1.2: «Якщо... тоді...» і «Це не так, що...»

2. «Якщо... тоді...» і «Це не так...»

2.1 Умовні

Як ми зазначили в розділі 1, існують речення природної мови, як англійська, які не є атомними реченнями. Наші приклади включені

Якщо Лінкольн виграє вибори, то Лінкольн буде президентом.

Земля не є центром Всесвіту.

Ми могли б ставитися до них як до атомних речень, але тоді ми втратимо багато важливої інформації. Наприклад, перше речення говорить нам щось про зв'язок між атомними реченнями «Лінкольн виграє вибори» і «Лінкольн буде президентом». І друге речення вище, можна припустити, буде мати цікаве відношення до речення: «Земля - центр Всесвіту». Щоб зробити ці відносини явними, нам доведеться зрозуміти, що означають «якщо... то...» і «ні». Таким чином, було б корисно, якби наша логічна мова змогла висловити подібні речення таким чином, щоб ці елементи були явними. Почнемо з першого.

Речення «Якщо Лінкольн виграє вибори, то Лінкольн буде президентом» містить два атомні речення: «Лінкольн виграє вибори» і «Лінкольн буде президентом». Таким чином, ми могли б представити це речення, дозволивши

Лінкольн перемагає на виборах

бути представленими в нашій логічній мові

П

І здаючи

Лінкольн стане президентом

бути представленим

Q

Тоді весь вираз можна було б представити письмовим

Якщо P, то Q

Корисно буде, однак, замінити англійську фразу «if... then...» єдиним символом в нашій мові. Найбільш часто використовується такий символ - «→». Таким чином, ми б написали

П → Q

Однак потрібно дотримуватися останнє. Ми можемо поєднати це складне речення з іншими реченнями. У такому випадку нам потрібен спосіб визначити, що це одне речення, коли воно поєднується з іншими реченнями. Існує кілька способів зробити це, але найбільш звичним (хоча і не самим елегантним) є використання дужок. Таким чином, ми напишемо наш вислів

(Р → Q)

Такий вид пропозиції називається «умовним». Його також іноді називають «матеріальним умовним». Перше складове речення (те, що перед стрілкою, яке в даному прикладі - «Р») називається «попередником». Друге речення (те, що після стрілки, яке в даному прикладі - «Q») називається «послідовним».

Ми знаємо, як написати умовне, але що це означає? Як і раніше, ми візьмемо значення, яке дають умови істини - тобто опис того, коли речення є істинним або хибним. Робимо це за допомогою таблиці істинності. Але тепер наше речення має дві частини, які є атомними реченнями, P і Q. Зверніть увагу, що або атомарне речення може бути істинним або хибним. Це означає, що ми повинні розглянути чотири можливі види ситуацій. Ми повинні розглянути, коли P істинний, а коли він хибний, але тоді нам потрібно розглянути ці два види ситуацій двічі: один раз для коли Q є істинним і один раз для коли Q є помилковим. Таким чином, ліва частина нашої таблиці істинності буде виглядати так:

П	Q
Т	Т
Т	F
F	Т
F	F

Існує чотири види способів світу, які ми повинні враховувати.

Зауважте, що, оскільки існує два можливі значення істини (істинне та хибне), всякий раз, коли ми розглядаємо інше атомне речення, існує вдвічі більше способів світу, які ми повинні розглянути. Таким чином, для n атомних пропозицій наша таблиця істинності повинна мати 2 n рядків. У випадку умовного, утвореного з двох атомних речень, як у нашому прикладі (P→Q), наша таблиця істинності матиме 2 рядки 2, що становить 4 рядки. Ми бачимо, що це справа вище.

Тепер ми повинні визначитися з тим, що означає умовний. В якійсь мірі це вирішувати нам. Важливо те, що як тільки ми визначаємо семантику умовного, ми дотримуємося нашого визначення. Але ми хочемо захопити якомога більше значення англійського «якщо... то...», як ми можемо, залишаючись абсолютно точними в нашій мові.

