1.1: Розробка точної мови

1. Розробка точної мови

1.1 Починаючи з речень

Ми починаємо вивчення логіки з побудови точного логічного мови. Це дозволить нам зробити принаймні дві речі: по-перше, сказати деякі речі точніше, ніж ми могли б зробити інакше; по-друге, вивчити міркування. Ми будемо використовувати природну мову - англійську - як наш посібник, але наша логічна мова буде набагато простішою, набагато слабшою, але більш суворою, ніж англійська.

Треба вирішити, з чого почати. Ми могли б вибрати майже будь-яку частину англійської мови, щоб спробувати наслідувати: імена, прикметники, прийменники, загальні іменники тощо. Але він традиційний, і як ми побачимо, досить зручно, щоб почати з цілих пропозицій. З цієї причини перша мова, яку ми будемо розвивати, називається «логікою пропозиції». Його також іноді називають «логікою речення» або навіть «обчисленням речень». Всі вони означають одне і те ж: логіку пропозицій. У цій логіці пропозиції найменшими незалежними частинами мови є речення (по всій цій книзі я буду вважати, що речення та пропозиції - це одне і те ж саме в нашій логіці, і я буду використовувати терміни «речення» та «пропозиція» взаємозамінно).

Існує, звичайно, багато видів речень. Щоб взяти приклади з нашої природної мови, до них відносяться:

О котрій година?

Відкрийте вікно.

Чорт тобі!

Обіцяю вам заплатити.

26 червня 2015 року в Центральному парку йшов дощ.

Ми могли б помножити такі приклади. Речення англійською мовою можна використовувати для того, щоб задавати питання, давати команди, проклинати чи образи, формувати контракти та висловлювати емоції. Але останній приклад вище представляє особливий інтерес, оскільки він спрямований на опис світу. Такі речення, які іноді називають «декларативними реченнями», будуть нашими модельними реченнями для нашої логічної мови. Ми знаємо декларативне речення, коли ми стикаємося з ним, тому що воно може бути як істинним, так і помилковим.

1.2 Точність у реченнях

Ми хочемо, щоб наша логіка декларативних речень була точною. Але що це означає? Ми можемо допомогти пояснити, як ми можемо продовжувати це, розглядаючи речення природною мовою, які викликають подив, мабуть, тому, що вони не точні. Ось три.

Том начебто високий.

Коли у Карен народилася дитина, мати дала їй ручку.

Це речення неправдиве.

Ми вже спостерігали, що важливою особливістю наших декларативних пропозицій є те, що вони можуть бути істинними або помилковими. Ми називаємо це «істинною цінністю» речення. Ці три речення викликають подив, оскільки їхні істинні цінності незрозумілі. Перше речення розпливчасте, незрозуміло, за яких умов воно було б істинним, і за яких умов воно було б помилковим. Якщо Том зріст шість футів, він такий зріст? Однозначної відповіді немає. Друге речення неоднозначне. Якщо «ручка» означає письмовий реалізацію, а мама Карен купила для малюка манеж, то вирок помилковий. Але поки ми не знаємо, що означає «ручка» в цьому реченні, ми не можемо сказати, чи є речення істинним.

Третє речення дивне. Багато логіків витратили багато років на вивчення цієї пропозиції, яке традиційно називають «брехуном». Це пов'язано зі старим парадоксом про критця, який сказав: «Всі критяни - брехуни». Дивна річ про брехуна полягає в тому, що його істинна цінність, здається, вибухає. Якщо він істинний, то він хибний. Якщо він хибний, то це правда. Деякі філософи вважають, що це речення не є ні правдивим, ні помилковим; деякі філософи вважають, що це і правда, і помилково. У будь-якому випадку це збиває з пантелику. Як речення, схоже на декларативне речення, може мати як істинне значення?

З давніх часів філософи вірили, що ми обдуримо себе, і прийдемо вірити в неправду, якщо ми не приймемо принцип, який іноді називають «бівалентністю», або спорідненого принципу під назвою «принцип непротиріччя». Бівалентність - це думка, що існує лише дві істинні цінності (істинні та хибні) і що вони виключають один одного. Принцип непротиріччя говорить, що ви допустили помилку, якщо ви обидва стверджуєте і відмовляєте претензію. Той чи інший з цих принципів, здається, порушений брехуном.

