2.3: Міркування з кількісними показниками

13. Міркування з кількісними показниками

13.1 Використання універсального квантора

Як побудувати вагомі аргументи, використовуючи екзистенціальний та універсальний квантор? Семантика кванторів повинна залишатися інтуїтивною. Однак вони досить зрозумілі для нас, щоб ввести деякі правила, які, очевидно, збережуть дійсність. У цьому розділі ми розглянемо три правила висновку, упорядкувавши їх від найпростіших для розуміння до більш складних.

Найпростіший випадок для початку - універсальний квантор. Нагадаємо аргумент Аристотеля:

Всі люди смертні.

Сократ - людина.

_____

Сократ смертний.

Тепер у нас є інструменти для представлення цього аргументу.

х (В х →М х)

Н а

_____

М а

Але, як ми можемо показати, що цей аргумент є дійсним?

Важливе розуміння тут стосується універсального кількісного показника. Ми розуміємо перше речення як значення для будь-якого предмета в моїй області дискурсу, якщо цей об'єкт є людиною, то цей об'єкт смертний. Це означає, що ми могли б видалити квантор, помістити будь-яке ім'я на нашій мові у вільні слоти х у формулі, і ми мали б справжнє речення: (H a → M a) і (H b → M b ) і (H c → M c) і (H d →M d) і так далі все було б правдою.

Потрібно лише зробити це смислове поняття в правило. Ми будемо називати це «універсальним екземпляром». Щоб запам'ятати це правило, просто пам'ятайте, що воно веде нас від загальної та універсальної претензії, до конкретної інстанції. Ось що ми маємо на увазі під «екземпляром». Пишемо правило, використовуючи наш метамова, наступним чином. Нехай α буде будь-яка змінна, і нехай β буде будь-яким символічним терміном.

αφ (α)

_____

Φ (β)

Це дуже просте правило для розуміння. Один видаляє квантор і замінює кожен вільний екземпляр раніше пов'язаної змінної єдиним символічним терміном (це важливо: екземпляр, який замінює вашу змінну, повинен бути однаковим символічним терміном у всьому протязі - ви не можете створити екземпляр «x» (H) х →М х) до (Н а →М б), наприклад).

За допомогою цього правила ми можемо остаточно довести аргумент Аристотеля справедливий.

\ [\ fitchprf {\ рядок [1.] {\ всі\ текст {x} (H\ textit {x}\ lif M\ textit {x})} [приміщення]\\ рядок [2] {H\ textit {a}} [приміщення]} {\ plline [3.] {(H\ textit {a}\ lif M\ textit {a})} [універсальний екземпляр, 1]\\ pline [4.] {M\ textit {a}} [modus ponens, 3, 2]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «99" назва = «Відображено QuickLatex.com» ширина = «553" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...dd36353_l3.png "/>

13.2 Показ екзистенціального квантора

Розглянемо наступний аргумент.

Всі люди смертні.

Сократ - людина.

_____

Щось смертне.

Це виглядає явно вагомим аргументом, невеликою варіацією оригінального силогізму Аристотеля. Врахуйте: якщо оригінальний аргумент, з тими ж двома передумовами, був дійсним, то висновок про те, що Сократ смертний, повинен бути істинним, якщо передумови істинні. Але, якщо повинно бути правдою, що Сократ смертний, то це повинно бути правдою, що щось смертне. А саме, принаймні Сократ смертний (нагадаємо, що екзистенційний квантор ми інтерпретуємо як мінімум один).

Ми можемо відобразити це міркування за допомогою правила. Якщо конкретний об'єкт має властивість, значить, щось має цю властивість. Написано в нашій мета-мові, де β - якийсь символічний термін, а α - змінна:

Φ (β)

_____

αφ (α)

Це правило називається «екзистенціальне узагальнення». Він приймає екземпляр, а потім узагальнює загальну претензію.

Тепер ми можемо показати, що варіація аргументу Аристотеля є дійсною.