Розглянемо кожен спосіб, яким міг би бути світ. Для першого рядка таблиці істинності, ми маємо, що P є істинним і Q є істинним. Припустимо, світ такий, що Лінкольн виграє вибори, а також Лінкольн буде президентом. Тоді я б сказав по-справжньому, якби сказав: «Якщо Лінкольн виграє вибори, то Лінкольн буде президентом»? Більшість людей згодні з тим, що я б мав. Так само припустимо, що Лінкольн виграє вибори, але Лінкольн не буде президентом. Чи буде речення «Якщо Лінкольн виграє вибори, то Лінкольн буде президентом» все ще буде правдою? Більшість погоджуються, що це було б помилково зараз. Отже, перші рядки нашої таблиці істинності не суперечливі.

П	Q	(Р → Q)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т
F	F

Деякі студенти, однак, важко визначити, які значення істини повинні йти в наступних двох рядках. Відзначимо тепер, що наш принцип двовалентності вимагає від нас заповнити ці рядки. Ми не можемо залишити їх порожніми. Якби ми це зробили, ми б сказали, що іноді умовний може не мати значення істини; тобто ми б говорили, що іноді деякі речення не мають істинної цінності. Але наш принцип бівалентності вимагає, щоб - у будь-яких ситуаціях - кожне речення є або істинним, або помилковим, ніколи і не обом, ніколи ні. Отже, якщо ми збираємося поважати принцип двовалентності, то ми повинні поставити або T або F в для кожного з останніх двох рядків.

На цьому етапі корисно змінити наш приклад. Розглянемо два різних приклади, щоб проілюструвати, як краще заповнити залишок таблиці істинності для умовного.

По-перше, припустимо, я скажу вам наступне: «Якщо ви дасте мені 50 доларів, то я куплю тобі квиток на концерт сьогодні ввечері». Нехай

Ти даєш мені $50

бути представленими в нашій логіці

R

і нехай

Я куплю тобі квиток на концерт сьогодні ввечері.

бути представленим

S

Наше речення тоді

(R → S)

І його таблиця істинності - наскільки ми зараз розуміємо - це:

R	S	(R → S)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т
F	F

Тобто, якщо ви дасте мені гроші, а я куплю вам квиток, моє твердження, що «Якщо ви дасте мені 50 доларів, то я куплю тобі квиток на концерт сьогодні ввечері» є правдою. І якщо ви дасте мені гроші, а я не куплю тобі квиток, я збрехав, і моя претензія неправдива. Але тепер, припустимо, ви не даєте мені 50 доларів, а я купую вам квиток на концерт в подарунок. Чи було моє твердження помилковим? Ні. Я просто купив вам квиток в подарунок, але, імовірно, купив би його, якби ви дали мені гроші, теж. Так само, якщо ви не даєте мені грошей, а я не купую вам квиток, це, здається, цілком відповідає моїй претензії.

Отже, найкращий спосіб заповнити таблицю істинності полягає в наступному.

R	S	(R → S)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

По-друге, розглянемо ще одне речення, яке має ту перевагу, що воно дуже зрозуміло щодо цих двох останніх рядків. Припустимо, що a є певним натуральним числом, тільки ми з вами не знаємо, яке це число (натуральні числа - це цілі позитивні числа: 1, 2, 3, 4...). Розглянемо тепер наступне речення.

Якщо a рівномірно ділиться на 4, то a рівномірно ділиться на 2.

(Під «рівномірно ділиться» я маю на увазі ділиться без залишку.) Перше, що потрібно запитати себе: чи правда це речення? Я сподіваюся, що ми всі зможемо погодитися з тим, що це - хоча ми не знаємо, що таке. Нехай

a рівномірно ділиться на 4

бути представленими в нашій логіці

U

і нехай

a рівномірно ділиться на 2

бути представленим

V

Наше речення тоді

(U → V)

І його таблиця істинності - наскільки ми зараз розуміємо - це:

