Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Необхідні та достатні умови

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52181

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Поняття необхідних і достатніх умов відіграють центральну і життєво важливу роль в аналітичній філософії. Наприклад, бути неодруженим чоловіком є необхідною умовою для того, щоб бути холостяком, а бути холостяком - достатня умова для того, щоб бути неодруженим чоловіком. Те, що ці поняття є життєво важливими для філософії, не викликає сумнівів, і це перш за все тому, що ортодоксальний розповідь про методологію аналітичної філософії передбачає твердження про те, що філософія має на меті дати точні специфікації наборів необхідних і достатніх умов, таких як твердження, що всі холостяки - неодружені чоловіки. Отже, очевидно і глибоко важливо для філософії, що ми маємо адекватне логічне розуміння цих понять. З точки зору як пропозиційної, так і логіки першого порядку поняття необхідних і достатніх умов тісно пов'язані з поняттям умовного (тобто твердження форми «якщо p, то q»), як ясно дає наступний канонічний рахунок. [1] Де S (p, q) означає «p є достатньою умовою для q», а N (q, p) означає «q - необхідна умова для p»,p\ стрілка вправо q означає «якщо p, то q,» ір\ екв q означає «p і q логічно еквівалентні», наступні два визначення повинні представляти ці дві важливі ідеї:

    \[\mathrm{S}(p, q) \equiv (p \rightarrow q)\]

    \[\mathrm{N}(q, p) \equiv (p \rightarrow q)\]

    Фактично, D1 і D2 потім покликані бути стандартними логічними інтерпретаціями наших звичайних мовних понять необхідних і достатніх умов, обрамлених з точки зору класичної логіки пропозиції. [2] Вони ґрунтуються на ідеї про те, що необхідні та достатні умови можуть бути вичерпно визначені з точки зору умовного, що розуміється як матеріальний підтекст і представлені «→» класичної логіки пропозиції з наступними звичними умовами істинності: [3]

    Таблиця істинності для матеріалу умовний
    A Б A\ стрілка вправо B
    Т Т Т
    Т F F
    F Т Т
    F F Т

    Звичайно, матеріальний підтекст відіграє важливу роль у міркуванні загалом, особливо стосовно наступних дійсних форм висновків у класичній логіці пропозицій, як ми бачили в главі 3.

    Підтвердження попередня (Modus Ponens)

    1. \(A \rightarrow B\)
    2. \(A\)
    3. \(/ \therefore B\)

    Заперечення наслідків (Модус Толленс)

    1. \(A \rightarrow B\)
    2. \(\neg B\)
    3. \(/ \therefore \neg A\)

    Ці форми висновків мають важливі зв'язки з поняттями необхідних і достатніх умов, а також з тим, як ми міркуємо їх використання. У разі підтвердження попереднього, перша передумова може бути зрозуміла як твердження про те, що A достатньо для B, а друга передумова - претензія, яку отримує умова А. Отже, з цих тверджень справедливо випливає, що Б отримує. У разі заперечення наслідку перша передумова може розглядатися як твердження про те, що B є необхідною умовою для А, а друга передумова як претензія, яку B не отримує. З цих приміщень справедливо випливає, що А не отримує.

    Однак такі інференційні форми, що включають матеріальний імплікацію, є недійсними в класичній логіці пропозиції:

    Підтвердження наслідків

    1. \(A \rightarrow B\)
    2. \(B\)
    3. \(/ \therefore A\)

    Заперечуючи попередній

    1. \(A \rightarrow B\)
    2. \(\neg A\)
    3./\(\therefore \neg B\)

    Ці недійсні форми висновку також мають важливе значення пов'язані з поняттями необхідних і достатніх умов. У разі підтвердження наслідку перша передумова може бути прочитана як твердження про те, що A є необхідною умовою для B, а друга передумова як твердження, що B є істинним. Але з цих приміщень несправедливо випливає, що А також вірно. Той факт, що B необхідний для А, не гарантує, що це також достатньо для А. У разі заперечення попереднього, перша передумова може бути прочитана як твердження про те, що A є достатньою умовою для B, а друга передумова як твердження про те, що A не відповідає дійсності. З цих приміщень несправедливо випливає, що B не відповідає дійсності, оскільки деякі інші умови, достатні для B, насправді, може отримати.

