Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5.3: Поєднання перетворень

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55196

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Графіки функцій: комбіновані перетворення

    Як різні форми перетворень призводять до відмінностей між основними батьківськими функціями, які ми досліджували, та деякими з більш складних графіків, які ви могли бачити? Ймовірно, вам прийшло в голову, що цих індивідуальних перетворень недостатньо, щоб призвести до таких значних відмінностей. Як ми потім застосовуємо окремі перетворення, щоб можна було зрозуміти більш складні графіки?

    Перетворення функцій: комбіновані перетворення

    Поєднуючи зрушення, відображення, вертикальні та горизонтальні розтягування та стиснення, простий графік батьківських функцій може представляти набагато більш досконалу функцію.

    Розглянемо рівняння y=2 (x−3) 2 +1. Ми можемо порівняти графік цієї функції з графіком батьківського y=x 2: графік являє собою вертикальну розтяжку в 2 рази, горизонтальний зсув на 3 одиниці вправо і вертикальний зсув 1 одиницю.

    Ми можемо використовувати цей зв'язок для графування функції y=2 (x−3) 2 +1. Ви можете почати з ескізу y=x 2 або y=2x 2. Потім можна зрушити графік на 3 одиниці вправо, і вгору на 1 одиницю.

    F-D_E4E82AB665C9B88C064AAEB1CB69291013209E5640851321d8E314+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 1]

    Використовуючи свої знання про батьківську функцію y=|x| і свої знання про перетворення, графік наступної функції:

    f (x) =−|х|+3

    Батьківським графіком цієї функції є графік y=|x|, відображений над віссю x та зміщений вгору на 3 одиниці. Питання: яку трансформацію ви виконуєте в першу чергу?

    Ми можемо відповісти на це питання, якщо розглянути кілька значень ключових функцій. У таблиці нижче наведено декілька значень функцій для f (x) =−|x|+3:

    х f (x) =−абс (х) +3
    -3 −абс (−3) +3=− (+3) +3=−3+3=0
    -2 −абс (−2) +3=− (+2) +3=−2+3=1
    -1 2
    0 3
    1 2
    3 0

    Зі значень функції в таблиці ми бачимо, що функція збільшується до вершини в (0, 3), а потім вона знову зменшується. Це говорить нам про те, що ми можемо отримати графік, якщо спочатку відобразити y=|x| над віссю x (перевернути «v» догори дном), а потім зрушити графік вгору на 3 одиниці.

    F-D_66A1171E0AC37796878757bc 2466823760711e93d85f7b3971a4fd52+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 2]

    Ми також можемо обґрунтувати це впорядкування перетворень, якщо ми думаємо про порядок операцій. Щоб знайти будь-яке значення функції, ми беремо значення x, знаходимо його абсолютне значення, знаходимо від'ємне від цього числа, а потім додаємо 3. Це те саме, що і порядок трансформації: відображення настає перед зміщенням вгору.

    При описі зв'язку між перетвореним графіком і його батьківським графом важливо бути обережним з порядком операцій. Візьмемо графік f (x) =3 (x+7) 3 +5 і його батьківську функцію g (x) =x 3.

    Графік f (x) =4 (x+8) 3 −3 - це графік g (x) =x 3, розтягнутий по вертикалі (зроблений більш вузьким) на коефіцієнт 3, зміщений на 7 одиниць вліво, а потім зміщений на 5 одиниць вгору.

    Приклади

    Приклад 1

    Графік функції нижче, використовуючи ваші знання про батьківську функцію y=|x| і ваші знання перетворень.
    г (х) =|−х+3|

    Рішення

    Ця функція являє собою горизонтальний зсув y=|x| та відображення над віссю x. Перед графіком розглянемо кілька значень функцій:

    х г (х) = абс (−х+3)
    -3 абс (− (−3) +3) = абс (3+3) =абс (6) =6
    -2 абс (− (−2) +3) = (2+3) =абс (5) =5
    0 3
    1 2
    3 0
    4 1

    Зі значень в таблиці ми бачимо, що вершина графа знаходиться в (3, 0). Графік наведено нижче.

    F-D_13E17F6836A304A8E548866F3B57107255948DCF9B54EAFB2FD2F+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 3]

    Графік виглядає так само, як і графік y=|x−3|. Це відбувається тому, що y=|−x+3|=|− (x−3) |, і тому, що |−a|=|a| для всіх значень a, то |− (x−3) |=|x−3|. Отже, початкова функція дорівнює |x−3|.