U	V	(U → V)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т
F	F

Тепер розглянемо випадок, в якому a дорівнює 6. Це як третій рядок таблиці істинності. Це не так, що 6 рівномірно ділиться на 4, але це так, що 6 рівномірно ділиться на 2. І розглянемо випадок, в якому a дорівнює 7. Це як четвертий рядок таблиці істинності; 7 буде рівномірно ділитися ні на 4, ні на 2. Але ми домовилися, що умовний істинний - незалежно від значення a! Отже, таблиця істинності повинна бути: ^[3]

U	V	(U → V)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Слідуючи цій схемі, ми також повинні заповнити нашу таблицю про вибори:

П	Q	(Р → Q)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Якщо ви незадоволені цим, може бути корисно думати про ці останні два ряди як вакуумні випадки. Умовний говорить нам про те, що відбувається, якщо попередник істинний. Але коли попередній хибний, ми просто за замовчуванням істина.

Тепер ми готові запропонувати більш формально синтаксис і семантику для умовного.

Синтаксис умовного полягає в тому, що якщо Φ і ψ є пропозиціями, то

(Φ→ψ)

це вирок.

Семантику умовного дає таблиця істинності. Для будь-яких речень Φ і ψ:

Φ	ψ	(Φ→ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Пам'ятайте, що ця таблиця істинності зараз є визначенням. Він визначає значення «→». Ми погоджуємося використовувати символ «→», щоб означати це звідси.

Елементи логіки пропозиції, такі як «→», які ми додаємо до нашої мови для формування більш складних речень, називаються «істинно функціональними зв'язками». Сподіваюся, зрозуміло чому: значення цього символу дається в функції істинності. (Якщо ви незнайомі або не впевнені в ідеї функції, подумайте про функцію як про машину, яка приймає один або кілька входів, і завжди потім дає точно один вихід. Для умовного, входами є два значення істинності; а вихід - одне значення істинності. Наприклад, введіть T F в функцію істинності під назвою «→», і ви отримаєте F.)

2.2 Альтернативні фрази англійською мовою для умовного. Тільки якщо.

Англійська включає багато альтернативних фраз, які, здається, еквівалентні умовному. Крім того, в англійській та інших природних мовах порядок умовного іноді буде змінений. Ми можемо захопити загальний сенс цих випадків, визнаючи, що кожна з наступних фраз буде перекладена як (P→Q). (У цих прикладах ми змішуємо англійську мову та нашу логіку пропозиції, щоб коротко проілюструвати варіації.)

Якщо P, то Q.

Q, якщо П.

За умови, що Р, Q.

Q, за умови, що П.

Враховуючи, що P, Q.

Q, враховуючи, що П.

За умови, що P, Q.

Q, за умови, що П.

Коли P, то Q.

Q, коли П.

П має на увазі Q.

Q мається на увазі П.

P досить для Q.

Q необхідний для П.

Дивність англійської мови полягає в тому, що слово «only» змінює значення «якщо». Ви можете переконатися в цьому, якщо розглянути наступні два речення.

Фіфі - кішка, якщо Фіфі - ссавець.

Фіфі - кішка тільки в тому випадку, якщо Фіфі - ссавець.

Припустимо, ми знаємо, що Фіфі - це організм, але, ми не знаємо, що це за організм Фіфі. Фіфі може бути собакою, кішкою, сірим китом, сонечком, губкою. Здається зрозумілим, що перше речення не обов'язково вірно. Наприклад, якщо Фіфі - сірий кит, то це правда, що Фіфі - ссавець, але помилково, що Фіфі - кішка; і так, перше речення було б помилковим. Але друге речення виглядає так, ніби воно повинно бути правдою (враховуючи те, що ми з вами знаємо про котів і ссавців).

Таким чином, ми повинні бути обережними, щоб визнати, що «тільки якщо» не означає те ж саме, що і «якщо». (Якби це сталося, ці два речення мали б однакову істинну цінність у всіх ситуаціях.) Насправді, здається, що «тільки якщо» найкраще можна виразити умовним, де «тільки якщо» з'являється перед наслідком (пам'ятайте, що наслідком є друга частина умовного - частина, на яку вказують стрілки). Таким чином, пропозиції такої форми:

P тільки якщо Q.

