1.6: Умовні похідні

6. умовні похідні

6.1 Аргумент від Гоббса

У своїй великій праці Левіафан, філософ Томас Гоббс (1588-1679) наводить важливий аргумент для уряду. Гоббс починає з стверджуючи, що без спільної сили наш стан дійсно дуже бідний. Він називає цю державу без уряду, «державою природи», і стверджує

Цим виявляється, що в той час, коли люди живуть без спільної сили тримати їх усіх в страху, вони перебувають у тому стані, який називається війною; і така війна, як кожна людина проти кожної людини... У такому стані немає місця для промисловості, тому що плоди її невизначені: і, отже, немає культури землі; ні навігації, ні використання товарів, які можуть бути імпортовані морем; немає корисного будівництва; ніяких інструментів переміщення та видалення таких речей, які вимагають великої сили; немає знань лиця землі; немає рахунку часу; немає мистецтв; немає листів; немає суспільства; і що найгірше, постійний страх і небезпека насильницької смерті; і життя людини, одиночне, бідне, противне, жорстоке і коротке. ^[8]

Гоббс розробив те, що іноді називають «теорією контрактів». Це погляд уряду, в якому розглядається держава як продукт раціонального контракту. Хоча ми успадковуємо наш уряд, ідея полягає в тому, що в якомусь сенсі ми вважаємо раціональним вибрати уряд, якби ми коли-небудь в змозі це зробити. Так, в проходженні вище Гоббс стверджує, що в такому стані природи ми маємо абсолютну свободу, але це призводить до загальної боротьби між усіма людьми. Майна бути не може, наприклад, якщо немає повноважень на забезпечення права власності. Ви вільні брати чужі речі, але вони також вільні брати ваші. Відбити таку крадіжку може тільки насильство. Але загальна влада, як король, може виконувати правила, такі як права власності. Щоб мати цю спільну владу, ми повинні відмовитися від деяких свобод. Ви (або повинні бути, якщо це коли-небудь було до вас) готові відмовитися від цих свобод через переваги, які ви отримуєте від цього. Наприклад, ви готові відмовитися від свободи просто захопити товари людей, адже вам подобається ще більше, що інші люди не можуть захопити ваш товар.

Ми можемо реконструювати захист уряду Гоббса, значно спрощену, як щось подібне:

Якщо ми хочемо бути в безпеці, то у нас повинна бути держава, яка може захистити нас.

Якщо у нас повинна бути держава, яка може захистити нас, то ми повинні відмовитися від деяких свобод.

Тому, якщо ми хочемо бути в безпеці, то слід відмовитися від деяких свобод.

Давайте скористаємося наступним ключем перекладу.

П: Ми хочемо бути в безпеці.

З: У нас повинна бути держава, яка може захистити нас.

Р: Ми повинні відмовитися від деяких свобод.

Аргумент в нашій логічній мові тоді буде:

(Р → Q)

(Q→R)

_____

(Р → Р)

Це вагомий аргумент. Давайте знайдемо час, щоб показати це таблицею правди.

			приміщення	приміщення	висновок
П	Q	R	(Р → Q)	(Q→R)	(Р → Р)
Т	Т	Т	Т	Т	Т
Т	Т	F	Т	F	F
Т	F	Т	F	Т	Т
Т	F	F	F	Т	F
F	Т	Т	Т	Т	Т
F	Т	F	Т	F	Т
F	F	Т	Т	Т	Т
F	F	F	Т	Т	Т

Ряди, в яких справжні всі приміщення, - це перший, п'ятий, сьомий і восьмий ряди. Зверніть увагу, що в кожному такому ряду висновок вірний. Таким чином, в будь-якій ситуації, коли приміщення вірні, висновок вірний. Це наша семантика для вагомого аргументу.

Який синтаксичний метод ми можемо використовувати, щоб довести, що цей аргумент є дійсним? Зараз у нас немає жодного. Окрім подвійного заперечення, ми навіть не можемо застосувати жодне з наших правил висновку, використовуючи ці приміщення.

