2.4: Універсальна деривація

14.1 Приклад: Мено

В одному з діалогів Платона, Мено, Сократ використовує питання і підказує направити юного хлопчика-раба в процесі створення квадрата, який має вдвічі більшу площу даного квадрата, використовуючи діагональ даного квадрата як сторону в новому квадраті. Сократ малює квадрат 1 фут на стороні в бруді. Молодий хлопчик спочатку просто пропонує, щоб подвоїти його площу, дві сторони квадрата повинні бути подвоєні, але Сократ показує йому, що це призведе до квадрата, який у чотири рази перевищує площу даного квадрата; тобто квадрат розміром чотири квадратні фути. Далі Сократ бере цей квадрат 2 × 2, який має чотири квадратні фути, і показує хлопчику, як зробити квадрат подвійним його розміром.

Сократ: Скажіть, хлопчик, хіба це не квадрат у чотири фути, який я намалював?
Хлопчик: Так.
Сократ: А тепер додаю ще один квадрат, рівний колишньому?
Хлопчик: Так.
Сократ: А третина, яка дорівнює будь-якому з них?
Хлопчик: Так.
Сократ: Припустимо, що ми заповнюємо порожній куточок?
Хлопчик: Дуже добре.
Сократ: Тут, значить, є чотири рівні пробіли?
Хлопчик: Так. ^[12]

Отже, що намалював Сократ в цей момент, виглядає так:

Припустимо, кожен квадрат - це стопа на стороні. Сократ тепер запитає хлопчика, як зробити квадрат, який має вісім квадратних футів, або вдвічі більше їх початкового квадрата 2 × 2. У Сократа є мета і метод в малюванні квадрата в чотири рази більше оригіналу.

Сократ: А скільки разів більше цього простору, ніж інше?
Хлопчик: Чотири рази.
Сократ: Але це повинно було бути лише двічі, як ви пам'ятаєте.
Хлопчик: Правда.
Сократ: І чи не ця лінія, що доходить від кута до кута, бісекція кожного з цих просторів?

Під «пробілами» Сократ означає кожен з квадратів 2 × 2. Сократ тепер намалював наступне:

Хлопчик: Так.
Сократ: І чи немає тут чотирьох рівних рядків, які містять цей новий квадрат?
Хлопчик: Є.
Сократ: Подивіться і подивіться, скільки коштує цей новий квадрат.
Хлопчик: Я не розумію.

Після деякого обговорення Сократ змушує хлопчика побачити, що там, де нова лінія розрізає невеликий квадрат, він розрізає його навпіл. Отже, додаючи цілі маленькі квадрати всередині цього нового квадрата та додаючи половину маленьких квадратів всередині цього нового квадрата, хлопчик може відповісти.

Сократ: Новий квадрат - це скільки футів?
Хлопчик: Вісім футів.
Сократ: А з якої лінії ви отримуєте цей новий квадрат?
Хлопчик: З цього. [Хлопчик імовірно вказує на темну лінію на нашій схемі.]
Сократ: Тобто, від лінії, яка простягається від кута до кута кожного з просторів чотири фути?
Хлопчик: Так.
Сократ: І це лінія, яку освічені називають «діагоналлю». І якщо це власне ім'я, то ви, раб Мено, готові стверджувати, що подвійний простір - це квадрат діагоналі?
Хлопчик: Звичайно, Сократ.

Для оригінального квадрата, який був 2 × 2 фути, намалювавши діагональ квадрата, ми змогли намалювати одну сторону квадрата, яка вдвічі перевищує площу. Сократ продемонстрував, як зробити квадрат удвічі більшим за площу будь-якого квадрата: зробити сторони нового квадрата більшими за діагональ даного квадрата.

Цікаво, що лише допитуючи раба (хто був би дитиною грецької сім'ї, переможеної в бою, і був би позбавлений будь-якої освіти), Сократ здатний змусити його завершити доказ. Платон сприймає це як демонстрацію дивного метафізичного вчення про те, що кожен з нас колись все знав і забув, а тепер нам просто потрібно допомогти згадати істину. Але слід зазначити інший і цікавий факт. Ні Сократ, ні хлопчик-раб ніколи не сумніваються, що демонстрація Сократа вірна для всіх квадратів. Тобто, поки Сократ малює квадрати в бруді, хлопчик-раб ніколи не каже: «Ну, Сократ, ви довели, що для того, щоб зробити квадрат вдвічі більшим за цей квадрат, який ви намалювали, мені потрібно взяти діагональ цього квадрата як сторону мого нового квадрата. Але як щодо квадрата, який набагато менший або більший, ніж той, який ви тут намалювали?»

