2.8: Резюме

Last updated
Save as PDF

Page ID: 53144

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Template:MathJaxZach

\(R\)Відношення на\(A\) множині - це спосіб зв'язку елементів\(A\). Ми пишемо,\(Rxy\) якщо відношення тримається між\(x\) і\(y\). Формально можна розглядати\(R\) як набори пар\(\tuple{x,y} \in A^2\) такі, що\(Rxy\). Будучи меншим, більшим, рівним, рівномірним поділом, будучи тією ж довжиною, що і підмножина, і такий же розмір, як і всі важливі приклади відносин (на множині чисел, рядків або множин). Графіки - це загальний спосіб візуального представлення відносин. Але граф також можна розглядати як двійкове відношення (реберне відношення) разом з базовою множиною вершин.

Деякі відносини мають певні риси, що робить їх особливо цікавими або корисними. Відношення\(R\) є рефлексивним, якщо все\(R\) пов'язане з самим собою; симетричний, якщо з\(Rxy\) також\(Ryx\) тримає для будь-якого\(x\) і\(y\); і перехідний, якщо \(Rxy\)і\(Ryz\) гарантії\(Rxz\). Відносини, які мають всі три з цих властивостей, є співвідношеннями еквівалентності. Відношення є антисиметричним, якщо\(Rxy\) і\(Ryx\) гарантує\(x=y\). Часткові порядки - це ті відносини, які є рефлекторними, антисиметричними і перехідними. Лінійний порядок - це будь-який частковий порядок, який задовольняє це для будь-якого\(x\) і\(y\), або\(Rxy\) або або\(x=y\) або\(Ryx\). (Взагалі, зв'язок з цим властивістю пов'язаний).

Оскільки відносини є множинами (пар), вони можуть оперуватися як множини (наприклад, ми можемо сформувати об'єднання і перетин відносин). Ми також можемо зв'язати їх між собою (відносний продукт\(R \mid S\)). Якщо ми формуємо відносний добуток\(R\) з собою довільно багато разів, ми отримаємо перехідне\(R^+\) закриття\(R\).