\ [\ fitchprf {\ рядок [1.] {\ всі\ текст {x} (H\ textit {x}\ lif M\ textit {x})} [приміщення]\\ рядок [2] {H\ textit {a}} [приміщення]} {\ plline [3.] {(H\ textit {a}\ lif M\ textit {a})} [універсальний екземпляр, 1]\\ pline [4.] {M\ textit {a}} [режим поненса, 3, 2]\\\ pline [5.] {\ lis\ textit {x} M\ textit {x}} [екзистенціальне узагальнення, 4]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «121" title="Відображено QuickLatex.com» width="574" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...e488692_l3.png "/>

13.3 Використання екзистенціального квантора

Розглянемо ще одну варіацію аргументу Аристотеля.

Всі люди смертні.

Щось - це чоловік.

_____

Щось смертне.

Це теж виглядає так, що він повинен бути вагомим аргументом. Якщо перша передумова вірна, то будь-яка людина, яку ви могли б знайти, була б смертною. І друга передумова говорить нам, що щось є людиною. Отже, це щось має бути смертним.

Але, цей аргумент постає перед нами з особливою проблемою. Аргумент не говорить нам, яка річ є людиною. Це може здатися тривіальним, але насправді це лише тривіально в нашому прикладі (тому що ви знаєте, що людей багато). Наприклад, у математиці є багато дуже дивовижних і важливих доказів того, що якесь число з якоюсь дивною властивістю існує, але ніхто не зміг конкретно показати, яке число. Отже, може статися так, що ми знаємо, що є щось із властивістю, але, не знаємо, що.

У логіків є рішення цієї проблеми. Ми введемо особливий вид назви, який відноситься до чогось, але ми не знаємо до чого. Називайте це «невизначене ім'я». Ми будемо використовувати p, q, r... як ці спеціальні імена (ми знаємо, що це не атомні речення, оскільки вони малі регістри). Тоді, де θ - якесь невизначене ім'я, а α - змінна, наше правило:

αφ (α)

_____

Φ (ψ)

де θ - невизначене ім'я, яке не відображається вище у відкритому доказі

Це правило називається «екзистенціальне інстанціювання». Під «відкритим доказом» ми маємо на увазі недоказ, який ще не завершений.

Останній пункт важливий. Це вимагає від нас ввести невизначені імена, які є новими. Якщо невизначене ім'я вже використовується у вашому доказі, то ви повинні використовувати нове невизначене ім'я, якщо ви робите екзистенціальне створення. Це правило трохи сильніше, ніж потрібно у всіх випадках, але це, безумовно, найпростіший спосіб уникнути своєрідної помилки, яка призведе до недійсних аргументів. Щоб зрозуміти, чому це так, відкинемо пункт заради прикладу. У цьому прикладі ми доведемо, що Папа Римський є президентом США. Нам знадобиться тільки наступний ключ.

Н х: х є президентом Сполучених Штатів.

J х: х - Папа Римський.

Ось дві дуже правдоподібні умови, які я вважаю, що ви надасте: є президент Сполучених Штатів, а є Папа Римський. Отже, ось наш доказ:

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {\ lis\ textit {x} H\ textit {x}} [передумова]\\ рядок [2] {\ lis\ текст {x} J\ текст {x}} [приміщення]} {\ рядок [3] {H\ textit {p}} [екзистенціальне створення, 1]\\ pline [4.] {J\ textit {p}} [екзистенціальне створення, 2]\\ pline [5.] {(H\ textit {p}\ земля J\ textit {p})} [примикання, 3, 4]\\\ pline [6.] {\ lis\ textit {x} (H\ textit {x}\ land J\ textit {x})} [екзистенціальне узагальнення, 5]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «143" title = "143" title = «Відображено QuickLatex.com» width="573" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...6fae68f3b5f8b5 _l3.png "/>

Таким чином, ми щойно довели, що є президент Сполучених Штатів, який є Папою Римським.

Але це помилково. Ми отримали помилковий висновок з істинних приміщень - тобто ми побудували недійсний аргумент. Що пішло не так? Ми проігнорували положення нашого екзистенціального правила екзистенціального екземпляра, яке вимагає, щоб невизначене ім'я, яке використовується, коли ми застосовуємо правило екзистенціального екземпляра, вже не може бути використано в доказі. У рядку 4 ми використовували невизначене ім'я «p», коли воно вже використовувалося в рядку 3.

