5.10: Криті структури для мов першого порядку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53007

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

Нагадаємо, що термін закривається, якщо він не містить змінних.

Визначення\(\PageIndex{1}\): Value of closed terms

Якщо\(t\) є замкнутим терміном мови\(\Lang L\) і\(\Struct M\) є структурою для\(\Lang L\),\(\Value{t}{M}\) то значення визначається наступним чином:

Якщо\(t\) це просто постійний символ\(c\), то\(\Value{c}{M} = \Assign{c}{M}\).
Якщо\(t\) має форму\(\Atom{f}{t_1, \ldots, t_n}\), то\[\Value{t}{M} = \Assign{f}{M}(\Value{t_1}{M}, \ldots, \Value{t_n}{M}).\nonumber\]

Визначення\(\PageIndex{2}\): Covered structure

Структура покривається, якщо кожен елемент домену є значенням якогось закритого терміна.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(\Lang L\)Дозволяти мова з постійними символами\(\Obj{zero}\),\(\Obj{one}\),\(\Obj{two}\),,..., символ двійкового присудка\(<\), і символи бінарних функцій\(+\) і\(\times\). Тоді структура\(\Struct M\) для\(\Lang L\) - це той, який має домен\(\Domain M = \{0, 1, 2, \ldots \}\) і призначення\(\Assign{\Obj{zero}}{M} = 0\)\(\Assign{\Obj{one}}{M} = 1\),\(\Assign{\Obj{two}}{M} = 2\), і так далі. Для символу\(<\) двійкового відношення\(\Assign{<}{M}\) множина - це набір всіх пар\(\tuple{c_1, c_2} \in \Domain{M}^2\) таких,\(c_1\) що менше, ніж\(c_2\): наприклад,\(\tuple{1, 3} \in \Assign{<}{M}\) але\(\tuple{2, 2} \notin \Assign{<}{M}\). Для символу двійкової\(+\) функції визначте\(\Assign{+}{M}\) звичайним способом - наприклад,\(\Assign{+}{M}(2,3)\) maps to\(5\), і аналогічно для символу двійкової функції\(\times\). Отже, значення\(\Obj{four}\) is just\(4\), а значення\(\times(\Obj{two}, +(\Obj{three},\Obj{zero}))\) (або в інфіксних позначеннях,\(\Obj{two} \times (\Obj{three} + \Obj{zero})\))\[\begin{gathered} \begin{aligned} \Value{\times(\Obj{two}, +(\Obj{three},\Obj{zero})}{M} & =\Assign{\times}{M}(\Value{\Obj{two}}{M}, \Value{+(\Obj{three}, \Obj{zero})}{M})\\ & = \Assign{\times}{M}(\Value{\Obj{two}}{M}, \Assign{+}{M}(\Value{\Obj{three}}{M}, \Value{\Obj{zero}}{M})) \\ & = \Assign{\times}{M}(\Assign{\Obj{two}}{M}, \Assign{+}{M}(\Assign{\Obj{three}}{M}, \Assign{\Obj{zero}}{M})) \\ & = \Assign{\times}{M}(2, \Assign{+}{M}(3, 0)) \\ & = \Assign{\times}{M}(2, 3) \\ & = 6 \end{aligned}\end{gathered}\]

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Чи є\(\Struct N\), стандартна модель арифметики, покрита? Поясніть.