Тільки якщо Q, P.

найкраще виражаються формулою

(Р → Q)

2.3 Перевірте своє розуміння умовного

Люди іноді вважають умови заплутаними. Частково це, здається, тому, що деякі люди плутають їх з іншим видом правдо-функціональної сполучної, про яку ми дізнаємося пізніше, називається «біумовним». Крім того, іноді «if... then...» вживається в англійській мові по-іншому (див. Розділ 17.7, якщо вам цікаві альтернативні можливі значення). Але відтепер будемо розбиратися в умовному, як описано вище. Щоб перевірити, чи правильно ви схопили умовне, розглянемо наступну головоломку. ^[4]

У нас є набір з чотирьох карт на малюнку 2.1. Кожна карта має таку властивість: вона має форму з одного боку, а букву з іншого боку. Ми перетасовуємо і змішуємо карти, перевертаючи деякі над, поки ми перетасувати. Потім, викладаємо чотири карти:

Малюнок 2.1

Враховуючи наше обмеження, що кожна карта має букву з одного боку і форму з іншого, ми знаємо, що карта 1 має форму на невидимій стороні; карта 2 має букву на невидимій стороні; і так далі.

Розглянемо тепер наступне твердження:

Для кожної з цих чотирьох карт, якщо карта має Q на стороні букви карти, то вона має квадрат на стороні форми карти.

Ось наша головоломка: яку мінімальну кількість карт ми повинні перевернути, щоб перевірити, чи відповідає ця претензія всім чотирьом картам; і які вони карти, які ми повинні перевернути? Звичайно, ми могли б перевернути їх все, але головоломка просить вас ідентифікувати всі і тільки карти, які перевірять претензію.

Перестаньте читати зараз, і подивіться, чи зможете ви визначитися з відповіддю. Будьте попереджені, люди взагалі погано виконують цю головоломку. Подумайте про це деякий час. Відповідь наведено нижче в задачі 1.

2.4 Альтернативні символізації для умовного

Деякі логічні книги та деякі логіки використовують альтернативні символізації для різних істинно-функціональних зв'язків. Значення (тобто таблиці істинності) завжди однакові, але використовуваний символ може бути різним. З цієї причини ми знайдемо час у цьому тексті, щоб коротко розпізнати альтернативні символізації.

Умовне іноді представляється наступним символом: «taLi». Таким чином, в такому випадку (P → Q) буде написано

(PQ)

2.5 Заперечення

У главі 1 ми розглянули як приклад речення,

Земля не є центром Всесвіту.

На перший погляд таке речення може здатися принципово несхожим на умовне. Він не містить двох речень, а лише одне. У реченні є «не», але воно не з'єднує два речення. Однак ми все ще можемо думати про це речення як побудоване з істинною функціональною сполучною сполучною, якщо ми готові прийняти, що це речення еквівалентно наступному реченню.

Це не так, що Земля є центром Всесвіту.

Якщо це речення еквівалентно вищенаведеному, то ми можемо розглядати «Це не так» як істинно функціональну сполучну. Традиційно це громіздке англійське словосполучення замінювати єдиним символом «¬». Тоді, змішуючи нашу логіку пропозиції з англійською, ми б мали

¬ Земля є центром Всесвіту.

І якщо ми дозволимо W бути реченням на нашій мові, яке має значення Земля є центром Всесвіту, ми б написали

¬W

Ця сполучна називається «заперечення». Його синтаксис такий: якщо Φ - це речення, то

¬ Φ

це вирок. Ми називаємо таке речення «реченням заперечення».

Семантика речення заперечення також очевидна, і дається наступною таблицею істинності.

Φ	¬ Φ
Т	F
F	Т

Заперечувати справжнє речення - це говорити неправду. Заперечувати помилкове речення - це сказати щось правдиве.