Це насправді дуже заплутане питання. Чому демонстрація Сократа хороша для всіх, для будь-яких, квадратів?

14.2 Знайома дивацтва

Ми зберегли останнє найтонше питання про міркування з кількісними показниками: як ми доведемо, що щось універсально вірно?

Розглянемо наступний аргумент. Ми припустимо логічну мову першого порядку, яка говорить про числа, оскільки іноді легше уявити щось істинне з усього в нашій області дискурсу, якщо ми говоримо про числа.

Всі числа, рівномірно поділені на вісім, рівномірно діляться на чотири.

Всі числа, рівномірно поділені на чотири, рівномірно діляться на два.

_____

Всі числа, рівномірно поділені на вісім, рівномірно діляться на два.

Припустимо неявний ключ перекладу, і тоді ми можемо сказати, що наступний переклад цього аргументу.

х (Ф х →Г х)

х (Г х →В х)

_____

х (Ф х →В х)

Це виглядає як вагомий аргумент. Дійсно, може здатися очевидним, що він дійсний. Але щоб довести це, нам потрібен якийсь спосіб, щоб зуміти довести універсальне твердження.

Але як ми могли зробити таке? Числ нескінченно багато, тому, безумовно, ми не можемо перевірити їх усі. Як нам довести, що щось вірно для всіх чисел, не віднімаючи нескінченної кількості часу і не створюючи нескінченно довгого доказу?

Шанси на те, що ви вже знаєте, як це зробити, хоча ніколи не замислювалися про свої здібності. Ви, швидше за все, бачили доказ універсальної претензії ще в початковій школі, і без роздумів зробили висновок, що це було добре і правильно. Наприклад, коли вас вперше навчили, що сума внутрішніх кутів трикутника еквівалентна двом прямим кутам, ви могли бачити доказ, який використовував один трикутник як ілюстрацію. Можливо, це пішло приблизно так: припустимо, що лінії AB і CD паралельні, і що два інших сегменти лінії EF і EG перетинають ці паралельні лінії, і зустрічаються на AB в E. Припустимо також, що альтернативні кути для будь-якої лінії, що перетинають паралельні лінії, рівні. Припустимо, що лінія еквівалентна двом прямим кутам, або 180 градусів. Потім, на наступному малюнку, b'=b, c'=c, і b'+c'+a = 180 градусів. Таким чином, a+b+c = 180 градусів.

Більшість з нас думає про такий доказ, бачать міркування, і погоджуються з ним. Але якщо ми задумаємося на мить, ми повинні побачити, що досить загадково, чому такий доказ працює. Це тому, що він має на меті показати нам, що сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника така ж, як і два прямих кути. Але трикутників нескінченно багато (насправді логіки довели, що трикутників більше, ніж натуральних чисел!). Так як же може бути, що цей аргумент доводить щось про всі трикутники? Крім того, на діаграмі вище, є нескінченно багато різних наборів двох паралельних ліній, які ми могли б використовувати. І так далі.

Це також стосується справи, яку ми бачили в Мено. Сократ доводить, що площа квадрата А вдвічі більша за квадрат B не просто має сторони вдвічі довші, ніж сторони B; скоріше, кожна сторона A повинна бути довжиною діагоналі Б. Але він і хлопчик намалювали лише один квадрат у бруді. І це навіть не буде належним чином квадратним. Як вони можуть зробити щось про кожен квадрат на основі своїх міркувань та грубого малюнка?

У всіх таких випадках є важлива особливість відповідного доказу. Квадрати бувають різних розмірів, трикутники бувають різних розмірів і форм. Але те, що нас цікавить в таких доказах, це все і тільки властивості, якими володіють всі трикутники, або всі і тільки властивості, якими володіють всі квадрати. Ми маємо на увазі трикутник, або квадрат, який є абстрактним дивним чином: ми робимо висновки про і лише посилаємося на його властивості, які поділяються з усіма речами такого роду. Ми дійсно розглядаємо особливий, узагальнений екземпляр.

