Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Особливі властивості відносин

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53169

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    Деякі види відносин виявляються настільки поширеними, що їм дали особливі назви. Наприклад,\(\le\) і\(\subseteq\) обидва співвідносяться свої відповідні домени (скажімо,\(\Nat\) у випадку\(\le\) і\(\Pow{A}\) у випадку з\(\subseteq\)) подібними способами. Щоб зрозуміти, як саме ці відносини схожі, і чим вони відрізняються, класифікуємо їх за якимись особливими властивостями, якими можуть володіти відносини. Виходить, що (комбінації) деякі з цих особливих властивостей особливо важливі: порядки і відносини еквівалентності.

    Визначення\(\PageIndex{1}\): Reflexivity

    \(R \subseteq A^2\)Відношення є рефлексивним, якщо, для кожного\(x \in A\),\(Rxx\).

    Визначення\(\PageIndex{2}\): Transitivity

    \(R \subseteq A^2\)Відношення є перехідним, якщо, коли\(Rxy\) і\(Ryz\), потім також\(Rxz\).

    Визначення\(\PageIndex{3}\): Symmetry

    \(R \subseteq A^2\)Відношення симетричне, якщо, коли\(Rxy\), то також\(Ryx\).

    Визначення\(\PageIndex{4}\): Anti-symmetry

    \(R \subseteq A^2\)Відношення є антисиметричним iff, коли обидва\(Rxy\) і\(Ryx\), то\(x=y\) (або, іншими словами: якщо\(x\neq y\) тоді або\(\lnot Rxy\) або\(\lnot Ryx\)).

    У симетричному відношенні,\(Rxy\) і\(Ryx\) завжди тримаються разом, або ні тримає. У антисиметричному відношенні єдиний спосіб\(Rxy\) і\(Ryx\) утримуватися разом - це якщо\(x = y\). Зверніть увагу, що це не вимагає цього\(Rxy\) і\(Ryx\) тримається\(x = y\), коли, тільки що це не виключено. Таким чином, антисиметричне відношення може бути рефлексивним, але це не так, що кожне антисиметричне відношення є рефлексивним. Також зауважте, що бути антисиметричним і просто не симетричним - це різні умови. Насправді відношення може бути як симетричним, так і антисиметричним одночасно (наприклад, відношення ідентичності є).

    Визначення\(\PageIndex{5}\): Connectivity

    Відношення\(R \subseteq A^2\) підключається якщо для всіх\(x,y\in A\), якщо\(x \neq y\), то\(Rxy\) або або або\(Ryx\).

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Наведіть приклади відносин, які є (а) рефлексивним та симетричним, але не перехідним, (б) рефлексивним та антисиметричним, (в) антисиметричним, перехідним, але не рефлексивним, і (г) рефлексивним, симетричним та перехідним. Не використовуйте відносини по числах або множинам.

    Визначення\(\PageIndex{6}\): Irreflexivity

    \(R \subseteq A^2\)Відношення називається іррефлексивним, якщо, для всіх\(x \in A\), ні\(Rxx\).

    Визначення\(\PageIndex{7}\): Asymmetry

    Відношення\(R \subseteq A^2\) називається асиметричним, якщо для жодної пари у\(x,y\in A\) нас немає обох\(Rxy\) і\(Ryx\).

    Зверніть увагу, що якщо\(A \neq \emptyset\), то ніяке іррефлексивне відношення не\(A\) є рефлексивним, а кожне асиметричне відношення також\(A\) є антисиметричним. Однак є такі,\(R \subseteq A^2\) що не рефлексивні, а також не іррефлексивні, і існують антисиметричні відносини, які не є асиметричними.