Деякі логічні системи вводять правило для захоплення цього висновку; це правило зазвичай називається «правилом ланцюга». Але тут поставлений більш загальний принцип: нам потрібен спосіб показати умовні. Таким чином, ми хочемо взяти інший підхід до показу цього аргументу є дійсним.

6.2 Умовна деривація

Як зручне правило, ми можемо думати про правила висновку як надання способу або показати свого роду речення, або використовувати свого роду речення. Наприклад, примикання дозволяє нам показати кон'юнкцію. Спрощення дозволяє нам використовувати кон'юнкцію. Але цей шаблон не є повним: у нас є правила для використання умовного (modus ponens та modus tollens), але немає правила для показу умовного.

Ми хочемо мати деякі засоби для доведення умовного, тому що іноді аргумент буде мати умовний як висновок. Однак незрозуміло, яке правило нам слід ввести. Умовне є істинним, коли попередник є хибним, або якщо істинні і попередні, і наслідки. Це досить брудна справа для прийняття правила висновку.

Однак подумайте, що стверджує умовний: якщо попередник істинний, то наслідок істинний. Ми можемо використовувати цю ідею не з правилом висновку, а скоріше в самій структурі доказу. Ми трактуємо доказ як втілення умовного зв'язку.

Наша ідея така: припустимо якесь речення, Φ. Якщо ми зможемо потім довести інше речення ψ, ми довели, що якщо Φ істинно, то ψ є істинним. Таким чином, конструкція доказування матиме таку форму:

\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ phi}} {\ ellipsesline\\ pline {\ psi}\ fpline {(\ phi\ lif\ psi)}\]» клас = "ql-img-відображується-рівняння швидкого латексу автоформату» висота = "139" назва = "віддається QuickLatex.com» ширина ="9" 2 «срк =» https://human.libretexts.org/@api/de...tex.com-f44d62 b347166c1ab081e704d08c5c4c_l3.png "/>

Останній рядок доказу виправдовується формою доказу: припускаючи, що Φ є істинним, а потім використовуючи наші правила висновку для доведення ψ, ми знаємо, що якщо Φ істинно, то ψ є істинним. І це якраз те, що стверджує умовний.

Цей метод іноді називають застосуванням теореми дедукції. У главі 17 ми доведемо теорему вирахування. Тут, натомість, ми будемо розглядати це як метод доказу, який традиційно називають «умовною деривацією».

Умовна деривація схожа на пряму деривацію, але з двома відмінностями. По-перше, разом з приміщеннями, ви отримуєте єдине спеціальне припущення, зване «припущенням для умовного виведення». По-друге, ви не прагнете показати свій висновок, а скоріше наслідок вашого висновку. Отже, щоб показати (Φ→ψ) ви завжди будете вважати Φ і намагатися показати ψ. Також в нашій логічній системі умовне деривація завжди буде піддоказом. Доказ є доказом в межах іншого доказу. Ми завжди починаємо з прямого доказу, а потім робимо умовне доказ в межах цього прямого доказу.

Ось як ми б застосували метод доказування, щоб довести достовірність аргументу Гоббса, як ми реконструювали його вище.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ lif Q)} [приміщення]\\ pline [2.] {(Q\ lif R))} [приміщення]\\} {\ підзахисний {\ pline [3.] {P} [припущення для умовного деривації]} {\ pline [4] {Q} [modus ponens, 1, 3]\\ pline [5] {R} [режим поненса, 2, 4]}\ pline [6.] {(P\ lif R)} [умовне похідне, 3-5]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «183" title="Відображено QuickLatex.com» width="653" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...730ae3e_l3.png "/>

Наші бари Fitch дають зрозуміти, що тут є суб-доказом; вони дозволяють нам бачити це як пряме виведення з умовним виведенням, вбудованим у нього. Це важлива концепція: ми можемо мати докази в межах доказів.

