагу, що координата x просто подвоїлася, а координата y стала більшою на одиницю та стала негативною. Цю проблему можна переписати як:

    (x, y) → (2x, − (y+1)) = (2x, −y−1)

    \(\ f(x) \rightarrow-f\left(\frac{x}{2}\right)-1\)

    F-D_25B93C2A15DBDC2CFE2C62E7511CCDEEF8B18F605769B3A1B303E3F+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 4]

    Рецензія

    Перетворіть наступні позначення функції в слова, а потім позначення точки. Нарешті, застосуйте трансформацію до трьох прикладних точок.

    х

    у

     

    5

    1

    6

    2

    7

    1. \(\ f(x) \rightarrow-\frac{1}{2} f(x+1)\)
    2. г (х) →2г (3х) +2
    3. h (x) →−h (x−4) −3
    4. j (х) →3j (2х−4) +1
    5. k (x) →−k (x−3)

    Перетворіть наступні функції в точкових позначеннях в позначення функцій.

    1. \(\ (x, y) \rightarrow\left(\frac{1}{2} x+3, y-4\right)\)
    2. (x, y) → (2x+4, −y+1)
    3. (x, y) → (4x,3y−5)
    4. (2х, у) → (4x, −y+1)
    5. (x+1, y−2) → (3x+3, −y+3)

    Перетворіть наступні функції в позначенні функцій в точкові позначення.

    1. ф (х) →3ф (х−2) +1
    2. г (х) →−4г (х−1) +3
    3. \(\ h(x) \rightarrow \frac{1}{2} h(2 x+2)-5\)
    4. \(\ j(x) \rightarrow 5 j\left(\frac{1}{2} x-2\right)-1\)
    5. \(\ k(x) \rightarrow \frac{1}{4} k(2 x-4)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.3.


    Лексика

    Термін Визначення
    позначення функцій У контексті перетворень позначення функції описує, як змінюється функція f (x) в результаті перетворення.
    позначення точки У контексті перетворень позначення точки описує, як змінюється кожна координата (x, y) в результаті перетворення.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс
      Ліцензія: CC BY-SA
    2. [Рисунок 2]
      Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс
      Ліцензія: CC BY-SA
    3. [Рисунок 3]
      Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс
      Ліцензія: CC BY-SA
    4. [Рисунок 4]
      Кредит: Фонд CK-12; Паула Еванс
      Ліцензія: CC BY-SA