1.5.1: Вертикальні та горизонтальні перетворення
- Page ID
- 55208
Вертикальні та горизонтальні перетворення
Горизонтальні та вертикальні перетворення - це два з багатьох способів перетворення основних батьківських функцій у сімействі функцій у їх більш складні аналоги.
Які вертикальні і/або горизонтальні зсуви повинні бути застосовані до \(\ y=x^{2}\)батьківської функції, щоб зробити графік\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\)?
Вертикальні та горизонтальні перетворення
Ви коли-небудь пробували намалювати малюнок кролика, або кота, або собаки? Якщо ви не талановитий, навіть найпоширеніші тварини можуть бути трохи складним завданням, щоб намалювати точно (або навіть впізнавано!). Один трюк, який може допомогти навіть самим «художньо складним» створити чітко впізнаваний базовий ескіз, демонструється майже на всіх курсах «навчитися малювати»: почніть з базових фігур. Починаючи свій ескіз з простих кіл, еліпсів, прямокутників і т.д., базовий контур більш складної фігури легко досягається, потім деталі можна додавати в міру необхідності, але фігура вже впізнавана за якою вона є.
Той же трюк працює і при графічному рівнянні. Вивчаючи основні форми різних типів графіків функцій, а потім коригуючи графіки з різними типами перетворень, навіть складні графіки можна накидати досить легко. Цей урок буде присвячений двом конкретним типам перетворень: вертикальні зрушення і горизонтальні зсуви.
Ми можемо виразити застосування вертикальних зрушень таким чином:
Формально: Для будь-якої функції f (x) функція g (x) = f (x) + c має графік, такий же, як f (x), зміщений c одиницями вертикально. Якщо c позитивний, графік зміщується вгору. Якщо c від'ємний, графік зсувається вниз.
Неофіційно: додавання додатного числа після x поза дужками зміщує графік вгору, додавання від'ємного (або віднімання) зсуває графік вниз.
Ми можемо виразити застосування горизонтальних зсувів таким чином:
Формально: задана функція f (x) і константа a > 0, функція g (x) = f (x - a) являє собою горизонтальний зсув на одиниці вправо від f (x). Функція h (x) = f (x + a) являє собою горизонтальний зсув a одиниці вліво.
Неофіційно: додавання додатного числа після x всередині дужок зміщує графік вліво, додавання від'ємного (або віднімання) зміщує графік вправо.
Приклади
Рішення
Раніше вам було дано питання про застосування вертикальних і/або горизонтальних зсувів до батьківської функції, щоб графікувати іншу функцію в одному сімействі функцій.
До яких перетворень потрібно застосувати\(\ y=x^{2}\), щоб графувати\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\)?
Графік\(\ g(x)=(x-3)^{2}+4\) - це графік\(\ y=x^{2}\) зміщених 3 одиниць вправо і 4 одиниць вгору.
Що потрібно зробити з графіком,\(\ y=x^{2}\) щоб перетворити його в графіки\(\ y=x^{2}-3\) і\(\ y=x^{2}+4\)?
Рішення

На перший погляд може здатися, що графіки мають різну ширину. Наприклад, це може виглядати так, як y = x 2 + 4, самий верхній з трьох парабол, тонший, ніж інші дві параболи. Однак це не так. Параболи конгруентні.
Якби ми змістили графік y = x 2 вгору на чотири одиниці, ми мали б точно такий же графік, як y = x 2 + 4. Якби ми зрушили y = x 2 вниз на три одиниці, у нас буде графік y = x 2 - 3.
Визначте перетворення (и), що беруть участь у перетворенні графіка f (x ) = | x | в g (x) = | x - 3|.
Рішення
З прикладів вертикальних зсувів вище можна подумати, що графік g (x) - це графік f (x), зміщений на 3 одиниці вліво. Однак це не так. Графік g (x) - це графік f (x), зміщений на 3 одиниці вправо.
Напрямок зсуву має сенс, якщо ми подивимося на конкретні значення функції.
х | г (х) = абс (х - 3) |
---|---|
0 | 3 |
1 | 2 |
2 | 1 |
3 | 0 |
4 | 1 |
5 | 2 |
6 | 3 |
З таблиці видно, що вершиною графа є точка (3, 0). Значення функції по обидві сторони від x = 3 симетричні та більші за 0.

Які перетворення потрібно застосувати до y=x 2, щоб граф g (x) =( x+2) 2 −2?
Рішення
Графік g (x) = (x+2) 2 −2 - графік y = x 2 зміщений на 2 одиниці вліво, і на 2 одиниці вниз.
Використовуйте батьківську функцію f (x) = x 2 для графіка f (x) = x 2 + 3.
Рішення
Функція f (x) = x 2 є параболою з вершиною в (0, 0).
Додавання поза дужками зсуває графік по вертикалі.
Отже, f (x) = x 2 + 3 буде параболою з вершиною 3 одиниці вгору.

