Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5.2: Розтягування та відображення перетворень

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55210

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розтягування та відображення перетворень

    Розуміння того, як зміни рівняння функції призводять до розтягування та/або відображення графіка функції - це чудовий спосіб взяти частину таємниці з графіків більш складних рівнянь. Визнаючи сім'ю, до якої належить більш складне рівняння, а потім визначивши, які зміни були внесені до батька цієї сім'ї, графік навіть досить докладних функцій можна зробити набагато зрозумілішим.

    Подивіться, чи можете ви визначити, які частини рівняння:\(\ y=-\frac{1}{5} x^{2}\) представляють або розтягування, або відображення батьківської функції y=x 2 перед прикладами в цьому розділі.

    Розтягування та відображення перетворень

    Розтягування та стиснення графіків

    Якщо помножити функцію на коефіцієнт, графік функції буде розтягнутий або стиснутий.

    З огляду на функцію f (x), ми можемо формалізувати стиснення і розтягування графа f (x) наступним чином:

    • Функція g (x) являє собою вертикальний розтяг f (x), якщо g (x) = cf (x) і c > 1.
    • Функція g (x) представляє вертикальне стиснення f (x), якщо g (x) = cf (x) і 0 < c < 1.
    • Функція h (x) являє собою горизонтальне стиснення f (x), якщо h (x) = f (cx) і c > 1.
    • Функція h (x) являє собою горизонтальний розтяг f (x), якщо h (x) = f (cx) і 0 < c < 1.

    Зверніть увагу, що вертикальне стиснення або горизонтальне розтягнення відбувається, коли коефіцієнт є числом від 0 до 1.

    Відображення графіків по осі Y та осі x

    Розглянемо графіки функцій y = x 2 і y = -x 2, наведені нижче.

    Ф-Д_Ф9957Е1А29С0С257Б07656096БА 5Ф6474Д1С31933217E5491769F5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Графік y = -x 2 являє собою відображення y = x 2, над віссю x. Тобто кожне значення функції y = -x 2 є від'ємним значенням функції y = x 2. Загалом, g (x) = -f (x) має графік, який є графом f (x), відображеним над віссю x.

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вам задавали питання про виявлення перетворень.

    Функція\(\ y=-\frac{1}{5} x^{2}\) є результатом перетворення y = x 2 шляхом відображення його над віссю x, через негативний коефіцієнт на x, і вертикального стиснення його (робить його ширшим), оскільки коефіцієнт на x - дріб між 0 і 1.

    Приклад 2

    Визначте графік функції y = (3x) 2.

    Рішення

    Ми помножили х на 3. Це повинно вплинути на графік по горизонталі. Однак якщо спростити рівняння, то отримаємо y = 9x 2. Тому графік, якщо ця парабола буде вищою/тонше, ніж y = x 2. Множення x на число більше 1 створює горизонтальне стиснення, яке виглядає як вертикальна розтяжка.

    Приклад 3

    Визначте перетворення, описане y = ((1/2) x) 2.

    Рішення

    Якщо спростити це рівняння, то отримаємо y = (1/4) х 2. Тому множення x на число між 0 і 1 створює горизонтальне розтягування, яке виглядає як вертикальне стиснення. Тобто парабола буде коротше/ширше.

    Приклад 4

    Намалюйте графік y = x 3 і y = -x 3 на однакових осях.

    Рішення

    Ф-д_даффе 062279С80Е 719Е9019БФ0Д88Ф04ААААА 973Е5ЕЕЕЦ6БФ95+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Спочатку дві функції можуть виглядати як дві параболи. Якщо ви графуєте вручну, або якщо ви встановите свій калькулятор в послідовний режим (а не одночасний), ви можете побачити, що графік y = -x 3 насправді є відображенням y = x 3 над віссю x.

    Однак, якщо ви подивитеся на графік, ви можете побачити, що він є відображенням і над віссю Y. Так відбувається тому, що для того, щоб отримати відображення над віссю y, ми заперечуємо x Іншими словами, h (x) = f (-x) є відображенням f (x) над віссю y. Для функції у = х 3, h (x) = (-х) 3 = (-х) (-х) (-х) = -х 3. Це та сама функція, що і та, яку ми вже намалювали.

    Важливо відзначити, що це особливий випадок. Графік y = x 2 також є окремим випадком. Якщо ми хочемо відобразити y = x 2 над віссю y, ми просто отримаємо той самий графік! Це можна пояснити алгебраїчно: у = (-х) 2 = (-х) (-х) = х 2.