Важливим принципом є те, що після того, як буде зроблено доказ, ми не можемо використовувати жодну з ліній в піддоказ. Нам потрібне це правило, тому що умовна деривація дозволила нам зробити особливе припущення, яке ми використовуємо лише тимчасово. Вище ми припустили П. Наша мета полягає лише в тому, щоб показати, що якщо P істинний, то R є істинним. Але, можливо, P не відповідає дійсності. Ми не хочемо пізніше використовувати P для якоїсь іншої мети. Отже, у нас є правило, що коли доказ завершений, ви не можете використовувати лінії, які відбуваються в піддоказ. У цьому випадку це означає, що ми не можемо використовувати рядки 3, 4 або 5 для будь-якої іншої мети, крім показу умовного (P → R). Тепер ми не можемо знову цитувати ці окремі рядки. Ми можемо, однак, використовувати рядок 6, висновок піддоказ.

Бари Fitch, які ми використовували раніше в наших доказах лише для того, щоб відокремити приміщення від пізніших кроків, тепер мають дуже корисне використання. Вони дозволяють нам відкласти умовну деривацію як піддоказ, і вони допомагають нагадати нам, що ми не можемо цитувати рядки в цьому піддоказ, як тільки піддоказ буде завершений.

Було б корисно навести приклад того, чому це необхідно. Тобто, може бути корисним навести приклад аргументу, зробленого недійсним, оскільки він використовує рядки в готовому піддоказі. Розглянемо наступний аргумент.

Якщо ви Папа Римський, то у вас є будинок у Ватикані.

Якщо у вас є будинок у Ватикані, то ви часто чуєте церковні дзвони.

_____

Якщо ви Папа Римський, то ви часто чуєте церковні дзвони.

Це вагомий аргумент, з тією ж формою, що і аргумент, який ми прийняли з Гоббса. Однак, якби ми порушили наше правило про умовні похідні, ми могли б довести, що ви Папа Римський. Давайте скористаємося цим ключем:

С: Ти Папа.

Т: У вас є будинок у Ватикані.

У: Ви часто чуєте церковні дзвони.

Тепер розглянемо це «доказ»:

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(S\ lif T)} [приміщення]\\ pline [2.] {(T\ lif U))} [приміщення]\\} {\ підзахисний {\ pline [3.] {S} [припущення для умовного деривації]} {\ pline [4] {T} [modus ponens, 1, 3]\\ pline [5] {U} [режим поненса, 2, 4]}\ pline [6.] {(S\ lif U)} [умовне деривація, 3-5]\\ pline [7.] {S} [повторити, 3]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «205" title="Відображено QuickLatex.com» width="653" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...67914e5_l3.png "/>

І, таким чином, ми довели, що ви Папа Римський. Але, звичайно, ви не Папа Римський. З істинних передумов ми закінчилися помилковим висновком, тому аргумент явно недійсний. Що пішло не так? Проблема полягала в тому, що після того, як ми завершили умовну деривацію, яка відбувається в рядках з 3 по 5, і використовували цю умовну деривацію, щоб стверджувати рядок 6, ми більше не можемо використовувати ці рядки 3 по 5. Але на лінії 7 ми використовували рядок 3. Рядок 3 - це не те, що ми знаємо, щоб бути правдою; наші міркування з рядків 3 через рядок 5 полягали в тому, щоб запитати, якби S були правдою, що ще було б правдою? Коли ми закінчимо з цією умовною деривацією, ми можемо використовувати лише умовний, який ми вивели, а не кроки, що використовуються в умовній деривації.

6.3 Деякі додаткові приклади

Ось кілька видів аргументів, які допомагають проілюструвати силу умовного деривації.

Цей аргумент використовує сполучники.