    Причому, де NS (p, q) означає «p необхідний і достатній для q, а q необхідний і достатній для p», такі спільно необхідні і достатні умови набувають такого вигляду: [4]

    \[\mathrm{NS}(p, q) \equiv [(p \rightarrow q) \,\& \,(q \rightarrow p)]\]

    Однак, оскільки формула(p\ стрілка вправо q)\,\ &\, (q\ стрілка вправо р) еквівалентна формулі(p\ equiv q) в класичній пропозіціонной логіці, множини таких необхідних і достатніх умов можуть бути більш компактно визначені з точки зору логічної еквівалентності наступним чином:

    \[\mathrm{NS}(p, q) \equiv (p \equiv q)\]

    Це поняття - всього лише думка про те, що істинні значення p і q завжди однакові, а поняття логічної еквівалентності має такі умови істинності:

    Таблиця істинності для логічної еквівалентності
    A Б A\ equiv B
    Т Т Т
    Т F F
    F Т F
    F F Т

    Тоді множини спільно необхідних і достатніх умов є просто визначеннями, регламентованими як речення такого роду. Наприклад, виходить, що бути холостяком і бути неодруженим чоловіком - це спільно необхідні і достатні умови один для одного. Чому ж конкретно поняття необхідних і достатніх умов, так зрозумілі, мають таке центральне значення в сучасній аналітичній філософії?

    Концептуальний аналіз та необхідні та достатні умови

    Центральний облік методів сучасної аналітичної філософії ґрунтується на твердженні, що філософська методологія - це інтуїтивний концептуальний аналіз, який спрямований на визначення істинних наборів необхідних і достатніх умов. Насправді, на думку значної кількості філософів, такий концептуальний аналіз є єдиним методом філософії. Для розглянутих цілей цей розповідь про методи філософії буде називатися стандартним філософським методом (СПМ). Концептуальні аналізи приймають форму специфікацій змісту дотеоретичної концепції (аналізів) через артикуляцію набору необхідних і достатніх умов (аналіз або аналіз), і тут ми знаходимо локус зв'язку між поняттями необхідного та достатнього умов і філософської методології. Цей методологічний звіт філософії можна більш повно охарактеризувати наступним чином:

    1. Концептуальні аналізи набувають форми запропонованих визначень (тобто наборів необхідних і достатніх умов) аналізу.
    2. Адекватність будь-якого аналізу може бути перевірена на конкретних та/або уявних випадках.
    3. Чи є запропонований аналіз адекватним щодо даного випадку, можна визначити за допомогою апріорної інтуїції, причому апріорна інтуїція є виразною, надійною та помилковою нетенсоричною психічною здатністю. [5]
    4. Інтуїція дозволяє нам надійно отримати доступ до знань про поняття.
    5. Метод відбивної рівноваги - це особливий метод, за допомогою якого інтуїції можуть бути використані для підтвердження/підтвердження аналізу. [6]

    На думку захисників СПМ, це по суті ортодоксальна методологія аналітичної філософії, і вона вважалася адекватною для вирішення філософських проблем значною кількістю як практикуючих, так і видатних філософів протягом новітньої історії філософії. Наприклад, це суперечка, зроблена Коліном Макгінном в недавній книзі. Макгінн не є хоча б трохи орієнтовним у своїй ковдрі захисту SPM як єдиного методу філософії. З цією метою на початку своєї книги 2012 року він робить наступну розширену декларацію про філософію:

    ... це не вид емпіричного дослідження, і він не методологічно порівнянний з природничими науками (хоча це можна порівняти з формальними науками). Вона прагне до відкриття сутностей. Діє вона «з крісла»: тобто шляхом неозброєного (зазвичай одиночного) споглядання. Єдині його експерименти - це думки-експерименти, а його дані - можливості (або «інтуїції» про можливості). Таким чином, філософія прагне апріорі знання об'єктивної істоти - немовної та неконцептуальної реальності. Ми досліджуємо буття як таке, але ми робимо це, використовуючи лише апріорні методи. (МакГінн 2012, 4)

