2.2: «Все» і «деякі»

12. «Все» і «деякі»

12.1 Завдання перекладу «всіх» і «деяких»

Ми досі не в змозі повністю перевести аргумент Аристотеля. Почалося:

Всі люди смертні.

Що означає це «все»?

Почнемо з більш простого прикладу. Припустимо, на мить розглядаємо речення

Все смертно.

Або, рівнозначно,

Все смертно.

Як ми повинні розуміти це «все» або «все»? Це головоломка, яка спіткнула багато поколінь логіків. Причина в тому, що спочатку здається очевидним, як впоратися з цією справою. «Все», можна зробити висновок, - це особлива назва. Це ім'я для всього в моїй області дискурсу. Потім ми могли б ввести спеціальну назву для цього, з наступним ключем перекладу.

ε: все (або все)

М х: х смертний

І, таким чином ми переводимо речення

М ε

Поки що так добре. Але тепер, як щодо нашого першого речення? Давайте додамо до нашого ключа перекладу

Н х: х - людина

Тепер як перекласти «всі люди смертні»? Більшість філософів вважають, що це повинно бути зафіксовано умовним (ми побачимо, чому нижче), але подивіться на це речення:

(Н ε → М ε)

Це зовсім не відображає те, що ми мали на увазі сказати. Це речення говорить: якщо все людське, то все смертно. Ми хочемо сказати, що всі люди смертні.

Використання іншого сполучного не допоможе.

(Н ε ^ М ε)

(Н ε v М ε)

(Н ε ↔ М ε)

Всі вони не можуть сказати те, що ми хочемо сказати. Перший говорить, що все людське і все смертно. Друге, що все людське або все смертно. Третє, що все людське тоді і тільки тоді, коли все смертно.

Проблема ще гірша для іншого слова, яке здається досить схожим за своїм вживанням на «все»: слово «деякі». Це речення, безумовно, вірно:

Деякі чоловіки смертні.

Припустимо, ми розглядаємо «деякі» як ім'я, оскільки воно також діє як одне. У нас може бути такий ключ:

σ: деякі

І припустимо, на мить, що це означало, принаймні одну річ у нашій області дискурсу. А потім перекладіть наш приклад речення, хоча б як першу спробу, як

(Н σ ^ М σ)

Це говорить про те, що деякі речі є людьми, а деякі речі смертні. Спочатку може здатися, що це працює. Але тепер розглянемо інше речення.

Деякі речі людські, а деякі - краби.

Це правда. Введемо присудок K x для х - краб. Тоді, здавалося б, ми повинні це перевести

(Н σ ^ К σ)

Але це не працює. Для σ, якщо це ім'я, повинні посилатися на те ж саме. Але, тоді щось є і людиною, і крабом, що є помилковим.

«Все» і «деякі» насправді тонкі. Вони виглядають і (в деякому роді) діють як імена, але відрізняються від імен. Отже, не варто ставитися до них як до імен.

ε: все (або все)

σ: деякі

Це здивувало багатьох філософів і математиків, але, нарешті, дуже глибокий мислитель, про якого ми вже згадували - Готтлоб Фрег - зрозумів, що тут відбувається, і розробив те, що ми сьогодні називаємо «кількісним показником».

Інсайт, необхідний для квантора, полягає в тому, що нам потрібно розглядати «все» і «деякі» як спеціальні оператори, які можуть «зв'язувати» або «досягти» потенційно декількох місць арності в одному або декількох присудках. Щоб побачити ідею, розглянемо спочатку найпростіший випадок. Вводимо символ для всіх. Однак ми також введемо змінну - у цьому випадку ми будемо використовувати x —як особливий тип власника місця. (Або: ви могли б думати, що це означає кожен і х як значення речі, а потім x означає все. ) Тепер, щоб сказати «все людське», ми б написали

4 х В х

Подумайте про це речення як про те, що ви можете взяти будь-який об'єкт з нашої області дискурсу, і ця річ має властивість H. Іншими словами, якщо х H x вірно, то H a вірно, а H b - істинно, а H c вірно, і так далі, для всіх об'єктів нашої області дискурсу.