Натомість, якби ми дотримувалися цього правила, ми мали б зовсім інший доказ:

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {\ lis\ textit {x} H\ textit {x}} [передумова]\\ рядок [2] {\ lis\ текст {x} J\ текст {x}} [приміщення]} {\ рядок [3] {H\ textit {p}} [екзистенціальне створення, 1]\\ pline [4.] {J\ textit {q}} [екзистенціальний екземпляр, 2]\\ pline [5.] {(H\ textit {p}\ land J\ textit {q})} [примикання, 3, 4]\\}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «143" назва = «Відображено QuickLatex.com» width="563" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...df68dfc_l3.png "/>

Оскільки ми не можемо припустити, що два невідомі - це одне і те ж, ми даємо їм кожному тимчасове ім'я, яке відрізняється. Оскільки екзистенціальне узагальнення замінює лише один символічний термін, з п'ятого рядка можна узагальнити лише до x (H x ^ J q) або до x (H p ^ J) x ) —або, якщо ми виконували екзистенціальне узагальнення двічі, до чогось типу x y (H x ^ J y). Кожне з цих трьох речень було б правдою, якби Папа Римський і Президент були різними речами, якими насправді вони є.

Тепер ми можемо довести, що варіація аргументу Аристотеля, наведена вище, є дійсною.

\ [\ fitchprf {\ рядок [1.] {\ всі\ текст {x} (H\ textit {x}\ lif M\ textit {x})} [приміщення]\\ рядок [2] {\ lis\ текст {x} H\ textit {x}} [передумова]} {\ рядок [3] {H\ textit {p}} [екзистенціальне створення, 2]\\ pline [4.] {(H\ textit {p}\ lif M\ textit {p})} [універсальний екземпляр, 1]\\ pline [5.] {M\ textit {p}} [режим поненса, 4, 3]\\\ pline [6.] {\ lis\ textit {x} M\ textit {x}} [екзистенціальне узагальнення, 5]}\]» клас = «ql-img-відображається-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «143" title="Відображено QuickLatex.com» width="573" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...000bc7e_l3.png "/>

Кілька особливостей цього доказу заслуговують на увагу. Спочатку ми зробили екзистенціальну екземпляр, щоб підкорятися правилу, що наше тимчасове ім'я нове: «p» не з'являється в жодному рядку в доказ перед рядком 3. Але, потім, нам дозволено робити універсальний екземпляр до «р», як ми зробили на рядку 4. Універсальна претензія вірна для кожного об'єкта в нашій області дискурсу, включаючи I-знаю-не-що.

Ми можемо розглянути приклад, який використовує всі три цих правила для квантіфікаторів. Розглянемо наступний аргумент.

Всі кити - ссавці. Деякі кити м'ясоїдні. Всі м'ясоїдні організми поїдають інших тварин. Тому деякі ссавці харчуються іншими тваринами.

Ми могли б використовувати наступний ключ.

Ф х: х - кит.

Г х: х - ссавець.

Н х: х м'ясоїдний.

Я х: х їсть інших тварин.

Що б нам дало:

х (Ф х →Г х)

х (Ф х ^В х)

х (В х →Я х)

_____

х (Г х ^I х)

Ось один доказ того, що аргумент є дійсним.

\ [\ fitchprf {\ рядок [1.] {\ всі\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif G\ textit {x})} [приміщення]\\ рядок [2] {\ lis\ textit {x} (F\ textit {x}\ земля H\ textit {x})} [приміщення]\\ pline [3] {\ всі\ текст {x} (H\ textit {x}\ lif I\ textit {x})} [передумова]} {\ рядок [4] {(F\ textit {p}\ land H\ textit {p})} [екзистенціальне створення, 2]\\ pline [5.] {F\ textit {p}} [спрощення, 4]\\\ pline [6.] {(F\ textit {p}\ lif G\ textit {p})} [універсальний екземпляр, 1]\\ pline [7.] {G\ textit {p}} [режим поненса, 6, 5]\\\ pline [8.] {H\ textit {p}} [спрощення, 4]\\\ рядок [9.] {(H\ textit {p}\ lif I\ textit {p})} [універсальний екземпляр, 3]\\ pline [10.] {I\ textit {p}} [модуль поненса, 9, 8]\\\ pline [11.] {(H\ textit {p}\ земля I\ textit {p})} [примикання, 8, 10]\\ pline [12.] {\ lis\ textit {x} (G\ textit {x}\ земля I\ textit {x})} [екзистенціальне узагальнення, 11]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «275" title = «275" назва = «візуалізація QuickLatex.com» width="582" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...968bf698d2ebf4 fcc9_l3.png "/>