    Як повинно бути відразу видно, це чітке, пряме і дзвінке схвалення SPM, як це було зрозуміло тут. Щоб підтримати це твердження, нам потрібно лише взяти до уваги інші його твердження про те, що «... належним методом розкриття суті речей є саме концептуальний аналіз» (McGinn 2012, 4) і що «філософія, правильно задумана, просто концептуальний аналіз» (McGinn 2012, 11). Фактично, він вважає, що ми приходимо до таких аналізів, розглядаючи можливі випадки та запитуючи себе, чи застосовується ця концепція чи ні в цих випадках - тобто консультуючись з нашими «інтуїціями» щодо таких випадків (McGinn 2012, 5). Що також важливо для цілей під рукою, це його визнання того, що цей розповідь філософської методології «був дійсно стандартною концепцією для більшої частини історії предмета, в тій чи іншій формі» (McGinn 2012, 7). Таким чином, Макгінн не тільки схвалює SPM як єдину методологію сучасної філософії, але він також стверджує, що це стійка методологія філософського дослідження протягом всієї його історії. [7]

    Одне важливе уточнення щодо версії SPM МакГінна стосується природи об'єкта аналізу (аналізів) та, що ще важливіше, природи самого аналізу, як вони зазвичай розуміються (тобто як визначення певного роду, оформлені як набори необхідних та достатніх умов). Карл Хемпель з користю робить вирішальне розмежування в цьому плані, яке ми можемо використовувати для висвітлення стандартного вигляду таких визначень:

    Слово «визначення» стало використовуватися в декількох різних сенсах... Реальне визначення задумано як твердження «істотних характеристик» якоїсь сутності, як коли людину визначають як раціональну тварину або стілець як окреме рухоме місце для однієї людини. Іменне визначення, з іншого боку, є конвенція, яка просто вводить альтернативне - і, як правило, скорочене - позначення для даного мовного виразу, в порядку положення. (Хемпель 1952, 2)

    Більше того, він говорить нам далі, що деякі реальні визначення слід розуміти як аналіз сенсу або як аналітичні визначення відповідного терміна. Перевірка таких претензій вимагає лише того, щоб ми знали значення складових виразів, і для визначення правильності аналізу не потрібно емпіричного дослідження (Hempel 1952, 8).

    Це, звичайно, саме те, що Макгінн має на увазі щодо концептуального аналізу. Тоді варто зробити очевидний момент, що концептуальний аналіз - це операція аналізу понять за допомогою пропонування визначень, але вказати, що недостатньо, щоб повністю зрозуміти точку зору. Це правда, що SPM - це метод, який приймає як вхідні дані наші поняття, але він передбачає чітке визнання того, що визначення, що беруть участь, слід розуміти як аналіз сенсу, а не як номінальні або обумовлювальні (тобто «словник») визначень. Так, наприклад, питання про те, чи виправдано знання істинним переконанням, є якраз питанням аналізу поняття пізнання в терміні визначень, що складаються з наборів необхідних і достатніх умов, що розуміються як сенс-аналіз. Концептуальний аналіз - це метод робити щось з поняттями, які ми вже володіємо - всюди, звідки вони в кінцевому підсумку прийшли. [8] Це визначення дотеоретичної концепції, пропонуючи синонімічний вираз. Тоді, як видається, захисники SPM повинні вважати, що поняття мають форму наборів необхідних і достатніх умов, що такі аналізи є аналізом сенсу, і що аналізи наших преаналітичних концепцій є інформативними. Типовими аналізами, таким чином, є види розкладань преаналітичних понять. Вони являють собою концептуальні істини з формою аналітичних визначень.

    Отже, для Макгінна та інших мислителів-однодумців аналізи мають дуже просту логічну форму, і ми можемо переконатися в цьому на прикладі аналізу поняття знання. Де K x - «х - це знання», J x - «x виправдано», T x - «х істинно», а B x - «х вважається», стандартний аналіз знань виглядає так:

    \[\equiv\]

    Цей аналіз повинен розповісти нам справжню природу, або сутність, поняття знання з точки зору кінцевого набору визначальних сутнісних ознак, з логічною формою набору спільно необхідних і достатніх умов. Отже, надання такого аналізу передбачає розкладання аналізів на перелік ознак, таким чином виставляючи в якомусь важливому сенсі зміст поняття.