Ми можемо взяти ці спостереження для нашого керівництва: ми хочемо, щоб наша мова не мала невизначеності та неоднозначності. У нашій логіці пропозицій це означає, що ми хочемо, щоб це було так, що кожне речення є істинним або хибним. Це не буде справжнім, або частково вірним, або вірним з однієї точки зору і неправдою з іншого. Ми також хочемо уникати таких речей, як брехун. Нам не потрібно домовлятися про те, чи брехун є і істинним, і хибним, або ні істинним, ні помилковим. Або було б нещасним. Отже, уточнимо, що наші пропозиції не мають ні пороку.

Ми можемо сформулювати власний переглянутий варіант принципу бівалентності, який говорить про те, що:

Принцип бівалентності: Кожне речення нашої мови має бути або істинним, або помилковим, а не обидва, ні ні.

Ця вимога може здатися тривіальною, але насправді вона обмежує те, що ми робимо відтепер цікавими і навіть дивовижними способами. Навіть коли пізніше ми будуємо більш складні логічні мови, цей принцип буде основоположним.

Деякі читачі можуть замислюватися: а що робити, якщо я відкидаю бівалентність, або принцип непротиріччя? Існує довга лінія філософів, які хотіли б посперечатися з вами, і пропонують, що будь-який крок був би помилкою, а можливо, навіть незв'язним. Відкладіть ці аргументи в сторону. Якщо у вас є сумніви в бівалентності, або принципі непротиріччя, дотримуйтеся логіки. Це тому, що ми могли б розвинути логіку, в якій було більше двох істинних цінностей. Була створена та вивчена логіка, в якій ми допускаємо три цінності істини, або постійні цінності істини, або чужі можливості. Питання для нас полягає в тому, що ми повинні десь почати, і принцип бівалентності є інтуїтивним способом і, здавалося б, найпростішим способом почати стосовно істинних цінностей. Спочатку вивчіть базову логіку, а потім ви можете вивчити ці альтернативи.

Це вказує нам на важливу рису, а можливо, і таємницю логіки. Частково те, що нам показує логічна мова, - це наслідки наших припущень. Це може здатися тривіальним, але, насправді, це нічого, крім. З дуже простих припущень ми відкриємо для себе нові, і в кінцевому підсумку шокуючі, факти. Отже, якщо хтось хоче вивчити логічну мову, де ми відкидаємо принцип бівалентності, вони можуть це зробити. Різниця між тим, що вони роблять, і тим, що ми будемо робити в наступних розділах, полягає в тому, що вони виявлять наслідки відмови від принципу бівалентності, тоді як ми виявимо наслідки його дотримання. У будь-якому випадку було б розумно спочатку вивчити традиційну логіку, перш ніж намагатися вивчити або розробити альтернативну логіку.

На цьому етапі слід зазначити, що ми не збираємось намагатися пояснити, що означають «правда» та «помилково», крім того, щоб сказати, що «помилковий» означає неправда. Коли ми додаємо щось до своєї мови, не пояснюючи його значення, ми називаємо це «примітивним». Філософи зробили багато, щоб спробувати зрозуміти, що таке правда, але залишається досить важко визначити істину будь-яким способом, який не є суперечливим. На щастя, прийняття істинного як примітиву не втягне нас у біду, і, здається, навряд чи зробить логіку загадковою. Ми всі маємо певне розуміння того, що означає «істинний», і цього розуміння буде достатньо для нашого розвитку логіки пропозиції.

1.3 Атомні речення

Наша мова буде стосуватися декларативних речень, речень, які є істинними або хибними, ніколи не обидва, і ніколи ні. Ось кілька прикладів речень.

2+2=4.

Малкольм Літтл високий.

Якщо Лінкольн виграє вибори, то Лінкольн буде президентом.

Земля не є центром Всесвіту.

Це все декларативні речення. Все це, здається, задовольняє нашому принципу бівалентності. Але розрізняються вони важливими способами. Перші два речення не мають речень як частини. Наприклад, спробуйте розбити перше речення. «2+2» - функція. «4» - це ім'я. «=4» - це безглуздий фрагмент, як і «2+». Тільки весь вираз «2+2=4» - це речення з істинним значенням. Друге речення схоже в цьому плані. «Малкольм Літтл» - це ім'я. «високий» - це прикметникова фраза (пізніше ми виявимо, що логіки називають це «присудком»). «Малкольм Літл є» або «високий» - це фрагменти, вони не мають істинної цінності. ^[2] Тільки «Малкольм Маленький високий» - це повне речення.