Поки що це мало чим відрізняється, ніж використання єдиного імені, щоб означати «все». Але є дуже істотна різниця, якщо розглядати більш складну формулу. Розглянемо «Всі чоловіки смертні». Більшість логіків вважають, що це означає, що «Все таке, що, якщо воно людське, то смертне». Ми можемо написати

х (В х →М х)

Отже, якщо х (В х →М х) істинно, то (Н а → М а) і (Н б → М б ) і (H c → M c) і так далі вірні.

Це фіксує саме те, що ми хочемо. Ми не хотіли говорити, якщо все людське, то все смертно. Ми хотіли сказати, для кожної речі, якщо вона людська, то вона смертна.

Подібний підхід спрацює і для «деяких». Нехай «» буде нашим символом для «деяких». Тоді ми можемо перевести

Деякі чоловіки смертні

З

х (В х ^М х)

(Ми обговоримо в розділі 13.3 нижче, чому ми не використовуємо умовне тут; на цьому етапі ми просто хочемо зосередитись на значенні «».) Прочитайте це, кажучи, для цього прикладу, є принаймні одна річ з нашої області дискурсу, яка має властивості H і M. Іншими словами, або (H a ^ M a) є істинним або (H b ^ M b) є істинним або (H c ^ M c) є істинним або і т.д.

Ці нові елементи для нашої мови називаються «квантифікаторами». Символ «» називається «універсальним квантором». Символ «» називається «екзистенціальним квантором» (щоб пам'ятати про це, подумайте про це як про те, що «існує принаймні одне таке, що...»). Ми говоримо, що вони «кількісно оцінюють» речі, про які йде наша мова (тобто речі в нашій області дискурсу).

Тепер ми готові надати синтаксис термінів, предикатів та квантифікаторів.

12.2 Новий синтаксис

Для логіки пропозиції наш синтаксис завжди був тривіальним. Для логіки першого порядку наш синтаксис буде складнішим. Нам знадобиться нова концепція, поняття «добре сформованої формули». І нам потрібно буде зробити більш явне використання того факту, що наш синтаксис є рекурсивний синтаксис, що означає, що наші правила повинні бути викладені з першого випадку, а потім спосіб багаторазово застосовувати наші синтаксичні правила. Ми також збираємося змінити одну особливість нашої метамови. Символ Φ більше не буде означати речення. Натомість це будь-яке добре сформоване вираження нашої мови. Ми можемо написати Φ (a), щоб означати, що ім'я a з'являється в Φ; це не означає, що Φ - це присудок arity-one з єдиним ім'ям a. Φ може бути дуже складним. Наприклад, Φ може бути виразом ((F a ↔ G bc) ^H d).

Символічний термін - це або ім'я, невизначене ім'я, довільний термін, або змінна (пояснимо, що таке невизначені терміни і довільні терміни пізніше). Імена - a, b, c, d... Невизначені імена - р, q, r... Змінними є u, v, w, x, y, z. Довільними термінами є u′, v′, w′, x′, y′, z′.

Присудок рідності n, за яким слідують n символічних членів, - це добре сформована формула.

Якщо Φ і ψ - це добре сформовані формули, а α - змінна, то наступні добре сформовані формули:

¬Φ

(Φ → ψ)

(Φ ^ ψ)

(Φ v ψ)

(Φ ↔ ψ)

αφ

αφ

Якщо вираз Φ (α) не містить кількісних показників, а α - змінна, то скажемо, що α - це «вільна змінна» в Φ (α). Якщо вираз Φ (α) не містить кількісних показників, а α - змінна, то ми говоримо, що α «пов'язаний » в αφ (α), а α «пов'язаний» в αφ (α). Змінна, яка пов'язана, не є вільною.

Якщо Φ - це добре сформована формула без вільних змінних, то це речення.

Якщо Φ і ψ є реченнями, то наступні пропозиції:

¬Φ

(Φ→ψ)

(Φ ^ ψ)

(Φ v ψ)

(Φ ↔ ψ)

Цей спосіб вираження є точним; але для деяких з нас, побачивши це вперше, важко слідувати. Давайте зробимо крок за кроком. Припустимо, що F - це присудок arity один, що G - присудок arity два, і що H - присудок arity три. Потім далі йдуть все добре сформовані формули.