(Р → Q)

(R → S)

_____

((P^R) → (Q ^ S))

Ми завжди починаємо з побудови прямого доказу, використовуючи бар Fitch для ідентифікації приміщень нашого аргументу, якщо такі є.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ lif Q)} [приміщення]\\ pline [2.] {(R\ lif S)} [приміщення]\\} {}\]» клас = "ql-img-відображається-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «99" title="Відображено QuickLatex.com» width="422" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...a70a51a_l3.png "/>

Оскільки висновок є умовним, ми припускаємо попереднє і показуємо наслідок.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ lif Q)} [приміщення]\\ pline [2.] {(R\ lif S)} [приміщення]\\} {\ незахищений {\ pline [3.] {(P\ land R)} [припущення для умовного деривації]} {\ pline [4] {P} [спрощення, 3]\\ pline [5.] {Q} [режим роботи, 1, 4]\\\ pline [6] {R} [спрощення, 3]\\\ pline [7.] {S} [режим поненса, 2, 6]\\\ pline [8.] {(Q\ земля S)} [примикання, 5, 7]}\ рядок [9.] {((P\ land R)\ lif (Q\ земля S))} [умовне деривація, 3-8]}\]» клас = «ql-img-відображається-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота ="249" назва = «Відображено QuickLatex.com» width="653" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...d70f788_l3.png "/>

Ось ще один приклад. Зверніть увагу, що наступний аргумент є дійсним.

(Р → (S → R)

(Р → (Q → S)

_____

(Р → (Q → R)

Доказ зажадає декількох вбудованих підрозетників.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ lif (S\ lif R))} [передумова]\\ pline [2.] {(P\ lif (Q\ lif S))} [приміщення]\\} {\ підзахисний {\ pline [3] {P} [припущення для умовного деривації]} {\ subproof {\ pline [4.] {Q} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [5.] {(Q\ lif S)} [режим роботи, 2, 3]\\\ pline [6.] {S} [режим поненса, 5, 4]\\\ pline [7.] {(S\ lif R)} [режим поненса, 1, 3]\\\ pline [8.] {R} [режим поненса, 7, 6]}\ pline [9.] {(Q\ lif R)} [умовне похідне, 4-8]}\ рядок [10]. {(P\ lif (Q\ lif R))} [умовне деривація, 3-9]}\]» клас = «ql-img-відображається-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «289" назва ="Відображено QuickLatex.com» width="654" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...02f0c78_l3.png "/>

6.4 Теореми

Умовне виведення дозволяє побачити важливе нове поняття. Розглянемо наступне речення:

((Р → Q) → (¬Q → ¬P)

Це речення є тавтологією. Щоб перевірити це, ми можемо скласти його таблицю істинності.

П	Q	¬Q	¬П	(Р → Q)	(¬Q→¬P)	((Р → Q) → (¬Q → ¬P)
Т	Т	F	F	Т	Т	Т
Т	F	Т	F	F	F	Т
F	Т	F	Т	Т	Т	Т
F	F	Т	Т	Т	Т	Т

Це речення вірно в будь-якій ситуації, саме це ми маємо на увазі під «тавтологією».

Тепер поміркуємо над нашим визначенням «дійсний»: обов'язково, якщо приміщення вірні, то висновок вірний. Як щодо аргументу, в якому висновок є тавтологією? За нашим визначенням «дійсний», аргумент з висновком, який повинен бути істинним, повинен бути вагомим аргументом - незалежно від того, якими є приміщення! (Якщо це вас бентежить, озирніться назад на таблицю істини для умовного. Наше визначення дійсного включає в себе умовне: якщо приміщення істинні, то висновок вірний. Припустимо, тепер наш висновок повинен бути вірним. Будь-який умовний з істинним наслідком є істинним. Тож визначення «дійсний» має бути вірним для будь-якого аргументу з тавтологією як висновком.) І, з огляду на це, здавалося б, неважливо, чи є у нас взагалі будь-яке приміщення, так як підійде будь-яке. Це говорить про те, що можуть бути вагомі аргументи без приміщень.