Використовуйте батьківську функцію f (x) = |x| для графіка f (x) = |x - 4|.
Рішення
Графік батьківської функції сімейства абсолютних значень f (x) = |x| являє собою велику «V» з вершиною біля початку.
Додавання або віднімання всередині дужок призводить до горизонтального переміщення.
Нагадаємо, що горизонтальний зсув - справа для від'ємних чисел, а лівий - для позитивних чисел.
Тому f (x) = |x - 4| - це велика «V» з вершиною 4 одиниці праворуч від початку.

Рецензія
- Графік функції f (x) =2|x−1|−3 без калькулятора.
- Що таке вершина графа і як дізнатися?
- Це відкривається вгору або вниз, і як ви знаєте?
- Для функції: f (x) =|x|+c, якщо c позитивний, графік зміщується в якому напрямку?
- Для функції: f (x) =|x|+c, якщо c від'ємний, графік зміщується в якому напрямку?
- Функція g (x) =|x−a| представляє зсув вправо або вліво?
- Функція h (x) =|x+a| являє собою зсув вправо або вліво?
- Якщо граф має вигляд a⋅f (x). Який ефект від зміни a?
Опишіть перетворення, яке відбулося для батьківської функції f (x) =|x|.
- f (x) =|х|−5
- ф (х) = 5|х+7|
Напишіть рівняння, яке відображає перетворення, яке відбулося для батьківської функції\(\ g(x)=\frac{1}{x}\), щоб вона рухалася наступними способами:
- Перемістіть два пробіли вгору
- Перемістіть чотири пробіли вправо
- Розтягніть його на 2 у напрямку y
Напишіть рівняння для кожного описаного перетворення.
- V-подібна форма зміщена вниз на 4 одиниці.
- V-подібна форма зміщена вліво 6 одиниць
- V-подібна форма зміщена вправо на 2 одиниці і вгору на 1 одиницю.
Наступні графіки є перетвореннями батьківської функції f (x) =|x| у вигляді f (x) =a|x−h|=k. графік або ескіз кожного для спостереження за типом перетворення.
- f (x) =|х|+2. Що відбувається з графіком, коли ви додаєте число до функції? (Тобто f (x) + k).
- f (x) =|x|−4. Що відбувається з графіком, коли ви віднімаєте число з функції? (Тобто f (x) - k).
- f (x) =|х−4|. Що відбувається з графіком, коли ви віднімаєте число у функції? (Тобто f (x - h)).
- f (x) =|х+2|. Що відбувається з графіком, коли ви додаєте число у функції? (Тобто f (x + h)).
Практика: Графік наступний.
- ф (х) =2|х|
- \(\ f(x)=\frac{5}{2}|x|\)
- \(\ f(x)=\frac{1}{2}|x|\)
- \(\ f(x)=\frac{2}{5}|x|\)
- Нехай f (x) = х 2. Нехай g (x) - функція, отримана зміщенням графіка f (x) на дві одиниці вправо, а потім вгору на три одиниці. Знайдіть формулу для g (x), а потім намалюйте її графік
Припустимо, H (t) дає висоту припливу на Гаваях (H) у вівторок, (t) року. Використовуйте зрушення функції H (t), щоб знайти формули кожної з наступних функцій:
- F (t), висота припливу на Фіджі у вівторок (t), враховуючи, що прилив на Фіджі завжди на один фут вище, ніж прилив на Гаваях.
- S (d), висота припливу в Сент-Томасі у вівторок (t), враховуючи, що приплив в Сент-Томас має таку ж висоту, як висота попереднього дня на Гаваях.
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.12.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
Функція абсолютного значення | Функція абсолютного значення відображає V-подібну форму і знаходиться у вигляді y=|x|. |
Функціональні сімейства | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
Функція сімейства | Сімейства функцій - це групи функцій з подібністю, які полегшують їх графік, коли ви знайомі з батьківською функцією, найпростішим прикладом форми. |
Горизонтальний зсув | Горизонтальний зсув є результатом додавання постійного члена до функції всередині дужок. Позитивний термін призводить до зсуву вліво і негативного члена в зрушення вправо. |
батьківська функція | Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією. |
зрушення | Зсув, також відомий як переклад або слайд, - це перетворення, застосоване до графіка функції, яка не змінює форму або орієнтацію графіка, а лише розташування графіка. |
зрушень | Зсув, також відомий як переклад або слайд, - це перетворення, застосоване до графіка функції, яка не змінює форму або орієнтацію графіка, а лише розташування графіка. |
Трансформації | Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції. |
Переклад | Переклад - це перетворення, яке ковзає фігуру по координатній площині без зміни її форми, розміру або орієнтації. |
Вертикальний зсув | Вертикальний зсув є результатом додавання постійного члена до значення функції. Позитивний термін призводить до зсуву вгору, а негативний - до зсуву вниз. |