Ф х

Ф у

Ф а

Г х

G yx

Г аб

G сокира

Н хиз

H осі

H затишний

І, якщо ми поєднаємо їх із зв'язками, вони утворюють добре сформовані формули. Все це добре сформовані формули:

¬Ф х

(Ф х →Ф у)

(F а ^G xy)

(Г х х Г аб)

(Г макс ↔ H xyz)

3 х H осі

Z H кішка

Для цих формул ми говоримо, що х - вільна змінна в кожній з перших п'яти добре сформованих формул. Змінна x пов'язана в шостій добре сформованій формулі. Змінна z пов'язана в останній добре сформованій формулі, але y є вільним у цій формулі.

Для наступних формул вільних змінних немає.

4 х Ф х

z Г за

Ф а

Г до н.е.

Отже, кожна з цих чотирьох добре сформованих формул є реченням. Якщо вони поєднуються з використанням наших зв'язків, вони складуть додаткові речення. Наприклад, це все речення:

¬ х Ф х

(х Ф х →з Г за)

(F a ^ G до н.е.)

(Г бк ↔ з Г за)

(Г до н.е. v з Г за)

Основна ідея полягає в тому, що крім речень ми визнаємо формули, які мають правильну форму, щоб бути реченням, якби вони мали імена замість змінних у певних місцях у формулі. Потім вони стають реченнями у поєднанні з квантифікатором, що зв'язує цю змінну, тому що тепер змінна більше не є безглуздим заповнювачем, а замість цього означає будь-який або якийсь об'єкт у нашій мові.

А як щодо семантики для квантіфікаторів? Це, на жаль, має залишатися інтуїтивним під час розробки логіки першого порядку. Нам потрібна теорія множин, щоб розробити семантику для квантіфікаторів; таблиці істинності не працюватимуть. У розділі 17 ви можете прочитати трохи про те, як побудувати правильну семантику для квантіфікаторів. Тут давайте просто зрозуміємо універсальний квантор, «», як означає кожен об'єкт у нашій області дискурсу; і зрозуміти екзистенціальний квантор, «», як означає принаймні один об'єкт у нашій області дискурсу.

Примітка про екзистенціальний квантор. «Some» в англійській мові не часто означає хоча б один. Якщо ви попросите свого друга трохи її картоплі фрі, і вона дасть вам рівно один, ви відчуєте себе обдуреним. Однак ми, швидше за все, домовимося, що немає чіткої норми щодо кількості картоплі фрі, яку вона вам повинна дати, щоб задовольнити ваше прохання. Коротше кажучи, слово «some» розпливчасте в англійській мові. Це корисна невизначеність - ми не хочемо говорити такі речі, як: «Дайте мені 11 картоплі фрі, будь ласка». Але, наша логічна мова повинна бути точною, а значить, вона не повинна мати розпливчастості. З цієї причини ми інтерпретуємо екзистенціальний квантор як мінімум один.

12.3 Загальні форми речень для кількісних

Формули, що використовують квантори, можуть мати дуже складні значення. Однак переклад з англійської мови на логічні вирази першого порядку зазвичай напрочуд простий, оскільки в англійській мові багато наших фраз, що використовують «all» або «деякі» або подібні фрази мають вісім основних форм. Після того, як ми запам'ятовуємо ці форми, ми зможемо перевести такі фрази з англійської мови на логіку.

Ось приклади восьми форм, з використанням деяких гіпотетичних пропозицій.

Все людське.

Щось людське.

Щось не людське.

Ніщо не є людським.

Всі люди смертні.

Деякі люди смертні.

Деякі люди не смертні.

Жодна людина не смертна.

Наша мета полягає в тому, щоб вирішити, як краще перекладати кожен з них. Потім, узагальнимо. Скористаємося нашим ключем вище, в якому «H x» означає х - людина, а «М х» означає х смертний.

Перші два речення прямолінійні. Нижче наведені переклади.

4 х В х

х В х

А як щодо третього речення? Це говорить, що є щось, і ця річ не є людиною. Кращим перекладом цього було б почати з «чогось».

х ¬Н х

Це фіксує те, що ми хочемо. Принаймні одна річ не людська. Протипоставте це з наступним реченням. Ми можемо зрозуміти це як сказати: Це не так, що щось є людиною. Тобто перекладається:

¬х В х

(Виходить, що «х ¬Н х» і «¬ х В х» еквівалентні, а «¬х В х» і «х х» ¬H x» еквівалентні; тому ми також можемо перевести «Щось не людське» на «¬ x H x», а «Ніщо не є людським» на «x ¬H x». Однак цей автор вважає їх менш близькими до англійської в синтаксичній формі.)