Перші два приклади речень вище є різновидом, який ми називаємо «атомними реченнями». Слово «атом» походить від давньогрецького слова «atomos», що означає не можна вирізати. Коли стародавні греки міркували про матерію, наприклад, деякі з них вважали, що якщо взяти якусь речовину, скажімо скелю, і розрізати її на шматки, то розрізати шматочки на шматки і так далі, в кінцевому підсумку ви потрапите до чогось, що не можна було б розрізати. Це було б найменшою можливою річчю. (Той факт, що ми зараз говоримо про «розщеплення атома», просто показує, що ми змінили значення слова «атом». Ми прийшли використовувати його як назву для певного виду речей, які потім виявилися частинами, такими як електрони, протони та нейтрони.) У логіці ідея атомного речення - це речення, яке не може мати частин, які є реченнями.

Міркуючи про ці атомні речення, ми могли б продовжувати використовувати англійську мову. Але з причин, які стають зрозумілими, коли ми продовжуємо, є багато переваг придумати власний спосіб написання наших речень. Традиційно в логіці використовувати великі літери від P на (P, Q, R, S...), щоб стояти для атомних речень. Таким чином, замість того, щоб писати

Малкольм Літтл високий.

Ми могли б написати

П

Якщо ми хочемо знати, як перевести P на англійську мову, ми можемо надати ключ перекладу. Аналогічно замість того, щоб писати

Малкольм Літтл - великий оратор.

Ми могли б написати

Q

І так далі. Звичайно, написане таким чином, все, що ми можемо бачити про таке речення, це те, що це речення, і що, можливо, P і Q - це різні речення. Але наразі їх буде достатньо.

Зверніть увагу, що не всі речення є атомними. Третє речення в наших чотирьох прикладах вище містить частини, які є реченнями. Він містить атомний речення «Лінкольн виграє вибори», а також атомний речення «Лінкольн буде президентом». Ми могли б представляти все це речення однією літерою. Тобто ми могли б дозволити

Якщо Лінкольн переможе на виборах, Лінкольн буде президентом.

бути представленими в нашій логічній мові

S

Однак це мало б недолік, що воно приховало б деякі речення, що знаходяться всередині цього речення, а також приховало б їхні стосунки. Наша мова розповіла б нам більше, якби ми могли захопити зв'язок між частинами цього речення, замість того, щоб приховувати їх. Ми зробимо це в розділі 2.

1.4 Синтаксис і семантика

Важливим і корисним принципом розуміння мови є різниця між синтаксисом і семантикою. «Синтаксис» відноситься до «форми» виразу в нашій мові. Це не стосується себе того, що означають елементи мови, а просто вказує, як їх можна виписати.

Ми можемо зробити подібне розмежування (хоча і не зовсім однакове) природною мовою. Цей вираз в англійській мові має невизначене значення, але воно має правильну «форму», щоб бути реченням:

Безбарвні зелені ідеї шалено сплять.

Іншими словами, в англійській мові це речення синтаксично коректно, хоча може виражати якусь смислову помилку.

Вираз, зроблений з частин нашої мови, повинен мати правильний синтаксис, щоб він був реченням. Іноді ми також називаємо вираз з правильною синтаксичною формою «добре сформованою формулою».

Ми контрастуємо синтаксис з семантикою. «Семантика» відноситься до значення вираження нашої мови. Семантика залежить від відношення цього елемента мови до чогось іншого. Наприклад, істинне значення речення «Земля має один місяць» залежить не від англійської мови, а від чогось зовнішнього мови. Оскільки самостійними елементами нашої пропозіційної логіки є пропозиції, і найважливішою властивістю їх є їх істинна цінність, єдиною смисловою особливістю пропозицій, яка буде стосуватися нас в нашій пропозіціонной логіці, є їх істинна цінність.

Щоразу, коли ми вводимо новий елемент у логіку пропозиції, ми вкажемо його синтаксис та семантику. У логіці пропозиції синтаксис взагалі тривіальний, але семантика менше. Ми поки що ввели атомні речення. Синтаксис атомного речення тривіальний. Якщо P - атомарне речення, то записати синтаксично правильно

П

Говорячи, що це синтаксично правильно, ми не говоримо, що P є істинним. Швидше, ми говоримо, що P - це вирок.

Якщо семантика в пропозіційній логіці стосується тільки значення істинності, то ми знаємо, що існує лише два можливих смислових значення для P; воно може бути як істинним, так і хибним. У нас є спосіб написання цього, який згодом виявиться корисним. Називається вона «таблицею правди». Для атомного речення таблиця істини тривіальна, але коли ми дивимось на інші види речень, їх таблиці істинності будуть складнішими.

