11.2: Логічна еквівалентність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52517

Bradley H. Dowden
California State University Sacramento

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Якби вам сказали: «Джон випадково наступив на камеру», ви б не дізналися нічого іншого, ніж сказали: «На камеру випадково наступив Джон». Ці речення говорять те саме - вони роблять однакові твердження - хоча вони граматично відрізняються. Оскільки вони говорять одне і те ж саме логічно, вони, як кажуть, еквівалентні або, більш технічно, логічно еквівалентні. Логічна еквівалентність чимось нагадує синонімію, за винятком того, що це стосується пропозицій, а не слів. Ця фраза говорить те саме, що є трохи неточним, тому ось визначення з використанням більш точної термінології:

Визначення

Заява P логічно еквівалентна твердженню Q, за умови, P випливає з Q з упевненістю, а Q також випливає з P з упевнен

Згадана тут визначеність не є психологічним поняттям; це логічне поняття. Тобто впевненість полягає не в тому, щоб почувати себе впевненим, а натомість про твердість логічного зв'язку підтримки між твердженнями. Логічно еквівалентні твердження говорять те саме, що стосується логіки.

альтернативне визначення

Твердження P логічно еквівалентно твердженню Q за умови, що P логічно передбачає Q, а також Q логічно передбачає P.

Ось пара логічно рівнозначних тверджень:

Тіффані настільки щира, що ви не можете сумніватися в ній.
Щирість Тіффані сумніватися не можна.

Однак ці два не є логічно еквівалентними:

Тіффані вийшла заміж і завагітніла.
Тіффані завагітніла і вийшла заміж.

Порядок часу - це проблема.

Ось набагато менш очевидний приклад логічної еквівалентності. Припустимо, P - це речення «Не всі ссавці є мешканцями суші», а Q - речення «Деякі ссавці не є істотами, які живуть на суші». Чи випливає Q з P з упевненістю? Так. Як щодо навпаки? Так. Отже, P і Q логічно еквівалентні. Цей зв'язок між двома реченнями буде триматися, навіть якщо слово ссавець було замінено словосполученням риба в Індійському океані. Отже, логічна еквівалентність між двома реченнями може бути питанням форми двох речень, а не лише того, про що вони йдеться.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи дозволяє визначення логічної еквівалентності істинне речення і помилкове речення бути логічно еквівалентними один одному?

Відповідь: Не поспішайте дивитися на відповідь, перш ніж серйозно задуматися над питанням. Відповідь у наступній виносці

Вирішити, чи є дві фрази логічно еквівалентними ¹, може мати вирішальне значення при оцінці якості аргументу. Ось приклад, що включає аргумент, в якому висновок випливає з приміщення з упевненістю:

1. Якщо тяжіння, яке має бейсбол, зберігатиметься в Америці протягом наступного десятиліття, то наші доходи від поступок також залишатимуться стабільними протягом наступного десятиліття.

2. Я знаю привабливість, що бейсбол насправді збережеться в Америці протягом наступного десятиліття.

3. Отже, наші доходи від поступок залишатимуться стабільними протягом наступного десятиліття.

Чи буде висновок все ще слідувати, якби передумова 2 була замінена наступним твердженням?

2'. Бейсбол буде продовжувати процвітати в Америці протягом наступних десяти років.

Це залежить. Якщо твердження 2' логічно еквівалентно твердженню 2, то висновок все одно буде слідувати з упевненістю. Однак, якщо ви не можете бути впевнені, що вони еквівалентні, ви не можете бути впевнені, що висновок аргументу з 2' слід з упевненістю. Щоб вирішити, чи є 2 і 2 'еквівалентними, ви повинні бути чутливими до контексту і використовувати принцип благодійності. Якщо, зробивши все це, ви все ще не можете сказати, чи еквівалентні 2 та 2', і якщо вам потрібно бути впевненим, вам доведеться попросити оратора чи автора бути зрозумілішими.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чи випливає висновок з упевненістю з приміщення в цьому аргументі? Поясніть, чому проста відповідь «так» або «ні» неприпустима через логічну еквівалентність.

Якщо остання версія програми для обробки текстів Word буде тепло прийнята на презентації, її власники і програмісти будуть раді створеному ними. Всі звіти вказують на те, що Word дійсно потрапив на ринок зі сплеском і отримав багато хороших відгуків. Отже, можна зробити висновок, що творці WordPerfect відчули почуття виконаного.

Відповідь: Висновок аргументу з упевненістю випливає з його приміщення, якщо принцип благодійності дозволяє нам сказати, що «тепло прийнятий на презентації» означає те саме, що «потрапити на ринок з сплеском», і якщо він також дозволяє нам сказати «щастя» тут те саме, що «почуття виконаного», і якщо «власники і програмісти» включають в себе «творців». Цілком ймовірно, що ці еквіваленти тримаються, але ви не можете бути впевнені і тому не можете точно сказати: «Так, висновок слід з упевненістю». Якщо вам потрібно було бути впевненим, слід попросити автора бути зрозуміліше про все це.

Поняття логічної еквівалентності корисно і іншими способами. Ця корисність виникає через те, що дедуктивна дійсність або недійсність аргументу зазвичай залежить від логічних форм його речень, як ми побачимо далі в цьому розділі. У свою чергу, вміння ідентифікувати логічні форми пропозицій вимагає вміння переводити пропозицію в логічно еквівалентне.

¹ Ні, якщо одне є істинним, а інше неправдивим за тих же обставин, вони повинні говорити щось інше один від одного і, отже, не може бути логічно еквівалентним.