    Проблема з православним поглядом і СПМ

    Багато недавніх критиків напали на SPM з точки зору (2) - (5), кидаючи виклик надійності факультету інтуїції. Це основна лінія критики проти SPM, яку пропонують багато захисників того, що називається експериментальною філософією, і це дійсно цікава критика ортодоксальної філософії. Однак деякі критики альтернативно атакували SPM, кидаючи виклик (1) на основі теорії концепцій, яку він передбачає; зокрема, ідея про те, що концепції можуть бути адекватно захоплені наборами необхідних та достатніх умов. [9] Одна з версій цієї останньої форми критики особливо актуальна для цієї глави. Ця критика ґрунтується на твердженні про те, що СПМ помилково припускає, що поняття взагалі приймають форму необхідних і достатніх умов. Назвіть це потенційною проблемою вакууму.

    Проблема потенційної вакууності

    Проблема потенційної вакууми виникає наступним чином, і ґрунтується на сумнозвісних зауваженнях Людвіга Вітгенштейна про теорію понять, передбачувану в СПМ. Він звернувся до питання надійності SPM у своїх філософських дослідженнях та синіх і коричневих книгах, і в цьому Вітгенштейн атакує фундамент проекту концептуального аналізу, намагаючись підірвати (1) шляхом вивчення твердження про те, що поняття мають форма комплектів необхідних і достатніх умов. [10] По-перше, Вітгенштейн відкинув думку про те, що більшість або навіть, можливо, будь-які поняття можуть бути визначені саме за допомогою специфікації наборів необхідних і достатніх умов, і що це є проблемою, центральною для ортодоксальної філософії. Це важливе одкровення було зроблено, зазначивши, що філософські спроби концептуального аналізу систематично не зуміли виробляти товар. Він говорить нам прямо, що,

    Ми не в змозі чітко обмежити поняття, які ми використовуємо; не тому, що ми не знаємо їх реального визначення, а тому, що для них немає реального «визначення». (Вітгенштейн 1958, 25)

    По-друге, він прагнув замінити поняття понять, що розуміються як сукупності необхідних і достатніх умов, альтернативною теорією понять. Цей альтернативний рахунок понять заснований на понятті «родинної схожості відносини».

    Щоб побачити перший пункт чіткіше, давайте подивимося на улюблений приклад Вітгенштейна з його філософських досліджень. Вітгенштейн спеціально стверджував, що концепція гри не може бути правильно проаналізована з точки зору набору необхідних і достатніх умов. Це пов'язано з тим, що ігри не мають спільного набору визначальних особливостей. Швидше, члени безлічі ігор лише схожі один на одного в деяких відношеннях, і саме ці відносини подібності складають сімейство ігор. Як ми вже переконалися, SPM передбачає наступний принцип:

    (CON) Для будь-якого поняття С існує набір необхідних і достатніх умов, що становить зміст С.

    Напад Вітгенштейна на SPM встановлюється через атаку на CON, і це є фундаментальним підставою потенційної проблеми вакууму. По суті, суть проблеми полягає в тому, що якщо немає (або навіть дуже мало) понять, які можуть бути правильно регламентовані як набори необхідних і достатніх умов, не може бути (або дуже мало) правильних концептуальних аналізів у сенсі SPM. Основу критики Вітгенштейна тоді можна зрозуміти так: з розгляду прикладів всієї історії філософії зрозуміло, що більшість або всі філософські спроби аналізувати концепції шляхом надання наборів необхідних і достатніх умов зазнали невдачі. Це пояснюється тим, що для будь-якого запропонованого набору необхідних або достатніх умов, призначених для правильного аналізу концепції, існують випадки цієї концепції, які не відповідають набору запропонованих визначальних умов.

    Згадайте улюблений приклад Вітгенштейна концепції гри. Покер і футбол обидва правдоподібно прийнято бути гри, і тому ми могли б, наприклад, posit, що щось гра, якщо і тільки якщо, що діяльність включає в себе переможця і програв. Але, гра пиріжок є ще одним правдоподібним випадком гри і не має переможця і програв. Отже, дане визначення гри з точки зору набору необхідних і достатніх умов дає збій. Вітгенштейн стверджує, що цей приклад узагальнює, а передбачуване найкраще пояснення невдалих філософських спроб сформулювати зміст понять з точки зору наборів необхідних і достатніх умов полягає в тому, що зміст понять не захоплюється наборами необхідних і достатні умови (тобто відмова від CON). Іншими словами, Вітгенштейн вважає, що для будь-якої (або, принаймні, більшості) спроб (ів) вказати зміст понять з точки зору необхідних і достатніх умов, ми знайдемо зустрічні приклади.