    Ми все ще можемо вважати цей графік відображенням: якщо відобразити y=|x| над віссю x, графік залишається таким же, оскільки він симетричний над віссю x. Потім зрушуємо графік на 3 одиниці вправо. Тут важливо зазначити, що для того, щоб «прочитати» рівняння як горизонтальний зсув, весь вираз всередині функції (в даному випадку всередині абсолютного значення) має бути заперечено.

    Пам'ятайте, що ключ до декількох перетворень - робити їх по порядку. Ще один спосіб відстежувати, які операції робити в якому порядку - це просто робити їх у тому порядку, в якому вони відображаються в рівнянні, зліва направо.

    Приклад 2

    Намалюйте графік y=−3 (x+2) 2 +4

    Рішення

    Щоб намалювати y=−3 (x+2) 2 +4, ми починаємо з батьківської функції, y=x 2.

    F-D_48D7E6DD23467 DeF896DDB8CDF250b4770FE27D770A251CCE891122+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 4]
    F-D_24be8DF2054da34F78D7 Ед 512943А9728EBB7CC6CC3CF7B63C70CC+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 5]

    Далі розтягуємо на 3:

    F-D_AE93D7AEC0A6463E9C59D5445 ББ563 AB164643B035A28B799A5420E5+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 6]

    Зсув вліво на 2:

    F-D39E88ed36C4F3971d36189b19 БК 54Ф43Ф40250Ф08Д250Ф08Д250C548E8+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 7]

    Нарешті зсуньте вгору на 4:

    F-D_A49C7727937B0F1EFDD381844F0C3D4B73910694F94708581B6CF1B7+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 8]
    Приклад 3

    Намалюйте графік y=−1|x+2|−3

    Рішення

    Щоб намалювати y=−1|x+2|−3, почніть з батьківського рівняння: f (x) =|x| і завершіть перетворення зліва направо:

    F-D_86ad0d88b286320997FB0607782951ad16872dddc21c165c8f4174051+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 9]

    Спочатку відбийте над віссю x:

    F-D_65618757050 Дека 915FDA04AF9D15F6E7750FEE2E6FA98141827+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 10]

    По-друге, зрушення вліво на 2:

    F-D_E3A2CFAD1294D380A53B8C0ce54DD05D4868DE08b7b0380c790EA+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png[Малюнок 11]

    Нарешті, зрушуємо вниз на 3:

    F-D_1С8БД8Ф30А755ДФЧ 86D16CD4F2A825D749DE6EB68321BCBAA+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 12]
    Приклад 4

    Намалюйте графік f (x) =2 (x−1) 2

    Рішення

    Для ескізу f (x) =2 (x−1) 2 почніть з батьківського файла f (x) =x 2

    F-D_7FFD3DA6B8242BF3E3E94CFC45CDCCF3516c77275FFA9ED675E9F+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 13]

    Спочатку розтягуємо на 2:

    F-D_FA1C251B9086AE3C1528BF186FDC290FD9026FDCDE2A8589677E46+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 14]

    По-друге, зрушуємо вправо на 1:

    F-D_21DD0ФБД2БД7С8925340303ДБ1Д202С 736АЦБ8Ф5ФА4347D7E01+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 15]
    Приклад 5

    Намалюйте графік\(\ f(x)=-2 \sqrt{x-1}\)

    Рішення

    Намальовування графіка\(\ f(x)=-2 \sqrt{x-1}\) початку з батьківського\(\ y=\sqrt{x}\)

    F-D_4A6C6E84C7F181БДСБ1С77Ф05613БФ1C169B063D3F8012AE4A224814+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 16]

    Спочатку відбийте над віссю x:

    F-D_7E3A9F1F18CDA6A8D08eb339AE459B1A6C23B42041c337a41A44048E0C9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 17]

    По-друге, розтягуємо на 2:

    F-D_5E44623E583B977425D632E81A8F432746A5BDE6CD7E9AFE1+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 18]

    По-третє, зрушуємо вправо на 1:

    F-D_8ed4BDEA0B4F32334D14B32A2ФД762ФК39245648b6E28063294382E7+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великого пальця листівка_крихітка_png[Малюнок 19]

