Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.1: Розширення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    53124

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Безліч - це сукупність об'єктів, що розглядаються як єдиний об'єкт. Об'єкти, що складають набір, називаються елементами або членами множини. Якщо\(x\) є елементом множини\(a\), ми пишемо\(x \in a\); якщо ні, пишемо\(x \notin a\). Множина, яка не має елемента s, називається порожнім набором і позначається «\(\emptyset\)».

    Не має значення, як ми вказуємо набір, або як ми замовляємо його елемент s, або справді, скільки разів ми вважаємо його елемент s Все, що має значення, це те, що його елемент s. Ми кодифікуємо це за наступним принципом.

    Визначення\(\PageIndex{1}\): Extensionality

    Якщо\(A\) і\(B\) є множинами, то\(A = B\) iff кожен елемент також\(A\) є елементом\(B\), і навпаки.

    Розширення ліцензує деякі позначення. Загалом, коли у нас є якісь об'єкти\(a_{1}\),...\(a_{n}\),, то\(\{a_{1}, \dots, a_{n}\}\) це набір, елемент якого є\(a_1, \ldots, a_n\). Ми підкреслюємо слово «The», оскільки розширення говорить нам про те, що такий набір може бути тільки один. Дійсно, розширення також ліцензує наступне:

    \[\{a, a, b\} = \{a, b\} = \{b,a\}.\nonumber\]

    Це забезпечує те, що, коли ми розглядаємо множини, ми не дбаємо про порядок їх елемента s, або скільки разів вони вказані.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Всякий раз, коли у вас є купа предметів, ви можете зібрати їх разом у набір. Наприклад, набір братів і сестер Річарда - це набір, який містить одну людину, і ми могли б написати його як\(S=\{\textrm{Ruth}\}\). Набір натуральних чисел менше ніж\(4\) є\(\{1, 2, 3\}\), але його також можна записати як\(\{3, 2, 1\}\) або навіть як\(\{1, 2, 1, 2, 3\}\). Це все той же набір, по розширеності. Для кожного елемента також\(\{1, 2, 3\}\) є елементом\(\{3, 2, 1\}\) (і з\(\{1, 2, 1, 2, 3\}\)), і навпаки.

    Часто ми вказуємо набір деякою властивістю, що його елемент s поділитися. Ми будемо використовувати наступні скорочені позначення для цього:\(\{x : \phi(x)\}\), де\(\phi(x)\) означає властивість, яка\(x\) повинна мати для того, щоб бути зараховані серед елемента s множини.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    У нашому прикладі ми могли б вказати\(S\) також як

    \[S = \{x : x \text{ is a sibling of Richard}\}.\nonumber\]

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Число називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі власних дільників (тобто чисел, які рівномірно поділяють його, але не ідентичні числу). Наприклад,\(6\) є ідеальним, тому що його належні дільники\(1\)\(2\), і\(3\), і\(6 = 1 + 2 + 3\). Насправді,\(6\) є єдиним натуральним числом менше\(10\), ніж це ідеально. Отже, використовуючи розширеність, можна сказати:

    \[\{6\} = \{x : x\text{ is perfect and }0 \leq x \leq 10\}\nonumber\]

    Ми читаємо позначення праворуч як «набір\(x\) таких, що\(x\) ідеально і\(0 \leq x \leq 10\)». Особа тут підтверджує, що, коли ми розглядаємо набори, нам байдуже, як вони вказані. І, більш загалом, розширення гарантує, що завжди є тільки один набір з\(x\) таких, що\(\phi(x)\). Таким чином, розширення виправдовує\(\{x : \phi(x)\}\) називаючи набір з\(x\) таких, що\(\phi(x)\).

    Розширення дає нам спосіб показати, що набори ідентичні: показати\(A = B\), що, показати, що коли\(x \in A\) то також\(x \in B\), і коли\(y \in B\) тоді також\(y \in A\).

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Доведіть, що існує не більше одного порожнього набору, тобто, показати, що якщо\(A\) і\(B\) є набори без елемента s, то\(A = B\).