Наш синтаксис завжди є рекурсивним. Це означає, що синтаксичні правила можуть застосовуватися неодноразово, до продукту правила. Іншими словами, наш синтаксис говорить нам, що якщо P є реченням, то ¬P - це речення. Але тепер зауважте, що знову діє те саме правило: якщо ¬П — це речення, то ¬¬П — це речення. І так далі. Аналогічно, якщо P і Q є реченнями, синтаксис умовного говорить нам, що (P→Q) є реченням. Але тоді так і ¬ (P → Q), і так є (¬ (P→Q) → (P→Q)). І так далі. Якщо у нас є лише одне атомне речення, наш рекурсивний синтаксис дозволить нам формувати нескінченно багато різних речень із запереченням та умовним.

2.6 Альтернативні символізації заперечення

Деякі тексти можуть використовувати «~» для заперечення. Таким чином, ¬P виражається з

~П

2.7 Проблеми

1. Відповідь на нашу карткову гру була: потрібно тільки перевернути карти 3 і 4. Це може здатися заплутаним для багатьох людей спочатку. Але пам'ятайте значення умовного: воно може бути помилковим тільки в тому випадку, якщо перша частина істинна, а друга - помилкова. Речення, яке ми хочемо перевірити, є «Для кожної з цих чотирьох карт, якщо карта має Q на буквеній стороні картки, то вона має квадрат на стороні форми картки». Нехай Q позначає «карта має Q на буквеній стороні картки». Нехай S означає «карта має квадрат на стороні форми картки». Тоді ми могли б скласти таблицю правди, щоб висловити значення перевіряється претензії:

   Q	S	(Q → S)
   Т	Т	Т
   Т	F	F
   F	Т	Т
   F	F	Т

   Озирніться назад на карти. Перша карта має R на стороні букви. Отже, речення Q є помилковим. Але тоді ми знаходимося в ситуації, як останні два рядки таблиці істинності, і умовний не може бути помилковим. Нам не потрібно перевіряти цю карту. Друга карта має квадрат на ньому. Це означає, що S вірно для цієї карти. Але тоді ми опиняємося в ситуації, представленої або першим, або третім рядком таблиці істинності. Знову ж таки, твердження про те, що (Q→S) не може бути помилковим у будь-якому випадку щодо цієї картки, тому немає сенсу перевіряти цю карту. Третя карта показує Q. Це відповідає ситуації, яка схожа на перший або другий рядок таблиці істинності. Тоді ми не можемо сказати, чи є (Q→S) істинним чи хибним цієї картки, не перевертаючи карту. Аналогічно, остання карта показує ситуацію, коли S є помилковим, тому ми знаходимося в певній ситуації, представленої або другим, або останнім рядком таблиці істинності. Ми повинні перевернути картку, щоб визначити, чи є (Q→S) істинним чи хибним для цієї картки.

   Спробуйте цю головоломку ще раз. Розглянемо наступне твердження щодо тих самих чотирьох карт: Якщо на стороні форми картки є зірка, то на стороні букви карти є R. Яку мінімальну кількість карт ви повинні перевернути, щоб перевірити цю претензію? Які вони карти?

2. Розглянемо наступні чотири карти на малюнку 2.2. Кожна карта має букву з одного боку, а фігуру з іншого боку.

Малюнок 2.2

Для кожної з наступних претензій, щоб визначити, чи відповідає вимога всім чотирьом карткам, опишіть (1) Мінімальна кількість карт, які ви повинні перевернути, щоб перевірити претензію, і (2) які ці картки.

1. На літерній стороні картки немає букви Q.
2. На стороні форми картки немає восьмикутника.
3. Якщо на стороні форми картки є трикутник, то на буквеній стороні картки є P.
4. На літерній стороні картки є R, лише якщо на стороні форми картки є ромб.
5. На стороні форми картки є шестикутник, за умови, що на буквеній стороні картки є P.
6. На стороні форми картки є ромб, лише якщо на буквеній стороні картки є P.

3. Які з перерахованих нижче мають правильний синтаксис? Які мають неправильний синтаксис?

1. П → Q
2. ¬ (Р → Q)
3. (¬ П → Q)
4. (Р ¬→ Q)
5. (Р →¬ Q)

4. Використовуйте наступний ключ перекладу, щоб перевести наступні речення в логіку пропозиції.