Умовна деривація дозволяє реально побудувати такі аргументи. По-перше, ми намалюємо наш Fitch бар для нашого головного аргументу, щоб вказати, що у нас немає приміщень. Потім ми побудуємо умовну деривацію. Вона почнеться так:

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ лінія [1.] {(P\ lif Q)} [припущення для умовного похідного]} {}}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «117" title="Відображено QuickLatex.com» width="652" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...93cd27a_l3.png "/>

Але що тепер? Ну, ми припустили попередню частину нашого речення, і ми повинні прагнути зараз показати наслідок. Але врахуйте, що наслідком є умовним. Отже, ми знову зробимо умовну деривацію.

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ лінія [1.] {(P\ lif Q)} [припущення для умовного похідного]} {\ subproof {\ pline [2.] {\ not Q} [припущення для умовного похідного]} {\ рядок [3]. {\ not P} [модуль доповнення, 1, 2]\\}\ рядок [4] {(\ not Q\ lif\ not P)} [умовне похідне, 2-3]}\ рядок [5]. {(P\ lif Q)\ lif (\ lnot Q\ lif\ lnot P))} [умовне деривація, 1-4]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота ="201" title="Відображено QuickLatex.com» width="654" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...0e4bbed_l3.png» />

Це доказ, без приміщень, ((P→Q) → (¬Q→¬P)). У верхній частині доказу видно, що у нас немає приміщень. Наш висновок умовний, тому на рядку 1 ми припустили попередню частину умовного. Тепер ми повинні показати наслідок умовного; але наслідок умовного також є умовним, тому ми припустили його попередник на рядку 2. Рядок 4 - результат умовного виведення з рядків 2 по 3. Рядки з 1 по 4 говорять нам, що якщо (P → Q) істинно, то (¬Q→¬P) є істинним. І це те, що ми робимо висновок на рядку 5.

Речення, яке можна довести без передумов, називаємо «теоремою». Теореми особливі, оскільки вони розкривають речі, які випливають лише з логіки. Це дуже велика перевага нашої логіки пропозиції, що всі теореми є тавтологіями. Не менш великою перевагою нашої логіки пропозиції є те, що всі тавтології є теоремами. Тим не менш, ці поняття різні. «Тавтологія» відноситься до смислового поняття: тавтологія - це речення, яке повинно бути істинним. «Теорема» відноситься до поняття синтаксису та деривації: теорема - це речення, яке можна вивести без передумов.

Теорема: речення, яке можна довести без передумов.

Тавтологія: речення логіки пропозиції, яке повинно бути істинним.

6.5 Проблеми

1. Доведіть, що наступні аргументи є дійсними. Для цього буде потрібно умовне виведення.
   1. Передумова: (Р → Q), (S → R). Висновок: ((¬Q ^ ¬R) → (¬P ^ ¬S).
   2. Передумова: (P → Q). Висновок: ((Р ^ R) → Q).
   3. Передумова: ((R^Q) → S), (¬P → (R^Q)). Висновок: (¬S → P).
   4. Передумова: (P → ¬Q). Висновок: (Q → ¬P).
   5. Приміщення: (П → Q), (П → Р). Висновок: (Р → (Q^R)).
   6. Приміщення: (Р → (Q → R)), Q. Висновок: (Р → Р).
2. Доведіть наступні теореми.
   1. (Р → П).
   2. ((Р → Q) → ((R → P) → (R → Q)).
   3. ((Р → (Q → R)) → ((Р → Q) → (Р → R)).
   4. ((¬П → Q) → (¬Q → Р)).
   5. (((Р → Q) ^ (Р → R)) → (Р → (Q ^ R)).
3. Складіть таблицю істинності для кожного з наступних складних речень, щоб побачити, коли вона істинна чи хибна. Визначте, які тавтології. Доведіть тавтології.
   1. ((Р → Q) → Q).
   2. (Р → (Р → Q)).
   3. (Р → (Q → P)).
   4. (П → ¬П).
   5. (П → ¬¬П).
4. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент щонайменше з двома передумовами і з висновком, який є умовним. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає як формальна логіка). Переведіть його в логіку пропозиції і доведіть, що вона дійсна.

---

[8] Гоббс (1886:64).