13.4 Проблеми

1. Доведіть, що наступні аргументи є дійсними. Зауважимо, що, крім нових правил міркування з квантифікаторами, вам ще доведеться використовувати такі прийоми, як умовна деривація (при доведенні умовного) і непряма деривація (при доведенні чогось, що не є умовним, і для якого ви не можете знайти пряму деривацію). Для них буде потрібно універсальне створення екземплярів.
   1. Приміщення: х (Ф х → Г х), Ф а, Ф б. Висновок: (G a ^ G b).
   2. Приміщення: х (В х ↔ Ф х), ¬Ф c. Висновок: ¬Н c.
   3. Приміщення: х (Г х В х), ¬Н б. Висновок: Г б.
   4. Приміщення: х (Ф х → Г х), х (Г х → В х). Висновок: (Ф а → Н а).
   5. Приміщення : х (Г х в I х) , х (Г х → Дж х), х (Я х → J х). Висновок: J b.
2. Доведіть, що наступні аргументи є дійсними. Вони потребують екзистенціального узагальнення.
   1. Приміщення : х (Ф х ↔ Г х), Г д. Висновок: х (Г х ^ Ф х).
   2. Приміщення: (Г а ^ Ф а) , х (Ф х ↔ В х) , х (¬Г х v J х). Висновок: х (В х ^ J х).
   3. Приміщення: ¬ (Ф а ^ Г а). Висновок: х (¬Ф х v ¬G х).
   4. Висновок: х (Ф х v ¬F х)
3. Доведіть, що наступні аргументи є дійсними. Вони потребують екзистенціальної екземпляри.
   1. Приміщення: х ¬ (Ф х ^ Г х). Висновок: х (¬Ф х v ¬G х).
   2. Приміщення: х (Ф х ^ Г х), х (¬Г х В К х), х (Ф х х → В х). Висновок: х (В х ^ К х).
   3. Висновок: (х (Ф х → Г х) → (х Ф х → х Г х))
   4. Висновок: (х (F х → Г х) → (х ¬Г х → х ¬Ф х))
4. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент принаймні з двома приміщеннями, і де принаймні одна передумова є екзистенціальною претензією. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку першого порядку і доведіть, що він дійсний.
5. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент принаймні з двома передумовами та з висновком, який є екзистенціальною претензією. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку першого порядку і доведіть, що він дійсний.
6. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент щонайменше з двома приміщеннями, і де хоча б одна передумова є універсальною претензією. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку першого порядку і доведіть, що він дійсний.
7. Деякі філософи розробили аргументи, намагаючись довести, що є бог. Одним з таких аргументів, який був дуже впливовим до Дарвіна, є Аргумент дизайну. Аргумент дизайну має різні форми, з тонкими відмінностями, але ось одна (спрощена) версія аргументу дизайну.

   Було розроблено все, що завгодно зі складними незалежно взаємопов'язаними деталями. Якщо щось спроектовано, значить, є розумний дизайнер. Всі живі організми мають складні самостійно взаємопов'язані частини. Є живі організми. Тому є розумний дизайнер.

   Символізують цей аргумент, і доводять, що він дійсний. (Друге речення, мабуть, найкраще символізувати не використовуючи одну з восьми форм, а скоріше використовуючи умовну, де і попереднє, і наступне є екзистенціальними реченнями.) Ви вважаєте, що цей аргумент є здоровим? Чому, на вашу думку, робота Дарвіна вважалася значним викликом твердження про те, що аргумент є обґрунтованим?