Ключ перекладу
Логіка	Англійська мова
П	Абе вміє.
Q	Абе чесний.

1. Якщо Абе чесний, Абе здатний.
2. Абе не в змозі.
3. Абе не в змозі тільки в тому випадку, якщо Абе не чесний.
4. Абе здатний, за умови, що Абе не чесний.
5. Якщо Абе не в змозі, то Абе не чесний.

5. Складіть свій власний ключ перекладу, щоб перевести наступні речення в логіку пропозиції. Потім використовуйте свій ключ, щоб перевести речення в логіку пропозиції. Ваш ключ перекладу повинен містити лише атомні речення. Це повинні бути всі і лише атомні речення, необхідні для перекладу наступних речень англійською мовою. Не дозволяйте вам турбувати, що деякі речення повинні бути помилковими.

1. Джозі - кішка.
2. Джозі - ссавець.
3. Джозі не ссавець.
4. Якщо Джозі не кішка, то Джозі не ссавець.
5. Джозі - риба.
6. За умови, що Джозі - ссавець, Джозі - не риба.
7. Джозі - кішка тільки в тому випадку, якщо Джозі - ссавець.
8. Джозі - риба тільки в тому випадку, якщо Джозі не ссавець.
9. Справа не в тому, що Джозі не ссавець.
10. Джозі не кішка, якщо Джозі - риба.

6. Ця проблема буде використовувати принцип, що наш синтаксис є рекурсивним. Перекласти ці речення складніше. Складіть свій власний ключ перекладу, щоб перевести наступні речення в логіку пропозиції. Ваш ключ перекладу повинен містити тільки atomic речення; вони повинні бути всі, і тільки атомні речення, необхідні для перекладу наступних речень англійської мови.

1. Це не той випадок, що Том не здасть іспит.
2. Якщо Том навчиться, Том здасть іспит.
3. Це не так, що якщо Том навчиться, то Том здасть іспит.
4. Якщо Том не навчатиметься, то Том не здасть іспит.
5. Якщо Том навчиться, Том здасть іспит за умови, що він вчасно прокинеться.
6. Якщо Том здасть іспит, то якщо Стів навчиться, Стів здасть іспит.
7. Справа не в тому, що якщо Том здасть іспит, то якщо Стів навчиться, Стів здасть іспит.
8. Якщо Том не здасть іспит, то якщо Стів навчиться, Стів здасть іспит.
9. Якщо Том не здасть іспит, то справа не в тому, що якщо Стів навчиться, Стів здасть іспит.
10. Якщо Том не здасть іспит, то якщо Стів не навчиться, Стів не здасть іспит.

7. Складіть свій власний ключ перекладу, щоб перевести наступні пропозиції на англійську мову. Випишіть англійські еквіваленти в англійських реченнях, які здаються (наскільки це можливо) природними.

1. (R → S)
2. ¬¬ Р
3. (S → R)
4. (¬ S →¬ R)
5. ¬ (R → S)

---

[3] Одна річ трохи смішно про цей другий приклад з невідомим номером a. Ми не зможемо знайти число, яке рівномірно ділиться на 4 і не рівномірно ділиться на 2, тому світ ніколи не буде таким, як описує другий рядок цієї таблиці істинності. Про це потрібно сказати дві речі. По-перше, ця дивавість виникає через математичні факти, а не факти нашої пропозіційної логіки - тобто нам потрібно знати, що означає «ділиться», що означають «4» і «2» і так далі, щоб зрозуміти речення. Отже, коли ми бачимо, що другий ряд неможливий, ми базуємо це на наших знаннях математики, а не на знаннях логіки пропозицій. По-друге, деякі умовні можуть бути помилковими. Визначаючи умовне, нам потрібно враховувати всі можливі умовні умови; отже, ми повинні визначити умовний для будь-якого випадку, коли попереднє є істинним, а наслідком є хибним, навіть якщо цього не може статися для цього конкретного прикладу.