    Як заміну CON, Вітгенштейн вводить поняття класу сімейної схожості. Центральна ідея полягає в тому, що випадки, що підпадають під поняття, пов'язані один з одним не визначальним набором необхідних і достатніх умов, а скоріше складними умовами подібності, що перекриваються, які пов'язують групи членів загальної сукупності випадків, що підпадають під поняття. Однак жодна сукупність умов не дотримується для всіх і лише членів, які демонструють цю концепцію. Таким чином, якщо Вітгенштейн є правильним, причина відсутності правильного концептуального аналізу пов'язана з тим, що поняття не можна аналізувати з точки зору необхідних і достатніх умов. SPM, таким чином, потенційно (якщо не насправді) вакуум.

    Перспективні шляхи вирішення проблеми потенційної вакуумісті

    Чи критика Вітгенштейна сигналізує про поразку СПМ, тоді? Не обов'язково. Колін Макгінн (2012) пропонує рішення проблеми. По-перше, зверніть увагу, що критика Вітгенштейна є прямим запереченням (1). [11] Макгінн відповідає, кусаючи кулю проти Вітгенштейна і стверджуючи, що, хоча їх дуже часто важко сформулювати, поняття належним чином характеризуються набором необхідних і достатніх умов. Пейс Вітгенштейн, наша нездатність сформулювати остаточні приклади таких аналізів не є підставою припускати, що таких речей немає. Більш спритно він показує, як критику Вітгенштейна можна ефективно спростувати наступним чином. Як ми бачили, твердження Вітгенштейна про те, що поняття не можуть бути захоплені наборами необхідних і достатніх умов, повинно випливати з його дослідження концепції гри. Але, як зазначає Макгінн, з того, що виробляти товар в цьому (або будь-якому іншому) випадку складно, не обов'язково випливає, що таких аналізів немає (McGinn 2012, 21-28).

    По-друге, Вітгенштейн використовує цей момент на підтримку твердження про те, що поняття насправді мають структуру сукупності відносин сімейної схожості між парадигмою та непарадигмальними елементами у розширенні концепції. Потім Макгінн показує, що власна теорія понять Вітгенштейна з точки зору сімейної схожості передбачає, що поняття можуть бути захоплені особливим типом необхідних і достатніх умов: для будь-якої концепції C непарадигмальні члени С мають відношення сімейної схожості до парадигматичного випадку ( s) С. [12] Отже, здавалося б, що на думку Вітгенштейна, щось обов'язково є поняттям, якщо і лише тоді, це сукупність сутностей, пов'язаних стосунками сімейної схожості з одним або декількома випадками парадигми. Таким чином, МакГінн справедливо стверджує, що Вітгенштейн не відкидає SPM. Швидше, у своєму трактуванні концепції гри він «віддає перевагу певній її формі - тій, в якій аналіз приймає форму «сімейно-нагадує парадигмні ігри» (такі як шахи, теніс тощо)» (Макгінн 2012, 18-19). Однак ця відповідь не робить нічого, щоб розрядити проблему, що такі специфікації концептуального змісту не можуть бути правдоподібно необхідними істинами, як правило, вважають Макгінн та інші захисники SPM. Це пояснюється тим, що стосунки сімейної подібності не можуть бути правдоподібно зрозумілі як необхідні істини. Іншими словами, явно не так, що відносини схожості між об'єктами такі, що вони вірні у всіх можливих світах. [13] Це так, оскільки схожість не є чисто об'єктивними відносинами між об'єктами. Вони сприймаються відносними, і тому варіюються в залежності від того, на які особливості акцентується увага. Наприклад, ручка нагадує олівець, коли людина фокусується на функції письма. Але ручка та олівець не нагадують один одного, коли хтось фокусується замість цього на особливість, що містить чорнило.

    ВПРАВИ

    Вправа перша

    Для кожної пари вирішуйте, чи є перший член пари або необхідною умовою для другої, достатньою умовою, або ні ні.