Наступні чотири більш тонкі. «Всі люди смертні», здається, кажуть: якщо щось людське, то ця річ смертна. Це говорить нам безпосередньо, як перевести вираз:

х (В х →М х)

А як щодо «деякі люди смертні»? Це правильно перекладено за допомогою:

х (В х ^М х)

Багато студентів підозрюють, що існує певна глибока схожість між «всі люди смертні» та «деякі люди смертні», і тому хочуть перевести «деякі люди смертні» як x (H x →M x). Це було б помилкою. Запам'ятайте таблицю істинності для умовного; якщо попередник хибний, то умовний істинний. Таким чином, формула x (H x →M x) була б істинною, якби не було людей, і це було б правдою, якби не було людей і немає смертних.

Це може здатися трохи абстрактним, тому давайте залишимо нашу мову про людей і смертність, і розглянемо іншу мову логіки першого порядку, це про цифри. Нашою областю дискурсу, припустимо, є натуральні числа (1, 2, 3,...). Нехай «F x» означає «х парний», а «G x» означає «х непарний». Тепер розглянемо наступну формулу:

Деяке парне число непарне.

Можна погодитися, що для звичайного тлумачення «непарного» і «парного» це речення є помилковим. Але тепер припустимо, ми перевели його як

х (Ф х →Г х)

Це речення вірно. Це тому, що в нашій області дискурсу є принаймні один об'єкт, для якого це правда. Наприклад, розглянемо число 3 (або будь-яке непарне число). Припустимо, що в нашій логічній мові означає 3. Тоді істинно таке речення:

(Ф а → Г а)

Це речення вірно, оскільки попереднє є помилковим, а наслідком є істинним. Це робить весь умовний істинним.

Зрозуміло, що «x (F x →G x)» не може бути хорошим перекладом «Деяке парне число непарне», тому що тоді як «Деяке парне число непарне» є помилковим, «x (F x →G x)» це правда. Чим кращий переклад

х (Ф х ^Г х)

Це говорить про те, що деяке число є як парним, так і непарним. Це явно помилково, що відповідає істинному значенню англійського виразу.

Повертатися до нашої мови про людей і смертність. Речення «якась людина смертна» має бути перекладено

х (В х ^М х)

І це дає зрозуміти, як ми можемо перекласти, «якась людина не смертна»:

х (В х ^ ¬М х)

Останнє речення «Жодна людина не смертна» схоже на «Ніщо не є людиною». Ми можемо прочитати це як значення Це не так, що деякі люди смертні, що ми можемо перекласти:

¬х (В х ^М х)

(Виявляється, це речення еквівалентно тому, що «всі люди не смертні». Таким чином, ми також могли б перекласти речення за допомогою:

х (В х →¬М х).)

Нам потрібно узагальнити ці вісім форм. Нехай Φ і ψ - вирази (вони можуть бути складними). Нехай α буде будь-яка змінна. Потім ми можемо дати вісім форм схематично наступним чином.

Все Φ

αφ (α)

Щось є Φ

αφ (α)

Щось не Φ

α¬φ (α)

Ніщо не є Φ

¬αφ (α)

Всі Φ становлять

α (Φ (α) →ψ (α))

Деякі Φ становлять

α (Φ (α) ^ ψ (α))

Деякі Φ не є ψ

α (Φ (α) ^ ¬ψ (α))

Ні Φ є ψ

¬α (Φ (α) ^ ψ (α))

Ці вісім форм включають найпоширеніші форми речень, з якими ми стикаємося англійською мовою, які використовують квантифікатори. Спочатку це не може здатися правдоподібним, але, коли ми визнаємо, що ці узагальнені форми дозволяють, що вираз Φ або ψ може бути складним, то, ми бачимо, що нижче наведені приклади восьми форм, наведених в тому ж порядку:

Все жіноча людина з Техасу.

Щось чоловік-людина з Техасу.

Щось не жіночий комп'ютерний вчений з Техасу.

Ніщо не є чоловічим комп'ютерним вченим з Техасу.

Всі чоловічі люди - смертні ссавці.

Деякі жінки люди є комп'ютерними вченими, які живуть в Техасі.

Деякі жінки не є комп'ютерними вченими, які живуть у Техасі.

Жоден чоловік не є комп'ютерним вченим, який живе в Техасі.

Завдання при перекладі таких пропозицій полягає в тому, щоб побачити, коли ми повертаємося до наших схем, що Φ і ψ можуть бути складними. Таким чином, якщо ми додамо до нашого ключа наступні присудки:

F х: х жіночий

G x: х є чоловічим

Т х: х з Техасу

S x: х - комп'ютерний вчений

Л х: х ссавець

Потім ми бачимо, що нижче наведені переклади восьми англійських речень, і вони використовують вісім форм.

х ((Ф х ^В х) ^ Т х)

х ((Г х ^В х) ^Т х)

х ¬ ((Ф х ^В х) ^ (С х ^Т х))

¬х ((Г х ^S х) ^Т х)

х ((Г х ^В х) → (М х ^Л х))

х ((Ф х ^В х) ^ (С х ^Т х))

х ((Ф х ^В х) ^ ¬ (С х ^Т х))

¬х ((Г х ^В х) ^ (С х ^Т х))

Ще одне важливе питання, про яке слід знати при перекладі виразів з квантифікаторами, полягає в тому, що «тільки» відіграє особливу роль у деяких англійських виразах. Розглянемо наступні пропозиції.

Всі акули - риба.

Рибою є тільки акули.

Перший з них істинний; другий - помилковий. Ми почнемо нову логічну мову і ключ. Нехай F х означає, що х - риба, а S x означає, що х - акула. Ми знаємо, як перевести перше речення.

х (S х → Ф х)

Однак як перекласти «Тільки акули - це риба»? Це речення говорить нам, що єдине, що риби є акули. Але тоді, вся риба - акули. Тобто переклад це:

4 х (Ф х → С х)

Також можна було б об'єднати ці претензії:

Всі і тільки акули - риба.

Які повинні бути перекладені:

х (S х ↔ Ф х)

Це вказує на дві додаткові схеми перекладу, які можуть бути корисними. По-перше, речення виду «Only Φ are» слід перекласти:

α (ψ (α) → Φ (α))

По-друге, пропозиції виду «все і тільки Φ - це ψ» слід перекласти наступним чином:

α (Φ (α) ↔ ψ (α))

12.4 Проблеми

1. Яке з наведених нижче виразів має вільну змінну? Визначте вільну змінну, якщо вона є. Припустимо, F - це присудок рідності один, а G - предикат arity два.
   1. Ф а
   2. Ф х
   3. Г ха
   4. х Ф х
   5. 4 х Г х
   6. 3 х Г х х
   7. 4 х (Ф х → Г х)
   8. (XFX → Г ха)
   9. (XFX → х Г х)
   10. 4 х (Ф х → Г х)
2. Надайте ключ і перекладіть наступні вирази в логіку першого порядку. Припустимо, область дискурсу - Земні організми. Таким чином, x F x означало б, що всі наземні організми є F, а x F x означало б принаймні один наземні організми F. Не турбуйтеся, що деякі з цих речень є явно помилковими.
   1. Всі коні - ссавці.
   2. Деякі коні є ссавцями.
   3. Ніякі коні не є ссавцями.
   4. Деякі коні не є ссавцями.
   5. Деякі ссавці відкладають ікру, а деякі ссавці - ні.
   6. Деякі каштанові коні - ссавці, які не відкладають яєць.
   7. Ніякі каштанові коні не є ссавцями, які відкладають яй
   8. Деякі ссавці, що несуть яйце, не є кіньми.
   9. Коней немає.
   10. Є деякі ссавці.
   11. Тільки коні - ссавці.
   12. Всі і тільки коні - ссавці.
3. Надайте свій власний ключ і перекладіть наступні вирази логіки першого порядку в природні звучать англійські речення. Всі предикати тут призначені для того, щоб бути arity один. Не хвилюйтеся, якщо деякі ваші речення явно помилкові; ви хочете показати, що ви можете перекласти з логіки на звичайну англійську.
   1. х ((Ф х ^Г х) →В х)
   2. х (Ф х →¬В х)
   3. х ((Ф х ^ (Г х ^В х))
   4. х ((Ф х ^¬ (Г х ^В х))
   5. ¬х (Ф х ^Г х)