Ми можемо назвати цей спеціальний екземпляр «довільний екземпляр». Якщо ми доведемо, що щось істинно довільного трикутника, то ми робимо висновок, що це вірно для всіх трикутників. Якщо довести, що щось істинно для довільного квадрата, то ми робимо висновок, що це вірно для всіх квадратів. Якщо довести, що щось істинно довільного натурального числа, то ми робимо висновок, що це вірно для всіх натуральних чисел. І так далі.

14.3 Універсальна деривація

Щоб скористатися цим розумінням, ми введемо не правило висновку, а новий метод доказування. Ми назвемо цей метод доказування «універсальним виведенням» або, синонімом, «універсальним доказом». Нам потрібно щось стояти за довільний екземпляр. З ряду причин традиційно використовувати для цього незв'язані змінні. Однак, щоб зрозуміти, що змінна використовується таким особливим чином, і що правильно сформована формула є реченням, ми будемо використовувати prime-тобто маленьку позначку «′» - для позначення змінної. Нехай α буде будь-яка змінна. Наш метод доказу таким чином виглядає так.

\ [\ fitchctx {\ коробковий підзахисний [] {\ альфа '} {} {\ еліпси лінії\\\ plline {\ phi (\ альфа')}}\ pline {\ lall\ alpha\ phi (\ альфа)}\]» клас = «ql-img-відображується-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «142" назва =» візуалізується QuickLatex .com» ширина = «71" src=» https://human.libretexts.org/@api/deki/files/155765/ Зображення/Швидкий латекс.com-A42FC18DD775 Дие 41Ф61Ф76123CBCD1_L3.PNG» />

Де α ′ не відображається в жодному відкритому доказі над початком універсальної деривації.

Пам'ятайте, що відкритий доказ - це недоказ, який не завершений.

Будь-який символічний термін цієї форми (x ′, y ′, z ′...) ми будемо називати «довільним терміном», і часто зручно описувати його як посилання на довільний об'єкт або довільний екземпляр. Але в нашій області дискурсу немає жодного об'єкта, до якого відноситься такий термін. Швидше, це означає абстракцію: що спільного у всіх речах у сфері дискурсу.

Семантика довільного екземпляра, мабуть, менш загадкова, якщо розглядати фактичні синтаксичні обмеження на універсальну деривацію. Не можна нічого сказати про довільному екземплярі α′, якщо тільки один не зробив універсального екземпляра універсальної претензії. Жодне інше речення не повинно дозволяти претензій про α′. Наприклад, ви не можете виконати екзистенціальне створення екзистенціального екземпляра до довільного екземпляра, оскільки ми вимагали, щоб екзистенціальне створення було зроблено до спеціальних невизначених імен, які ще не з'явилися в доказі. Але якщо ми можемо лише заявляти про α′ за допомогою універсального екземпляра, то ми будемо стверджувати щось про α′, що ми могли б стверджувати про що-небудь в нашій області дискурсу. Побачене таким чином, з точки зору синтаксису нашого доказу, універсальне похідне, сподіваємось, здається дуже інтуїтивним.

Цей схематичний доказ має рядок, де ми вказуємо, що ми будемо використовувати α′ як довільний об'єкт, поставивши α′ в коробку. Це не обов'язково, і не є частиною нашого доказу. Швидше, як і пояснення, які ми пишемо збоку, саме там, щоб допомогти комусь зрозуміти наш доказ. У ньому сказано, що це початок універсальної деривації, а α′ означає довільний об'єкт. Оскільки це насправді не рядок у доказі, нам не потрібно його нумерувати.

Тепер ми можемо довести, що наш приклад вище є дійсним.