    Приклад: автомобіль Боба синій/колір автомобіля Боба

    Відповідь: Автомобіль Боба, будучи синім, достатньо для того, щоб він був забарвлений, оскільки його синій гарантує, що він кольоровий. Однак це не є необхідною умовою, бо автомобіль Боба може бути пофарбований, не будучи синім - наприклад, він може бути червоним.

      1. Боб витягнув вісімку Пік зі звичайної колоди гральних карт.
        Боб витягнув чорну карту з колоди звичайних гральних карт.
      2. У Аліси є шурин.
        Аліса - не єдина дитина.
      3. Дочка Аліси заміжня.
        Аліса - батько.
      4. Дочка Аліси заміжня.
        Аліса - бабуся.
      5. Деякі жінки платять податки.
        Деякі платники податків - жінки.
      6. Всі жінки платять податки.
        Всі платники податків - жінки.
      7. Бути ссавцем.
        Будучи теплокровними.
      8. Будучи теплокровними.
      9. Бути ссавцем.

    Вправа друга

    Для кожної претензії перепишіть її в плані необхідних і/або достатніх умов.

    Приклад: Ви не можете грати в футбол без м'яча

    Відповідь: Мати м'яч необхідно для гри в футбол.

    1. Ви повинні заплатити, якщо хочете увійти.
    2. Хмарна камера потрібна для спостереження субатомних частинок.
    3. Якщо щось є електроном, це заряджена частинка.
    4. Ваш автомобіль тільки крутий, якщо це Honda.
    5. Бути трикутником просто являє собою тристоронню, двовимірну форму.

    Вправа третя

    Перевірте для себе традиційне філософське припущення про те, що поняття визначаються необхідними і достатніми умовами. Постарайтеся забезпечити необхідні і достатні умови для наступних понять, а потім протестуйте ці сукупності умов на потенційних зустрічних прикладах:

    • Ложка
    • Сад
    • Успіх
    • Здоров'я (психічне і фізичне)

    Потенційні зустрічні приклади до вашого аналізу цих понять з точки зору необхідних і достатніх умов можуть або мати форму:

    1. Випадки, до яких має застосовуватися концепція, але які не відповідають вашим необхідним і достатнім умовам.
    2. Випадки, до яких поняття не повинно застосовуватися, але які виконують ваші необхідні і достатні умови.
    1. Як зазначено раніше в розділі 3. ←
    2. Див., наприклад, Коні, Коен і Флаге (2007, 196, 446, 449) і Фішер (2001, 241). ←
    3. Введене тут поняття матеріального умовного - це всього лише формалізація того, чим ми були раніше і неофіційно називаючи «умовними». ←
    4. НС (p, q) тоді еквівалентно S (p, q) & S (q, p) & N (p, q) & N (q, p). ←
    5. Апріорі знання - це знання, абсолютно незалежні від будь-якого досвіду. ←
    6. Останні оборонні сили SPM включають: Білер (1996), Джексон (1998) та Макгінн (2012). Для тісно пов'язаних поглядів див. Бреддон-Мітчелл і Нола (2009). Див. Шаффер (майбутній) для широкого обговорення цієї точки зору. Рефлекторна рівновага - це метод приведення інтуїтивно вірних випадків у відповідність з правилом або принципом. ←
    7. Дивіться McGinn (2012, 4-11) для резюме значних історичних прикладів використання SPM, включаючи деякі з тих, що обговорюються тут більш детально. ←
    8. Строго кажучи, концептуальний аналіз також може включати певну зміну змісту дотеоретичних концепцій, як це часто трапляється, коли такий аналіз передбачає більш точну концепцію. ←
    9. Див. Мур (1968) та Вітгенштейн (1953), наприклад. Парадокс аналізу Мура, схоже, показує, що такі аналізи є неінформативними, і Вітгенштейн стверджує, що поняття мають форму сімейних схожостей, а не наборів необхідних і достатніх умов. Дивіться також Бреннан (2017) і Шаффер (2015) для додаткових турбот про природу необхідних і достатніх умов. ←
    10. Див. Вітгенштейн (1953), Лакофф (1987), Ремсі (1998), Рош і Мервіс (1998) та Макгінн (2012, гл. 3) для отримання додаткової інформації з цього питання. ←
    11. