2.1: Імена та присудки

11. Імена та присудки

11.1 Обмеження логіки пропозиції

Пропозиційна логіка - ідеальна мова для того, що вона робить. Це суворо точний і простий у використанні. Але це не єдиний вид логіки, який розробили філософи. Філософ Аристотель (384-322 рр. До н.е.) написав кілька книг з логіки, і, як відомо, він використовував наступний аргумент в якості одного зі своїх прикладів.

Всі люди смертні.

Сократ - людина.

_____

Сократ смертний.

Аристотель вважав це прикладом вагомого аргументу. І це, здається, одне ціле. Але давайте втілимо це в нашу логіку пропозиції. У нас є три атомні речення. Наш ключ перекладу виглядатиме приблизно так:

П: Всі люди смертні.

Q: Сократ - людина.

Р: Сократ смертний.

І аргумент, написаний у логіці пропозиції, буде

П

Q

_____

R

Цей аргумент, очевидно, недійсний. Що пішло не так? Якось між аргументом Аристотеля і нашим перекладом була втрачена важлива інформація. Ця інформація була потрібна для того, щоб аргумент був дійсним. Коли ми втратили його, ми закінчилися аргументом, де висновок може бути помилковим (наскільки ми можемо зрозуміти лише з форми аргументу).

Здається цілком зрозуміло, що ми втратили в перекладі. Є частини першої передумови, які поділяють інші два: щось пов'язане з тим, щоб бути людиною, і бути смертним. Є частина другого речення, розділеного з висновком: власне ім'я «Сократ». І слово «Все», здається, відіграє тут важливу роль.

Зверніть увагу, що всі три з цих речей (ці прикметникові фрази, власне ім'я та «все») самі по собі не є реченнями. Щоб зрозуміти цей аргумент Аристотеля, нам потрібно буде пробитися в атомні речення, і почати розуміти їх частини. Робити це виявилося дуже складним завданням - перш за все, маючи сенс того, що «все» виявилося складним завданням. В результаті майже дві тисячі років у нас паралельно працювали дві логіки: логіка пропозиції та логіка Аристотеля. Лише в кінці дев'ятнадцятого століття ми виробили чітке і точне розуміння того, як об'єднати ці дві логіки в одну, яку ми назвемо «логікою першого порядку» (пояснимо пізніше, що означає «перший порядок»).

Наше завдання полягатиме в тому, щоб осмислити ці частини: власні імена, прикметникові фрази, і «все». Ми можемо почати з імен.

11.2 Символічні терміни: власні імена

Перше, що ми хочемо додати до нашої розширеної мови - це імена. Ми візьмемо власні імена (наприклад, «Авраам Лінкольн») як нашу модель. Загальні назви (типу «американців») ми будемо обробляти по-іншому, про що буде розказано далі. Ми будемо називати ці власні назви нашої мови, «імена».

Нагадаємо, що ми хочемо, щоб наша мова не мала розпливчастості та неоднозначності. Ім'я буде розпливчастим, якщо воно може або не може вибрати об'єкт. Тому ми вимагатимемо, щоб кожне ім'я вибирало об'єкт. Тобто ім'я може не додаватися до нашої мови, якщо воно ні до чого не відноситься, або лише посилається на щось за певних умов. Ім'я було б неоднозначним, якби воно вказувало на більш ніж одне. «Джон Сміт» - це ім'я, яке вказує на тисячі людей. Ми не допустимо цього на нашій мові. Кожне ім'я вказує лише на одне.

Ми також можемо вирішити, що кожна річ, про яку говорить наша мова, має лише одне ім'я. Деякі філософи вважали, що таке правило буде дуже до речі. Однак, виявляється, часто дуже важко зрозуміти, чи дві очевидні речі - це одне і те ж, і тому природною мовою ми часто маємо кілька назв для одного і того ж. Улюбленим прикладом філософів, взятим у філософа і математика Готтлоба Фреге (1848-1925), є «Геспер» і «Фосфор». Це обидва імена для Венери, хоча деякі, хто використовував ці імена, цього не знали. Таким чином, деякий час деякі люди не знали, що Геспер - це Фосфор. І, звичайно, ми не змогли б використовувати лише одне ім'я для обох, якби ми не знали, що ці імена вказують на одне і те ж. Таким чином, якщо ми хочемо моделювати наукові проблеми або інші проблеми реального світу, використовуючи нашу логіку, то правило, що кожна річ має одне і тільки одне ім'я, вимагатиме занадто багато: це вимагатиме від нас вирішити всі наші таємниці, перш ніж ми розпочали. У будь-якому випадку, немає двозначності в речі, що має кілька назв.

Назви відносяться до речей. Але коли ми говоримо, що посилається на такий-то об'єкт, то якщо хтось запитає: «Що ви маєте на увазі під «посилатися»?» , нам було б важко зробити що-небудь більше, ніж запропонувати список синонімів: точки на об'єкт, а називає об'єкт, а вказує на об'єкт, а вибирає об'єкт. «Refer» - ще один примітив, який ми додаємо до нашої мови. Ми не можемо в цій книзі пояснити, що таке посилання; насправді філософи енергійно обговорюють це сьогодні, і існує кілька різних і (здавалося б) несумісних теорій про те, як працюють імена. Однак сприйняття «посилання» як примітиву не викличе у нас труднощів, оскільки ми всі використовуємо імена, і тому всі ми маємо робоче розуміння імен та того, як вони посилаються.

У нашій мові ми будемо використовувати малі літери, починаючи з початку алфавіту, для імен. Таким чином, такі назви:

a

б

c

...

У природній мові ім'я має більше значення, ніж те, на що воно вказує. Готтлоб Фреге був заінтригований наступними видами справ.

а = а

а = б

Геспер - це Геспер.

Геспер - фосфор.

У цих чотирьох реченнях властиво те, що перше і третє є тривіальними. Ми знаємо, що вони повинні бути правдою. Друге і четверте речення, однак, можуть бути дивовижними, навіть якщо це правда. Фреге зауважив, що посилання не може становити все значення імені, бо якщо це так, а якщо a - b, то друге речення вище повинно мати те саме значення, що і перше речення. І, якщо Геспер - Фосфор, третє і четверте пропозиції повинні мати однакове значення. Але очевидно, що вони цього не роблять. Значення імені, уклав він, - це більше, ніж просто те, що воно посилається. Він назвав цей додатковий сенс сенсу (Sinn, на рідній німецькій мові).

Ми не зможемо вивчити ці тонкощі. Ми збираємося зменшити значення наших імен аж до їх референта. Це ще один випадок, коли ми бачимо, що така природна мова, як англійська, дуже потужна і містить тонкощі, яких ми уникаємо та спрощуємо, щоб розвивати нашу точну мову.

Нарешті, повторимо, що ми вживаємо слово «ім'я» в дуже конкретному сенсі. Ім'я виділяє окремий об'єкт. З цієї причини, хоча може бути правдою, що «кішка» - це свого роду ім'я англійською мовою, його не можна належним чином перекласти на ім'я нашою логічною мовою. Таким чином, розглядаючи, чи є якийсь елемент природної мови власним ім'ям, просто запитайте себе: чи є одна річ, на яку посилається цей елемент? Якщо відповідь ні, то ця частина природної мови не схожа на ім'я в нашій логічній мові.

11.3 Присудки

Ще один елемент аргументу Аристотеля вище, який ми хочемо захопити, - це фрази на кшталт «це людина» і «смертний». Ці прикметникові фрази філософи називають «присудками». Вони розповідають нам про властивості чи відносини, які мали речі, про які наша мова. У нашому реченні «Сократ - людина» присудок («... є людиною») ототожнює властивість Сократа. Ми хочемо ввести в нашу логічну мову спосіб вираження цих предикатів. Але перш ніж ми це зробимо, нам потрібно уточнити, як присудки відносяться до об'єктів, про які ми говоримо, і ми хочемо бути впевненими, що вводимо присудки таким чином, щоб їх значення було точним (вони не були розпливчастими або неоднозначними).

Наш приклад «... є людина» може змусити нас думати, що присудки ідентифікують властивості окремих об'єктів. Але розглянемо наступні пропозиції.

Том високий.

Том вищий від Джека.

7 непарна.

7 більше або дорівнює 5.

Перше і третє речення дуже схожі на ті, які ми бачили раніше. «Том» і «7» - це імена. А «... високий» і «... непарний» - це присудки. Вони схожі (принаймні з точки зору їх видимого синтаксису) на «Сократ» і «... людина».

Але як щодо цих двох інших речень? Присудки в цих реченнях виражають відносини між двома речами. І хоча в англійській мові рідко присудок виражає відношення більш ніж двох речей, в нашій логічній мові присудок міг би ідентифікувати зв'язок між будь-якою кількістю речей. Тоді нам потрібно усвідомлювати, що кожен присудок ідентифікує зв'язок між певною кількістю речей. Це важливо, тому що присудки в першому і другому реченні вище неоднакові. Тобто «... високий» і «... вище, ніж...» - це не той самий присудок.

У логіків для цього є сленг, вони називають його «рідністю» присудка. Це дивне слово походить від прийняття «арі» на такі слова, як «двійковий» та «тринарний», і перетворення його в іменник. Отже, можна сказати наступне: кожен присудок має раритет. Рідність присудка - це мінімальна кількість речей, які можуть мати властивість або відношення. Присудок «... високий» є раритетним. Одне тільки може бути високим. Присудок «... вище, ніж...» - це рідкість два. Вам потрібно принаймні дві речі, щоб одна була вищою за іншу.

Таким чином, розглянемо наступне речення.

Стефано, Маргарита, Алетея та Лорена - італійки.

Тут є присудок, «... італійські». Він був використаний для опису чотирьох речей. Це присудок орності чотири? Ми могли б ставитися до нього як до одного, але це зробило б нашу мову оманливою. Наш тест повинен полягати в наступному принципі: яка мінімальна кількість речей, які можуть мати це властивість або відношення? У цьому випадку «... італійці» має бути arity один присудок, тому що одна річ може бути італійською. Таким чином, вищенаведене речення слід розуміти як еквівалентне:

Стефано - італійка, Маргарита - італійка, Алетея - італійка, а Лорена - італійка.

Це утворюється за допомогою сполучників атомних пропозицій, кожне з яких містить однакову рідність один присудок. Розглянемо також наступне речення.

Стефано старше Алетеї і Лорени.

Тут є три назви. Чи є предикат тоді присудок арності три? Ні. Мінімальна кількість таких речей, що одна може бути старшою за іншу - дві. З цього факту ми знаємо, що «... старше...» - це присудок arity два. Таким чином, це речення еквівалентно:

Стефано старше Алетеї, а Стефано старший за Лорени.

Це утворюється за допомогою сполучника атомних пропозицій, кожне з яких містить однакову парність два присудка.

Зверніть увагу на важливу різницю, яку нам потрібно зробити між нашою логічною мовою та природною мовою, як англійська. У природній мові, як англійська, ми маємо широкий спектр видів імен та видів присудків. Деякі з них можуть бути об'єднані для формування речень без будь-якої впізнаваної істинної цінності. Розглянемо:

Юпітер - непарне число.

Америка вища за Сміта.

7 старше Джонса.

Ці вирази є смисловою нісенітницею, хоча синтаксично добре сформовані. Присудок «... є непарним числом» не може бути істинним або хибним для планети. Америка не має висоти для порівняння. Цифри не мають віку. І так далі.

Ми дуже розумні носії на наших рідних мовах. Ми, природно, уникаємо таких помилок (більшу частину часу). Але наша логіка будується, щоб уникнути таких помилок завжди; вона спрямована на те, щоб зробити їх неможливими. Таким чином, кожна логічна мова першого порядку повинна мати те, що ми будемо називати його «областю дискурсу». Домен дискурсу - це сукупність речей, про які говорить наша логіка першого порядку. Якщо ми хочемо поговорити про числа, людей та нації, ми хочемо створити три різні мови з трьома різними наборами предикатів і трьома різними областями дискурсу.

Тепер ми можемо точно вказати наше правило для предикатів. Присудок рідності n повинен бути істинним або хибним, ніколи не обидва, ніколи ні, кожного n об'єктів з нашої області дискурсу.

Це дозволить нам уникнути присудків, які є розпливчастими або неоднозначними. Розпливчастий присудок може включати: «... це свого роду високий». Це може бути очевидно помилковим для дуже коротких людей, але це не матиме чіткого значення істини щодо людей, які мають зріст трохи вище середнього. Якби присудок був неоднозначним, ми знову не змогли б сказати в деяких випадках, чи є предикат істинним чи хибним деяких речей у нашій області дискурсу. Приклад може включати: «... знаходиться за ручкою». Це може означати це під письмовим реалізацією, або це може означати це дитячий манеж. Не знаючи, що, ми не змогли б сказати, чи є речення на кшталт «Фідо за пером» істинним чи хибним. Наше правило для предикатів явно виключає будь-яку можливість.

Коли ми говоримо: «предикат парності n є істинним або хибним для кожного n об'єктів з нашої області дискурсу», ми маємо на увазі те, що рідність один присудок повинен бути істинним або хибним для кожної речі в області дискурсу; і парність два присудки повинні бути істинними або помилковими для всіх можливих впорядкованих пар речей з область дискурсу; і арність три присудки повинні бути істинними або помилковими для всіх можливих впорядкованих трійок речей з нашої області дискурсу; і так далі.

Ми будемо використовувати великі літери від F on для представлення предикатів нашої логічної мови. Таким чином,

F

Г

H

Я

Дж

К

...

є предикатами.

11.4 Логічні речення першого порядку

Тепер ми можемо пояснити, що таке речення в нашій логіці першого порядку.

Потрібно визначитися з тим, як будуть поєднуватися імена і присудки. Були використані різні методи, але найбільш поширеним є те, що називається «префіксом позначення». Це означає, що ми ставимо предикат перед іменами. Отже, якби у нас були речення

Том високий.

Том вищий від Стіва.

І ми мали наступний ключ перекладу,

F x: x високий

G xy: х вище, ніж у

в: Том

б: Стів

Тоді наші переклади були б

Ф а

Г аб

Я зробив щось нове в ключі перекладу: я використовував змінні для ідентифікації місць в присудку. Це не якась частина нашої мови, а просто зручна частина бухгалтерського обліку, яку ми можемо використовувати для пояснення наших предикатів. Перевага полягає в тому, що якщо ми пишемо просто:

G: більше

може виникнути неоднозначність щодо того, яке ім'я має бути першим після присудка (більше імені, або менше імені). Ми уникаємо цієї неоднозначності, вводячи змінні в присудок і англійську мову в ключі перекладу. Але змінні не роблять ніякої іншої роботи. Не думайте про присудок як про те, що містить змінні.

Вище речення, яке ми мали

Стефано - італійка, Маргарита - італійка, Алетея - італійка, а Лорена - італійка.

можна перекласти наступним ключем:

I x: x - італійський.

c: Стефано

d: Маргарита

e: Алетея

f: Лорена

А в нашій мові виглядав би так:

((I с ^I г) ^ (Я е ^I ф))

Ми ще не дали формального синтаксису для атомних речень логіки першого порядку. Нам знадобиться нова концепція синтаксису - добре сформована формула, яка не є реченням, і з цієї причини ми відкладемо специфікацію синтаксису для наступної глави.

11.5 Проблеми

1. Перекладіть наступні пропозиції в нашу логіку першого порядку. Надайте ключ перекладу, який ідентифікує імена та предикати.
   1. Боб - поріферан.
   2. Боб не є ні кіндариком, ні жінкою.
   3. Боб - чоловічий поріферан.
   4. Боб - це не чоловічий поріферан.
   5. Боб - поріферан тоді і тільки в тому випадку, якщо він не кіндарій.
   6. Пат не є і поріфером, і кіндариком.
   7. Пет не поріферан, хоча він і є чоловіком.
   8. Пет і Боб - чоловіки.
   9. Боб старший за Пат.
   10. Пет не старше і Санді, і Боба.
2. Визначте присудок наступних пропозицій, і визначте його рідність.
   1. Алетея і Лорена високі.
   2. Алетея і Лорена вище Стефано і Маргарити.
   3. Маргарита молодша за Алетею, Лорену і Стефано.
   4. Маргарита і Стефано живуть в Римі, а Алетея і Лорена живуть в Мілані.
   5. Лорена стоїть між Стефано і Алетея.
3. Створіть власний ключ перекладу для наступних речень. Використовуйте свій ключ, щоб написати англійські еквіваленти.
   1. Ф а.
   2. Г аб.
   3. (Г аб ^ Ф б).
   4. (G ab ^ G змінного струму).
   5. (Ф а в Ф б).