\ [\ fitchprf {\ рядок [1.] {\ всі\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif G\ textit {x})} [передумова]\\ рядок [2] {\ всі\ текст {x} (G\ текст {x}\ lif H\ текст {x})} [приміщення]\\}\ в коробці підзахисний [] {\ textit {x} '} {\ підзахисний {\ plline [3.] {F\ textit {x} '} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [4.] {(F\ textit {x} '\ lif G\ textit {x}')} [універсальний екземпляр, 1]\\ pline [5.] {G\ текст {x} '} [режим роботи, 4, 3]\\\ pline [6.] {(G\ textit {x} '\ lif H\ textit {x}')} [універсальний екземпляр, 2]\\ pline [7.] {H\ textit {x} '} [режим роботи, 6, 5]}\ pline [8.] {(F\ textit {x} '\ lif H\ textit {x}')} [умовне похідне, 3-7]}\ рядок [9]. {\ lall\ textit {x} (F\ textit {x}\ lif H\ textit {x})} [універсальний похідний, 3-8]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «293" title = «293" title="Rendered by QuickLatex.com» width="653" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...a1550e8507f_l3. PNG» />

Пам'ятайте, що наша специфікація методу доказування має особливу умову, що α′ не повинен з'являтися раніше у відкритому доказі (доказ, який все ще завершується). Це допомагає нам уникнути плутанини двох або більше довільних випадків. Тут немає x ′, що з'являється над нашим універсальним похідним у відкритому доказі (насправді, немає іншого довільного екземпляра, що з'являється в доказі вище x ′), тому ми дотримувалися правила.

14.4 Дві корисні теореми: еквівалентність квантора

Наше визначення «теореми» залишається незмінним для логіки першого порядку і для логіки пропозиції: речення, яке можна довести без передумов. Однак зараз ми маємо відмінність, коли мова йде про семантику речень, які повинні бути правдивими. Як правило, ми думаємо про тавтологію як речення, яке повинно бути істинним як функція правдиво-функціональних зв'язків, які складають це речення. Тобто ми визначили, що тавтологія повинна бути правдою, склавши таблицю правди для тавтології. Однак є речення логіки першого порядку, які повинні бути правдивими, але ми не можемо продемонструвати це таблицею істини. Ось приклад:

х (Ф х в ¬Ф х)

Це речення має бути істинним. Але ми не можемо показати це таблицею правди. Натомість нам потрібна концепція моделі (коротко представлена в розділі 17.6), щоб точно описати цю властивість. Але навіть з нашою інтуїтивною семантикою ми бачимо, що це речення має бути правдою. Бо, ми вимагаємо (в нашому обмеженні на предикати), щоб все в нашій області дискурсу або було, або не є, F.

Ми називаємо речення першого порядку логікою, яка повинна бути істинною, «логічно істинною». Так само, як чеснота логіки пропозиції, що всі теореми є тавтологіями, а всі тавтології - теореми; це чеснота нашої логіки першого порядку, що всі теореми логічно вірні, а всі логічно правдиві речення - теореми. Доведення цього виходить за рамки цієї книги, але це щось зроблено в більшості передових логічних курсів і текстів.

Ось доказ того, що х (F x v ¬F x).

\ [\ fitchprf {} {\ в коробці підзахисний [] {\ текст {x} '} {\ підзахисний {\ plline [1] {\ not (F\ textit {x} '\ lor\ not F\ textit {x}')} [припущення для непрямого виведення]} {\ subproof {\ pline [2] {\ not F\ textit {x} '} [припущення для непрямого похідного]} {\ pline [3.] {(F\ textit {x} '\ або\ не F\ textit {x}')} [додавання, 2]\\\ рядок [4] {\ not (F\ textit {x} '\ або\ не F\ textit {x}')} [повторити, 1]\\}\ рядок [5] {F\ textit {x} '} [непряме похідне, 2-4]\\ plline [6.] {(F\ textit {x} '\ або\ не F\ textit {x}')} [додавання, 5]\\\ рядок [7] {\ not (F\ textit {x} '\ або\ не F\ textit {x}')} [повторити, 1]\\}\ рядок [8]. {(F\ textit {x} '\ або\ not F\ textit {x}')} [непряме похідне, 1-7]}\ рядок [9]. {\ lall\ textit {x} (F\ textit {x}\ lor\ not F\ textit {x})} [універсальний похідний, 1-8]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «354" title = «354" title="Відображено QuickLatex.com» width="627" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...b3f77b2c9861fc 91_l3.png "/>

Розглянемо ще один приклад логічно істинного речення, яке ми можемо довести, і, таким чином, практикувати універсальну деривацію. Наступне речення логічно вірно.