    Рецензія

    1. Яка частина функції g (x) =− (f (x) +1) =− (x 3 +1) зміщує графік f (x) вертикально?
    2. Яка частина функції g (x) =− (f (x) +1) відображає графік f (x) по осі x?
    3. Чим відрізняються функції g (x) =− (x 3 +1.0) та h (x) =−x 3 +1.0, що змінює вигляд графіка?
    4. З огляду на функцію g (x) =3.0 (f (x) +2.0) =3.0 (x 2 +2.0), що це таке, що зміщує графік f (x) по вертикалі?
      1. 3.0
      2. х 2
      3. 2.0
    5. З огляду на функцію g (x) =3.0 (f (x) +2.0) =3.0 (x 2 +2.0), що це таке, що розтягує графік f (x) по вертикалі?
      1. 3.0
      2. х 2
      3. 2.0
    6. Яка частина рівняння k (x) =− (x+1) 3 зміщує графік j (x) =x 3 по горизонталі?
    7. Яка частина рівняння k (x) =− (x+1) 3 відображає графік j (x) =x 3 по осі x?
    8. З огляду на функцію g (x) =3.0 (f (x) +2.0) =3.0 (x+2.0) 3, що зміщує графік f (x) по горизонталі?
    9. З огляду на функцію g (x) =3.0 (f (x) +2.0) =3.0 (x 2 +2.0) 3, що розтягує графік f (x) по вертикалі?
    10. Графік g (x) - це f (x), що відбивається по осі x. Графік h (x) - це f (x), що відбивається по осі y. Графік j (x) - це f (x), що відбивається по осі x та осі y. При графіку j (x) чи має значення порядок, в якому відбуваються відображення? (Чи має значення, на якій осі ми відображаємо графік спочатку?)
    11. Враховуючи функцію f (x) =x 3, запишіть функцію g (x), яка є: f (x) відбивається по осі y, а потім розтягнута вертикально на 8.
    12. Як перетворити графік: f (x) =x 3 так, щоб він виглядав як графік: f (x) =4x 3 +6?
      1. Розтягніть його в рази\(\ 1 \over 4\) і змістіть вгору на 6 одиниць.
      2. Розтягніть його в 6 разів і зрушуйте вліво на 4 одиниці.
      3. Розтягніть його в 4 рази і змістіть вниз на 6 одиниць.
      4. Розтягніть його в 4 рази і змістіть вгору на 6 одиниць.
    13. Як ви трансформуєте графік:\(\ f(x)=\sqrt{x}\) так, щоб він виглядав як графік:\(\ f(x)=-\sqrt{x}-4\)?
      1. Відобразіть його по осі x і змістіть його на 4 одиниці вниз.
      2. Відобразіть його по осі Y і змістіть його на 4 одиниці вгору.
      3. Відобразіть його по осі х і змістіть його на 4 одиниці вгору.
      4. Відобразіть його по осі Y і змістіть його на 4 одиниці вниз.
    14. Графік нижче - це перетворення загальної функції. Що таке загальна функція, яка була перетворена?
      1. y=|x|
      2. y=\(\ \sqrt{x}\)
      3. у = х 2
      4. у = х 3
    F-D_F7CEBAE01F4F7A837E21927E6AB3A4D6F9146D2887083D0452155AE7+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png[Малюнок 20]
    1. Як трансформувалася функція в Q# 14?
      1. Відображається поперек осі Y і зміщується вправо на 3 одиниці.
      2. Розтягнутий вертикально в 3 рази і зміщений вправо на 1 одиницю.
      3. Відображається поперек осі х і зміщується вгору на 3 одиниці.
      4. Відображається поперек осі х і зміщується вліво на 4 одиниці.
    2. Напишіть функцію g (x), графік якої виглядає як графік f (x) =|x| відбитий по осі x і зміщений вгору на 1 одиницю.
    3. Виберіть функцію, графік якої виглядає як графік f (x) =x 3, зміщений вправо на 2 одиниці і відображений поперек осі y.
      1. f (x) = (−х−2) 3
      2. f (х) = (−х+2) 3
      3. f (x) =− (x−2) 3
      4. f (х) = (х−2) 3

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.7.

