5: Синтаксис і семантика
- Page ID
- 52964
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 5.1: Вступ
- Для того, щоб розвинути теорію і метатеорію логіки першого порядку, ми повинні спочатку визначити синтаксис і семантику її виразів.
- 5.2: Мови першого порядку
- Вирази логіки першого порядку будуються з базового словника, що містить змінні, постійні символи, символи предикатів і іноді функціональні символи. З них разом з логічними зв'язками утворюються квантори, а також розділові символи, такі як дужки і коми, терміни і формули.
- 5.3: Терміни та формули
- Після того, як\(\mathcal L\) вказано мову першого порядку, ми можемо визначити вирази, побудовані з базового словникового запасу\(\mathcal L\). До них відносяться, зокрема, терміни і формули.
- 5.4: Унікальна читабельність
- Те, як ми визначили формули, гарантує, що кожна формула має унікальне читання, тобто є по суті лише один спосіб побудови її за нашими правилами формування формул і лише один спосіб «інтерпретації» її.
- 5.5: Головний оператор формули
- Часто корисно говорити про останній операторі, який використовується при побудові формули\(A\). Цей оператор називається головним оператором\(A\).
- 5.6: Підформули
- Часто корисно говорити про формулах, які «складають» задану формулу. Ми називаємо ці його підформули.
- 5.7: Безкоштовні змінні та речення
- Якщо змінна зустрічається в області квантора, вона вважається зв'язаною, інакше вільною. Формули без вільних входжень змінних називаються реченнями.
- 5.8: Заміна
- Якщо\(A\) є формулою,\(x\) є змінною, і\(t\) є вільним\(x\) терміном для in\(A\), то\({A}[t/x]\) є результатом заміни\(t\) всіх вільних входжень\(x\) in\(A\).
- 5.9: Структури для мов першого порядку
- Мови першого порядку самі по собі неінтерпретовані: постійні символи, символи функцій та символи предикатів не мають певного значення, що надається їм. Значення задаються вказівкою структури.
- 5.10: Криті структури для мов першого порядку
- Структура покривається, якщо кожен елемент домену є значенням якогось закритого терміна.
- 5.11: Задоволення формули в структурі
- Формула задовольняється в структурі, якщо інтерпретація, надана предикатам, робить формулу істинною в області структури.
- 5.12: Призначення змінних
- Значення терміна\(t\), і чи\(A\) задовольняється формула в структурі відносно\(s\), залежить тільки від призначення\(s\) робить змінні в\(t\) і вільних змінних\(A\).
- 5.13: Розширення
- Розширеність, яку іноді називають релевантністю, може бути виражена неофіційно наступним чином: єдиними факторами, які впливають на задоволення формули\(A\) в структурі\(M\) щодо змінного присвоєння\(s\), є розмір домену та призначення, зроблені\(M\) і\(s\) до елементів мови, які насправді з'являються в\(A\).
- 5.14: Семантичні поняття
- Відношення задоволеності є основою для всіх смислових понять.