Ідея таблиці істинності полягає в описі умов, в яких речення є істинним або хибним. Ми робимо це, визначаючи всі атомні речення, які складають це речення. Потім, з лівого боку, ми обмовляємо всі можливі значення істинності цих атомних речень і виписуємо їх. Потім з правого боку ми визначаємо, за яких умов речення (яке складається з інших атомних речень) є істинним чи хибним.

Ідея полягає в тому, що речення праворуч залежить від речення (-ів) зліва. Отже, таблиця істинності заповнюється так:

Атомні речення (и), що складають залежне речення праворуч	Залежне речення, що складається з атомних речень зліва
Всі можливі комбінації істинних значень складових атомних речень	Отримані значення істини для кожної можливої комбінації істинних значень складових атомних речень

Ми визначаємо всі можливі значення істини внизу ліворуч, оскільки сама логіка пропозиції не визначить, чи є атомне речення істинним чи хибним; таким чином, нам просто доведеться розглянути обидві можливості. Зверніть увагу, що існує багато способів того, що атомне речення може бути істинним, і є багато способів, що воно може бути помилковим. Наприклад, речення «Том американець» може бути правдою, якщо Том народився в Нью-Йорку, в Техасі, в Огайо тощо. Вирок може бути помилковим, тому що Том народився у італійських батьків в Італії, французьких батьків у Франції тощо. Отже, ми згрупуємо всі ці випадки разом на два види справ.

Це два рядки таблиці істинності для атомного речення. Кожен рядок таблиці істинності являє собою своєрідний спосіб, яким міг би бути світ. Так ось ліва сторона таблиці істинності тільки з одним атомним реченням, P. Ми напишемо «T» для true і «F» для false.

П
Т
F

Існує лише два відповідних види способів, якими може бути світ, коли ми розглядаємо семантику атомного речення. Світ може бути однією з багатьох умов, таких, що P є істинним, або це може бути однією з багатьох умов, таких, що P є помилковим.

Щоб завершити таблицю істинності, ми розміщуємо залежне речення у верхній правій частині, і опишемо його істинне значення по відношенню до істинної цінності його частин. Ми хочемо визначити семантику P, яка має лише одну частину, P. Таблиця істинності, таким чином, має кінцевий вигляд:

П	П
Т	Т
F	F

Ця таблиця істини говорить нам про значення P, наскільки наша логіка пропозиції може сказати нам про це. Таким чином, він дає нам повну семантику для P. (Як ми побачимо пізніше, таблиці істинності мають три використання: надати семантику для свого роду речення; визначити, за яких умов складне речення є істинним чи хибним; і визначити, чи є аргумент хорошим. Тут ми описуємо тільки це перше використання.)

У цій таблиці істинності перший рядок об'єднав усі види способів світу, в яких P є істинним. У другій колонці ми бачимо, що для всіх цих способів світ може бути, в якому P є істинним, не дивно, P вірно. Другий ряд об'єднує всі види способів світу, в яких P є помилковим. У тих, P є помилковим. Як ми відзначали вище, у випадку з атомним реченням таблиця істинності тривіальна. Тим не менш, основна концепція дуже корисна, як ми почнемо бачити в наступному розділі.

Останній інструмент нам буде корисний. Власне кажучи, те, що ми зробили вище, це дати синтаксис і семантику для конкретного атомного речення, P. Нам потрібен спосіб скласти загальні претензії щодо всіх пропозицій нашої мови, а потім дати синтаксис і семантику для будь-яких атомних речень. Ми робимо це за допомогою змінних, і тут ми будемо використовувати грецькі літери для цих змінних, таких як Φ і ψ. Речі, сказані за допомогою цих змінних, називається нашим «metalanguage», що означає буквально після мови, але який ми приймаємо на увазі, наша мова про нашу мову. Особлива логіка пропозиції, яку ми створюємо, називається нашою «об'єктною мовою». P і Q є реченнями нашої об'єктної мови. Φ і ψ є елементами нашої метамови. Щоб вказати тепер синтаксис атомних речень (тобто всіх атомних речень) можна сказати: Якщо Φ - атомне речення, то

Φ

це вирок. Це говорить нам про те, що просто записати Φ (яким би атомним реченням це не було), як ми щойно зробили, - це записати щось синтаксично правильне.