(х (Ф х → Г х) ^ х (Ф х → В х) → х (Ф х → (Гх ^В х))

Ось доказ. Формула є умовною, тому будемо використовувати умовну деривацію. Однак наслідок - універсальне речення, тому нам знадобиться універсальна деривація як піддоказ.

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ рядок [1.] {(\ всі\ textit {x} (F\ textit {x}\ lif G\ textit {x})\ земля\ all\ textit {x} (F\ textit {x}\ lif H\ textit {x}))} [припущення для умовного виведення]} {підзахисний в коробці [] {\ textit {x} '} {\ підзахисний {\ plline [2.] {F\ textit {x} '} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [3.] {\ всі\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif G\ textit {x})} [спрощення, 1]\\\ рядок [4] {(F\ textit {x} '\ lif G\ textit {x}')} [універсальний екземпляр, 3]\\ pline [5.] {G\ textit {x} '} [режим роботи, 4, 2]\\\ pline [6.] {\ всі\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif H\ textit {x})} [спрощення, 1]\\\ рядок [7] {(F\ textit {x} '\ lif H\ textit {x}')} [універсальний екземпляр, 6]\\ pline [8.] {H\ textit {x} '} [режим роботи, 7, 2]\\\ pline [9.] {(G\ textit {x} '\ земля H\ textit {x}')} [примикання, 5, 8]\\}\ pline [10] {(F\ textit {x} '\ lif (G\ textit {x}'\ земля H\ textit {x} '))} [умовне деривація, 2-9]\\}\ рядок [11.] {\ всі\ textit {x} (F\ textit {x}\ lif (G\ textit {x}\ земля H\ textit {x}))} [універсальне похідне, 2-10]\\}\ рядок [12.] {\ зламана форма {((\ all\ textit {x} (F\ textit {x}\ lif G\ textit {x})\ земля\ все\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif H\ textit {x}))\ lif} {\ всі\ текст {x} (F\ textit {x}\ lif (G\ textit {x}\ land H\ textit {x}))}} [умовне деривація, 1-11]}\]» клас = «ql-img-відображається-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» height="464" title=» Надано QuickLatex.com» ширина = «654" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...d3df82b_l3.png "/>

Так само, як існували корисні теореми логіки пропозиції, існує багато корисних теорем логіки першого порядку. Дві дуже корисні теореми стосуються зв'язку між екзистенціальними і універсальними твердженнями.

(х Ф х ↔ ¬ ¬ х ¬Ф х)

(х Ф х ↔ ¬х ¬Ф х)

Щось F на всякий випадок не все не F. І, все F якщо і тільки якщо навіть не одна річ не F.

Ми можемо довести друге з них, а перше залишити як вправу.

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ лінія [1.] {\ lall\ textit {x} F\ textit {x}} [припущення для умовного похідного]} {\ subproof {\ plline [2] {\ lis\ textit {x}\ lnot F\ textit {x}} [припущення для непрямого похідного]} {\ pline [3] {\ lnot F\ textit {p}} [екзистенціальне створення, 2]\\\ рядок [4.] {F\ textit {p}} [універсальний екземпляр, 1]}\ pline [5.] {\ lnot\ lis\ textit {x}\ not F\ textit {x}} [непряме похідне, 2-4]\\}\ рядок [6]. {(\ всі\ textit {x} F\ textit {x}\ lif\ lnot\ lis\ textit {x}\ not F\ textit {x})} [умовне похідне 1-5]\\ subproof {\ рядок [7.] {\ lnot\ lis\ textit {x}\ not F\ textit {x}} [припущення для умовного похідного]} {\ boxedsubproof [] {\ textit {x '}} {\ subproof {\ pline [8] {\ not F\ textit {x '}} [припущення для непрямого похідного]} {\ pline [9.] {\ lis\ textit {x}\ lnot F\ textit {x}} [екзистенціальне узагальнення, 8]\\\ pline [10] {\ lnot\ lis\ textit {x}\ не F\ textit {x}} [повтор, 7]}\ рядок [11] {F\ textit {x '}} [непряме похідне, 8-10]}\ рядок [12.] {\ all\ textit {x} F\ textit {x}} [універсальне похідне, 8-11]}\ рядок [13] {(\ lnot\ lis\ textit {x}\ не F\ textit {x}\ lif\ всі x F\ textit {x})} [умовне похідне 7-12]\\ рядок [14] {(\ всі\ textit {x} F\ textit {x}\ liff\ lnot\ lis\ textit {x}\ not F\ textit {x}))} [двоумова, 6, 13]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «477" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «653" срк =» https://human.libretexts.org/@api/de...m-54e0f27323be 60a045644e899c9b2e9a_l3.png "/>