    Приклад 5

    Графік функцій\(\ y=\sqrt{x} \text { and } y=\sqrt{-x}\).

    Рішення

    Рівняння\(\ y=\sqrt{-x}\) може виглядати заплутаним через - x під квадратним коренем. Важливо мати на увазі, що - х означає протилежність х. Тому область цієї функції обмежена значеннями ≤ 0. Наприклад, якщо\(\ x=-4, y=\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2\). Саме ця область, яка включає всі дійсні числа, які не знаходяться в області\(\ y=\sqrt{x}\) плюс нуль, дає нам графік, який є відображенням над віссю y.

    У сумі графік представляє відображення над осі x, якщо функція була заперечена (тобто y була заперечена, якщо ми думаємо про y = f (x)). Графік являє собою відображення над віссю y, якщо змінна x була заперечена.

    Ф-Д_АС 65С7 ЕД5Ф663Е983Ф7СБ3Б3А45Е8Ф6А88Е36Е20Е3Е1ДЦА2А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Приклад 6

    Визначте функцію та намалюйте графік\(\ y=\sqrt{x}\) відбитих по обох осях.

    Рішення

    Щоб відобразити графік\(\ y=\sqrt{x}\) над обома осями, функція повинна бути заперечена як зовні, так і всередині кореня:\(\ y=-\sqrt{-x}\). Заперечення (негативне) зовні кореня має ефект відображення графіка по вертикалі, а заперечення всередині кореня відображає графік по горизонталі. На зображенні нижче показані три версії:

    СИНІЙ:\(\ y=\sqrt{x}\)

    ЗЕЛЕНИЙ:\(\ y=-\sqrt{x}\)

    ЧЕРВОНИЙ:\(\ y=\sqrt{-x}\)

    Ф-д_07а785А5БК85543А1А1 АА3ЕКА 302666588ФДБ77845БК084Б8ФЕ 32575D8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рецензія

    1. Якщо функцію помножити на коефіцієнт, що буде з графіком функції?
    2. Що створює множення x на число більше одиниці?
    3. Що відбувається, коли ми помножимо х на число між 0 і 1?
    4. Для того, щоб отримати відображення над віссю y, що ми повинні зробити для x?
    5. Як ми отримуємо відображення над віссю x?
    6. Напишіть функцію, яка створить горизонтальне стиснення наступного:f (x) =x2+3
    7. Напишіть функцію, яка буде горизонтально розтягувати наступне: f (x) =x 2 −6
    8. Перепишіть функцію,\(\ f(x)=-\sqrt{x}\) щоб отримати відображення над віссю x.
    9. Перепишіть функцію,\(\ f(x)=\sqrt{x}\) щоб отримати відображення над віссю y.

    Графік кожного з наступних за допомогою перетворень. Визначте переклади та роздуми.

    1. f (x) =|х|−2
    2. \(\ h(x)=\sqrt{x+3}\)
    3. \(\ g(x)=\frac{1}{x+1}\)
    4. f (x) =−4х 3
    5. ч (х) = (х+3) 3 +1
    6. \(\ f(x)=\frac{1}{3}(x-3)^{2}+1\)
    7. \(\ f(x)=-4 \sqrt{x+1}-2\)
    8. \(\ f(x)=\frac{2}{3(x-2)}+\frac{1}{4}\)

    Нехай y=f (x) - функція, визначена відрізком лінії, що з'єднує точки (-1, 4) і (2, 5). Графік кожного з наступних перетворень y=f (x).

    1. й=ф (х) +1
    2. y=f (х+2)
    3. y=f (−х)
    4. y=f (х+3) −2

    Графік y = x показаний нижче. Намалюйте графік кожного з наступних перетворень y = x

    1. y=х+3
    2. y=x−2
    3. y=−x

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.13.

    Лексика

    Термін Визначення
    стиснення Розтягування або стиснення - це перетворення функції, яке робить графік вужчим або ширшим, без перекладу його горизонтально або вертикально.
    Функція сімейства Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми.
    батьківська функція Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією.
    Відображення Відображення графіка означає перетворення графіка, щоб створити «дзеркальне відображення» вихідного графіка шляхом перегортання його через лінію.
    Відображення Відображення - це перетворення, які призводять до «дзеркального відображення» батьківської функції. Вони викликані різними ознаками між батьківськими і дочірніми функціями.
    розтягнути Розтяжка або стиснення - це перетворення функції, яке робить графік вужчим або ширшим.
    розтягування Розтягування графіка означає зробити графік вужчим або ширшим.
    Трансформації Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.