Щоб вказати зараз семантику атомних речень (тобто всіх атомних речень), можна сказати: Якщо Φ - атомне речення, то семантика Φ задається

Φ	Φ
Т	Т
F	F

Зверніть увагу на важливий і тонкий момент. Атомні речення нашої логіки пропозиції будуть тим, що ми називаємо «контингентними» реченнями. Умовне речення може бути як істинним, так і хибним. Пізніше ми побачимо, що деякі складні речення нашої пропозіційної логіки повинні бути істинними, а деякі складні речення нашої пропозіційної логіки повинні бути помилковими. Але для логіки пропозиції кожне атомне речення є (наскільки ми можемо сказати, використовуючи лише логіку пропозиції) контингентом. Це спостереження має значення, оскільки воно значно допомагає з'ясувати, де починається логіка, а де закінчуються методи іншої дисципліни. Наприклад, припустимо, у нас є атомарне речення на кшталт:

Сила дорівнює масі раз прискорення.

Магматичні породи, що утворилися під тиском.

Німеччина роздула свою валюту в 1923 році з метою зменшення заборгованості за репарації.

Логіка не може сказати нам, чи є вони істинними чи хибними. Ми звернемося до фізиків, і скористаємося їх методами, щоб оцінити першу претензію. Звернемося до геологів, і скористаємося їх методами, щоб оцінити другу претензію. Ми звернемося до істориків, і скористаємося їх методами, щоб оцінити третю претензію. Але логік може сказати фізику, геологу та історику, що випливає з їхніх тверджень.

1.5 Проблеми

1. Розпливчастість виникає, коли умови, за яких речення може бути істинним, є «нечіткими». Тобто в деяких випадках ми не можемо визначити, чи є речення істинним чи хибним. Якщо ми скажемо: «Том високий», це речення, безумовно, вірно, якщо Том найвища людина у світі, але незрозуміло, чи це правда, якщо Том зріст 185 сантиметрів. Визначте або створіть п'ять декларативних речень англійською мовою, які є розпливчастими.
2. Неоднозначність зазвичай виникає, коли слово або фраза має кілька чітких можливих тлумачень. У нашому прикладі вище слово «ручка» може означати або письмовий інструмент, або структуру для утримання дитини. Речення, яке включає «перо», може бути неоднозначним, і в цьому випадку воно може бути вірним для одного тлумачення і хибним для іншого. Визначте або створіть п'ять декларативних речень англійською мовою, які є неоднозначними. (Це, ймовірно, зажадає від вас визначити омонім, слово, яке має більше одного значення, але звучить або написано однаково. Якщо ви спіткнулися, розгляньте сленг: багато сленгових термінів неоднозначні, оскільки вони перевизначають існуючі слова. Наприклад, у 1980-х роках у деяких громадах та контекстах сказати щось «погане» означало, що це було добре; це, очевидно, може створити неоднозначні речення.)
3. Часто ми можемо зробити невизначене речення точним, визначивши конкретне тлумачення значення прикметника, терміна або іншого елемента мови. Наприклад, ми могли б зробити речення «Том високий» точним, вказавши одну людину, на яку посилається «Том», а також визначивши «... високий» як істинне для тих, хто заввишки 180 сантиметрів або вище. Для кожного з п'яти розпливчастих пропозицій, які ви визначили або створили для завдання 1, опишіть, як тлумачення певних елементів речення може зробити речення більше не розпливчастим.
4. Часто ми можемо зробити неоднозначне речення точним, уточнивши, яке з можливих значень ми маємо намір використовувати. Ми могли б зробити речення «Том біля пера» однозначним, вказавши, якого Тома ми маємо на увазі, а також визначивши «перо», щоб означати дитячу ручку. Для кожного з п'яти неоднозначних пропозицій, які ви визначили або створили для завдання 2, визначте і опишіть, як тлумачення певних елементів речення може зробити речення більше не неоднозначним.
5. Придумайте п'ять прикладів власних англійських речень, які не є декларативними реченнями. (Приклади можуть включати команди, вигуки та обіцянки.)

---

[2] Тут є складне питання, яке ми обговоримо пізніше. Але, якщо коротко: «є» неоднозначно; воно має кілька значень. «Malcolm Little is» - це речення, якщо воно призначене для ствердження існування Малкольма Літтла. Однак «є», що з'являється у реченні, «Малкольм Маленький високий», - це те, що ми називаємо «є» присудком». У цьому реченні «is» використовується для ствердження, що властивість має Малкольм Літтл (властивість бути високим); і тут «високий» - це те, що ми називаємо «присудком». Отже, «є» присудка не має чіткого сенсу при появі без решти присудка; воно не стверджує існування.