14.5 Ілюстрація недійсності

Розглянемо наступний аргумент:

4 х (В х →Г х)

¬Н д

_____

¬Г д

Це некоректний аргумент. Не виключено, що висновок помилковий, але приміщення вірні.

Оскільки ми не можемо використовувати таблиці істинності для опису семантики квантифікаторів, ми зберегли семантику кванторів інтуїтивно зрозумілою. Повна семантика логіки першого порядку називається «моделлю» і вимагає певної теорії множин. Це створює труднощі: ми не можемо продемонструвати, що аргумент, що використовує квантифікатори, є недійсним без семантики.

На щастя, існує евристичний метод, який ми можемо використовувати, який не вимагає розробки повноцінної моделі. Розробимо інтуїтивну і часткову модель. Ідея полягає в тому, що ми придумаємо тлумачення аргументу, де ми приписуємо значення кожному присудку, і референт для кожного терміна, і де це тлумачення робить умови явно істинними, а висновок явно неправдивим. Це не ідеальний метод, оскільки він буде залежати від нашого розуміння нашої інтерпретації, і тому, що він вимагає від нас проявити певну творчість. Але цей метод ілюструє важливі особливості семантики логіки першого порядку, і його використання обережно може допомогти нам зрозуміти, чому конкретний аргумент є недійсним.

Часто найкраще створювати тлумачення з використанням чисел, так як менше розпливчастості значення присудків. Отже, припустимо, наша область дискурсу - це натуральні числа. Потім нам потрібно знайти тлумачення присудків, яке робить перші два рядки істинними, а висновок помилковим. Ось один:

Н х: х рівномірно ділиться на 2

G x: x рівномірно ділиться на 1

д: 3

Аргумент тоді буде мати як передумови: Усі числа, рівномірно ділені на 2, рівномірно діляться на 1; і 3 не рівномірно ділиться на 2. Вони обидва вірні. Але висновок буде такий: 3 не рівномірно ділиться на 1. Це помилково. Це ілюструє, що форма аргументу недійсна.

Розглянемо ще один приклад. Ось некоректний аргумент:

4 х (FX → Г х)

Ф а

_____

Г б

Ми можемо проілюструвати, що це недійсне, знайшовши тлумачення, яке показує передумови істинні, а висновок помилковий. Нашою областю дискурсу будуть натуральні числа. Тлумачимо присудки і імена наступним чином:

F x: x більше 10

G x: x більше 5

a: 15

б: 2

Враховуючи це тлумачення, аргумент перекладається так: Будь-яке число більше 10 більше 5; 15 більше 10; отже, 2 більше 5. Висновок явно помилковий, тоді як приміщення очевидно вірні.

У цій вправі може здатися дивним, що ми просто складаємо значення для наших присудків та імен. Однак, поки наші тлумачення присудків і імен дотримуються наших правил, наше тлумачення буде прийнятним. Нагадаємо, правила для предикатів полягають у тому, що вони мають рідність, і що кожен присудок рідності n є істинним або хибним (ніколи обидва, ніколи ні) кожної n речей у сфері дискурсу. Правило для імен полягає в тому, що вони посилаються тільки на один об'єкт.

Це ілюструє важливий момент. Розглянемо вагомий аргумент, і спробуйте придумати якесь тлумачення, яке робить його недійсним. Ви виявите, що не можете цього зробити, якщо поважати обмеження на предикати та імена. Переконайтеся, що ви це розумієте. Це багато уточнить про загальність логіки першого порядку. Візьміть вагомий аргумент, як:

4 х (FX → Г х)

Ф а

_____

Г а

Придумайте різні тлумачення для а і для F і G. Ви виявите, що ви не можете зробити недійсний аргумент.

