5: Синтаксис і семантика

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- II: Логіка першого порядку
- 5.1: Вступ

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

5.1: Вступ
Для того, щоб розвинути теорію і метатеорію логіки першого порядку, ми повинні спочатку визначити синтаксис і семантику її виразів.
5.2: Мови першого порядку
Вирази логіки першого порядку будуються з базового словника, що містить змінні, постійні символи, символи предикатів і іноді функціональні символи. З них разом з логічними зв'язками утворюються квантори, а також розділові символи, такі як дужки і коми, терміни і формули.
5.3: Терміни та формули
Після того, як $\mathcal L$ вказано мову першого порядку, ми можемо визначити вирази, побудовані з базового словникового запасу $\mathcal L$ . До них відносяться, зокрема, терміни і формули.
5.4: Унікальна читабельність
Те, як ми визначили формули, гарантує, що кожна формула має унікальне читання, тобто є по суті лише один спосіб побудови її за нашими правилами формування формул і лише один спосіб «інтерпретації» її.
5.5: Головний оператор формули
Часто корисно говорити про останній операторі, який використовується при побудові формули $A$ . Цей оператор називається головним оператором $A$ .
5.6: Підформули
Часто корисно говорити про формулах, які «складають» задану формулу. Ми називаємо ці його підформули.
5.7: Безкоштовні змінні та речення
Якщо змінна зустрічається в області квантора, вона вважається зв'язаною, інакше вільною. Формули без вільних входжень змінних називаються реченнями.
5.8: Заміна
Якщо $A$ є формулою, $x$ є змінною, і $t$ є вільним $x$ терміном для in $A$ , то ${A}[t/x]$ є результатом заміни $t$ всіх вільних входжень $x$ in $A$ .
5.9: Структури для мов першого порядку
Мови першого порядку самі по собі неінтерпретовані: постійні символи, символи функцій та символи предикатів не мають певного значення, що надається їм. Значення задаються вказівкою структури.
5.10: Криті структури для мов першого порядку
Структура покривається, якщо кожен елемент домену є значенням якогось закритого терміна.
5.11: Задоволення формули в структурі
Формула задовольняється в структурі, якщо інтерпретація, надана предикатам, робить формулу істинною в області структури.
5.12: Призначення змінних
Значення терміна $t$ , і чи $A$ задовольняється формула в структурі відносно $s$ , залежить тільки від призначення $s$ робить змінні в $t$ і вільних змінних $A$ .
5.13: Розширення
Розширеність, яку іноді називають релевантністю, може бути виражена неофіційно наступним чином: єдиними факторами, які впливають на задоволення формули $A$ в структурі $M$ щодо змінного присвоєння $s$ , є розмір домену та призначення, зроблені $M$ і $s$ до елементів мови, які насправді з'являються в $A$ .
5.14: Семантичні поняття
Відношення задоволеності є основою для всіх смислових понять.
5.15: Резюме