11.1: Огляд

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52792

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Логіка першого порядку - не єдина система цікавить логіки: існує безліч розширень і варіацій логіки першого порядку. Логіка зазвичай складається з формальної специфікації мови, як правило, але не завжди, дедуктивної системи, і зазвичай, але не завжди, передбачуваної семантики. Але технічне вживання терміна викликає очевидне питання: яке відношення мають логіки, що не є логікою першого порядку, зі словом «логіка», вживаним в інтуїтивному або філософському сенсі? Всі системи, описані нижче, призначені для моделювання міркувань тієї чи іншої форми; чи можемо ми сказати, що робить їх логічними?

Ніяких легких відповідей не буде. Слово «логіка» вживається по-різному і в різних контекстах, і поняття, як і «правда», було проаналізовано з численних філософських позицій. Наприклад, метою логічного міркування можна вважати визначення того, які твердження обов'язково є істинними, істинними апріорі, істинними, незалежними від тлумачення нелогічних термінів, істинними в силу їх форми або істинними за лінгвістичною конвенцією; і кожне з цих уявлень вимагає хорошого справа роз'яснення. Навіть якщо хтось обмежує свою увагу видом логіки, яка використовується в математиці, існує мало згоди щодо її обсягу. Наприклад, в Principia Mathematica Рассел і Уайтхед намагалися розвивати математику на основі логіки, в логічній традиції, розпочатій Фреге. Їх система логіки була формою логіки вищого типу, подібної до описаної нижче. Зрештою, вони були змушені ввести аксіоми, які, за більшістю стандартів, не здаються чисто логічними (зокрема, аксіома нескінченності та аксіома скорочуваності), але, тим не менш, можна вважати, що деякі форми міркувань вищого порядку слід приймати як логічні. На відміну від цього, Квін, онтологія якого не визнає «пропозиції» як законні об'єкти дискурсу, стверджує, що логіка другого порядку і вищого порядку дійсно є проявами теорії множин в овечому одязі; іншими словами, системи, що включають кількісну оцінку над предикатами, не є чисто логічними.

Наразі найкраще залишити такі філософські питання на чорний день, і просто думати про наведені нижче системи як про формальні ідеалізації різного роду міркувань, логічних чи інших.