Підсумовуючи, неформальна модель, яка використовується для ілюстрації недійсності, повинна мати три речі:

1. область дискурсу;
2. тлумачення присудків; і
3. тлумачення назв.

Якщо ви можете знайти таку неформальну модель, яка робить приміщення явно істинними, а висновок явно помилковим, ви проілюстрували, що аргумент є недійсним. Це може зайняти кілька спроб: іноді ви також можете придумати тлумачення для недійсних аргументів, які роблять всі приміщення та висновок правдивими; це не дивно, коли ви пам'ятаєте визначення дійсного (що обов'язково, якщо приміщення вірні, то висновок істинний - іншими словами, це мало того, що висновок просто трапляється вірним).

14.6 Проблеми

1. Доведіть наступне. Для них буде потрібно універсальне виведення. (Для третього, пам'ятайте, що змінні, що використовуються в квантифікаторах, використовуються лише для позначення місця в наступному виразі, яке пов'язане. Отже, якщо ми змінимо змінну нічого іншого не змінюється в нашому доказ або використання правил висновку.) Останні три є складними. Для цих останніх трьох проблем не використовуйте правила заперечення квантора.
   1. Приміщення : х Ф х, х (Ф х ↔ Г х). Висновок : х Г х.
   2. Приміщення : х (Ф х → Г х). Висновок : х (¬ Г х → ¬ Ф х).
   3. Приміщення : х (Ф х ↔ В х) , у (Н у ↔ Г у). Висновок : z (Ф з ↔ Г з).
   4. Висновок: (х (¬Ф х в Г х) → х (Ф х → Г х)).
   5. Висновок: (х (Ф х ↔ Г х) → (х Ф х ↔ х Г х)).
   6. Висновок: (¬х Ф х ↔ х ¬ Ф х).
   7. Висновок: (¬ ⃣ х Ф х ↔ х ¬ Ф х).
   8. Висновок: (х Ф х ↔ ¬ ¬ х ¬ Ф х).
2. Створіть іншу неформальну модель для кожного з наступних аргументів, щоб проілюструвати, що вона недійсна.
   1. Приміщення : х (Ф х → Г х), ¬Г а. Висновок: ¬Ф б.
   2. Приміщення : х (Ф х в Г х), ¬Ф а. Висновок: Г б.
   3. Приміщення : х (Ф х → Г х), х Ф х. Висновок: G c.
3. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент принаймні з двома передумовами і з висновком, який є універсальним твердженням. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку першого порядку і доведіть, що він дійсний.
4. Чи є у нас вільна воля? Значна частина роботи, яку філософи зробили, щоб відповісти на це питання, зосереджена на спробі визначити або зрозуміти, якою буде вільна воля, і зрозуміти наслідки, якщо у нас немає вільної волі. Сумніви у вільній волі часто виникали у тих, хто вважає, що фізика в кінцевому підсумку пояснить всі події за допомогою детермінованих законів, так що все повинно було відбуватися одним шляхом. Ось спрощений варіант такого аргументу.

Кожна подія викликана попередніми подіями за допомогою природних фізичних законів. Будь-яка подія, спричинена попередніми подіями за допомогою природних фізичних законів, не могла статися інакше. Але, якщо всі події не могли статися інакше, то немає вільного вольового заходу. Отже, ми робимо висновок, що не існує вільно вольових подій.

Символізуйте цей аргумент і доведіть, що він дійсний. Ви можете розглянути можливість використання таких предикатів:

F x: x - подія.

G x: x викликаний попередніми подіями за допомогою природних фізичних законів.

H x: x могло статися інакше.

I x: x - подія вільно вольова.

(Підказка: цей аргумент вимагатиме універсальної деривації. Висновок можна зробити за допомогою modus ponens, якщо ви зможете довести: всі події не могли статися інакше.) Чи вважаєте ви, що цей аргумент є обґрунтованим?

---

[12] Ці уривки адаптовані з перекладу Бенджаміна Джоветта Мено. Версії цього перекладу доступні безкоштовно в Інтернеті. Студенти, які сподіваються прочитати інші твори Платона, повинні розглянути Купера і Хатчінсона (1997).