    Лексика

    Термін Визначення
    батьківська функція Батьківська функція - найпростіша форма певного типу функції. Всі інші функції цього типу зазвичай порівнюються з батьківською функцією.
    Трансформації Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    2. [Рисунок 2]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    3. [Рисунок 3]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    4. [Рисунок 4]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    5. [Рисунок 5]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    6. [Рисунок 6]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    7. [Рисунок 7]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    8. [Рисунок 8]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    9. [Малюнок 9]
       Кредит: Дев Мур; CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/devinmoore/187215281/in/photolist-hxwzF-9Y2dT2-8R5iar-9Y2cLM-ePfP1W-eP4pca-epUxUk-ePfP4W-ceh8k3-3dMceZ-aehC8w-gmZd-e3dfr7-ac7c3c-dMr5kM-6bfCWV-6vpzyo-eKFqm1-iEv4o-aYNoV6-aWuFqv-9Uomhm-aWuFb4-eLWJx6-9Y2d4v-aWuFg4-633FZc-7L1mSC-aWuFn6-eKFqkC-7nAuor-9yD6vQ-7jAj2m-aWuFja-bXcHpR-7q9MQ4-eq QMBS-4В9 ІРК-4В9 ISQ-ЕПФФІС-9мм Ч4-7К ЕПФНЗ-ЕПФНЗИ-Б3СГМ-ЕП4ОК2-ЕП4ОЗД-7Q9Y2K-ЕПФ9О-ЕКФСДМ-7КДВЮ
      Ліцензія: CC BY-NC-SA
    10. [Малюнок 10]
       Кредит: Дев Мур; CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/devinmoore/187215281/in/photolist-hxwzF-9Y2dT2-8R5iar-9Y2cLM-ePfP1W-eP4pca-epUxUk-ePfP4W-ceh8k3-3dMceZ-aehC8w-gmZd-e3dfr7-ac7c3c-dMr5kM-6bfCWV-6vpzyo-eKFqm1-iEv4o-aYNoV6-aWuFqv-9Uomhm-aWuFb4-eLWJx6-9Y2d4v-aWuFg4-633FZc-7L1mSC-aWuFn6-eKFqkC-7nAuor-9yD6vQ-7jAj2m-aWuFja-bXcHpR-7q9MQ4-eq QMBS-4В9 ІРК-4В9 ISQ-ЕПФФІС-9мм Ч4-7К ЕПФНЗ-ЕПФНЗИ-Б3СГМ-ЕП4ОК2-ЕП4ОЗД-7Q9Y2K-ЕПФ9О-ЕКФСДМ-7КДВЮ
      Ліцензія: CC BY-NC-SA
    11. [Малюнок 11]
       Кредит: Дев Мур; CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/devinmoore/187215281/in/photolist-hxwzF-9Y2dT2-8R5iar-9Y2cLM-ePfP1W-eP4pca-epUxUk-ePfP4W-ceh8k3-3dMceZ-aehC8w-gmZd-e3dfr7-ac7c3c-dMr5kM-6bfCWV-6vpzyo-eKFqm1-iEv4o-aYNoV6-aWuFqv-9Uomhm-aWuFb4-eLWJx6-9Y2d4v-aWuFg4-633FZc-7L1mSC-aWuFn6-eKFqkC-7nAuor-9yD6vQ-7jAj2m-aWuFja-bXcHpR-7q9MQ4-eq QMBS-4В9 ІРК-4В9 ISQ-ЕПФФІС-9мм Ч4-7К ЕПФНЗ-ЕПФНЗИ-Б3СГМ-ЕП4ОК2-ЕП4ОЗД-7Q9Y2K-ЕПФ9О-ЕКФСДМ-7КДВЮ
      Ліцензія: CC BY-NC-SA
    12. [Малюнок 12]
       Кредит: Дев Мур; CK-12
      Джерело Фонду: https://www.flickr.com/photos/devinmoore/187215281/in/photolist-hxwzF-9Y2dT2-8R5iar-9Y2cLM-ePfP1W-eP4pca-epUxUk-ePfP4W-ceh8k3-3dMceZ-aehC8w-gmZd-e3dfr7-ac7c3c-dMr5kM-6bfCWV-6vpzyo-eKFqm1-iEv4o-aYNoV6-aWuFqv-9Uomhm-aWuFb4-eLWJx6-9Y2d4v-aWuFg4-633FZc-7L1mSC-aWuFn6-eKFqkC-7nAuor-9yD6vQ-7jAj2m-aWuFja-bXcHpR-7q9MQ4-eq QMBS-4В9 ІРК-4В9 ISQ-ЕПФФІС-9мм Ч4-7К ЕПФНЗ-ЕПФНЗИ-Б3СГМ-ЕП4ОК2-ЕП4ОЗД-7Q9Y2K-ЕПФ9О-ЕКФСДМ-7КДВЮ
      Ліцензія: CC BY-NC-SA
    13. [Малюнок 13]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    14. [Рисунок 14]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    15. [Малюнок 15]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    16. [Рисунок 16]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    17. [Рисунок 17]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    18. [Рисунок 18]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    19. [Малюнок 19]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA
    20. [Рисунок 20]
       Ліцензія: CC BY-NC-SA