Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2: Філософські роздуми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53157

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Template:MathJaxZach

    У розділі 2.1 ми визначили відносини як певні множини. Слід зробити паузу і задати швидке філософське питання: що таке визначення робить? Надзвичайно сумнівно, що ми повинні сказати, що ми виявили деякі метафізичні факти ідентичності; що, наприклад, відношення порядку\(\Nat\) виявилося множиною, яку\(R= \Setabs{\tuple{n,m}}{n, m \in \Nat\text{ and } n < m}\) ми визначили в розділі 2.1. Ось три причини, чому.

    По-перше: у визначенні 1.5.1 ми визначили\(\tuple{a, b} = \{\{a\}, \{a, b\}\}\). Розглянемо замість цього визначення\(\lVert a, b\rVert = \{\{b\}, \{a, b\}\} = \tuple{b,a}\). Коли\(a \neq b\), ми маємо це\(\tuple{a, b} \neq \lVert a,b\rVert\). Але ми могли б однаково розглядати\(\lVert a,b\rVert\) як наше визначення впорядкованої пари, а не\(\tuple{a,b}\). Обидва визначення працювали б однаково добре. Отже, тепер у нас є два однаково хороших кандидатів, щоб «бути» порядковим співвідношенням на натуральних числах\(R \neq S\), а саме:\[\begin{aligned} R &= \Setabs{\tuple{n,m}}{n, m \in \Nat \text{ and }n < m}\\ S &= \Setabs{\lVert n,m\rVert}{n, m \in \Nat \text{ and }n < m}.\end{aligned}\] Оскільки, за розширенням, зрозуміло, що вони обидва не можуть бути ідентичними відносинам порядку на\(\Nat\). Але це було б просто довільним, а отже, трохи незручно, стверджувати, що,\(R\) а не\(S\) (або навпаки) є впорядкування відношення, насправді. (Це дуже простий приклад аргументу проти множинного теоретичного редукціонізму, який Бенасерраф прославив у 1965 році. Ми переглянемо його кілька разів.)

    По-друге: якщо ми вважаємо, що кожне відношення має бути ототожнене з набором, то відношення самого набору\(\in\), має бути певним набором. Дійсно, це повинен був би бути набір\(\Setabs{\tuple{x,y}}{x \in y}\). Але чи існує цей набір? З огляду на Парадокс Рассела, це нетривіальне твердження, що такий набір існує. Насправді, можна розвивати теорію множин суворим способом як аксіоматичну теорію. У цій теорії буде доведено, що немає безлічі всіх наборів. Отже, навіть якщо деякі відносини можна розглядати як множини, відношення set-членства доведеться бути особливим випадком.

    Третє: коли ми «ототожнюємо» відносини з множинами, ми говорили, що дозволимо собі писати\(Rxy\) для\(\tuple{x,y} \in R\). Це нормально, за умови, що відношення членства, «\(\in\)», трактується як присудок. Але якщо ми вважаємо, що «\(\in\)» означає певний вид множини, то вираз «\(\tuple{x,y} \in R\)» складається лише з трьох одиничних термінів, які означають множини: «\(\tuple{x,y}\)\(\in\)», «» та «\(R\)». І такий список імен не більше здатний висловити судження, ніж нісенітниця рядок: «чашка підручник стіл». Знову ж таки, навіть якщо деякі відносини можуть розглядатися як множини, відношення множинності має бути особливим випадком. (Це згортає просту версію парадоксу концепції коня Фреге та відоме заперечення, яке Вітгенштейн колись підняв проти Рассела.)

    Так звідки це нас залишає? Що ж, немає нічого поганого в нашій приказці про те, що відносини на цифрах множини. Ми просто повинні зрозуміти дух, в якому зроблено це зауваження. Ми не констатуємо факт метафізичної ідентичності. Ми просто зазначаємо, що в певних контекстах ми можемо (і будемо) розглядати (певні) відносини як певні множини.