A.3: Використання визначень

Template:MathJaxZach

Ми згадали, що ви повинні бути знайомі з усіма визначеннями, які можуть бути використані в доказі, і що ви можете правильно їх застосувати. Це дійсно важливий момент, і варто розглянути його трохи докладніше. Визначення використовуються для скорочення властивостей і відносин, тому ми можемо говорити про них більш лаконічно. Введена абревіатура називається definiendum, а те, що вона скорочує, - це definiens. У доказах нам часто доводиться повертатися до того, як було введено дефініендум, оскільки нам доводиться використовувати логічну структуру дефініенсів (довга версія, якою визначається термін є абревіатурою), щоб пройти через наш доказ. Розпаковуючи визначення, ви гарантуєте, що ви отримуєте до серця, де логічна дія.

Почнемо з прикладу. Припустимо, ви хочете довести наступне:

Для того, щоб навіть почати доказ, нам потрібно знати, що це означає для двох множин, щоб бути однаковими; тобто нам потрібно знати, що означає «\(=\)» у цьому рівнянні для множин. Множини визначаються однаковими, коли вони мають однакові елементи. Отже, визначення, яке ми повинні розпакувати, є:

Це визначення використовує\(A\) і\(B\) як заповнювачі для довільних множин. Те, що він визначає - визначення - це вираз «\(A = B\)», надаючи умову, за якої\(A = B\) є істинним. Ця умова— «кожен елемент\(A\) є елементом\(B\), і навпаки» —є дефініенсом. ¹ Визначення вказує,\(A = B\) що true if, і тільки якщо (ми скорочуємо це до «iff») умова тримає.

Коли ви застосовуєте визначення, ви повинні відповідати\(A\) і\(B\) в визначенні випадку, з яким ви маєте справу. У нашому випадку це означає, що для того,\(A \cup B = B \cup A\) щоб бути правдою, кожен теж\(z \in A \cup B\) повинен бути в\(B \cup A\), і навпаки. Вираз\(A \cup B\) у судженні відіграє роль\(A\) у визначенні, а також\(B \cup A\) у визначенні\(B\). Оскільки\(A\) і\(B\) використовуються як у визначенні, так і в заяві пропозиції, яку ми доводимо, але в різних цілях, ви повинні бути обережними, щоб переконатися, що ви не змішайте ці два. Наприклад, було б помилкою думати, що ви можете довести пропозицію, показавши, що кожен елемент\(A\) є елементом\(B\), і навпаки - це покаже це\(A = B\), а не те\(A \cup B = B \cup A\). (Крім того, оскільки\(A\) і\(B\) можуть бути будь-які два набори, ви не отримаєте дуже далеко, тому що якщо нічого не передбачається,\(A\) і\(B\) вони цілком можуть бути різними наборами.)

У межах доказу ми маємо справу з теоретичними поняттями, такими як об'єднання, і тому ми також повинні знати значення символу,\(\cup\) щоб зрозуміти, як слід продовжувати доказ. А іноді розпакування визначення породжує подальші визначення для розпакування. Наприклад,\(A \cup B\) визначається як\(\Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B}\). Так що якщо ви хочете довести це\(x \in A \cup B\), розпакування визначення\(\cup\) говорить вам, що ви повинні довести\(x \in \Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B}\). Тепер ви також повинні пам'ятати, що\(x \in \Setabs{z}{\dots z\dots}\) iff\(\dots x\dots\). Отже, подальше розпакування визначення\(\Setabs{z}{\dots z \dots}\) позначення, що ви повинні показати це:\(x \in A\) або\(x \in B\). Отже, «кожен елемент також\(A \cup B\) є елементом\(B \cup A\)» дійсно означає: «для кожного\(x\), якщо\(x \in A\) або\(x \in B\), то\(x \in B\) або»\(x \in A\). Якщо ми повністю розпакуємо визначення в пропозиції, ми побачимо, що те, що ми повинні показати, це так:

Важливим є те, що розпакування визначень є необхідною частиною побудови доказу. Правильно зробити це іноді важко: ви повинні бути обережними, щоб розрізняти та зіставити змінні у визначенні та терміни в претензії, яку ви доводите. Для того, щоб досягти успіху, ви повинні знати, що задається питання і що означають всі терміни, що використовуються в питанні - вам часто потрібно буде розпакувати більше одного визначення. У простих доказах, таких як наведені нижче, рішення майже відразу випливає з самих визначень. Звичайно, це не завжди буде так просто.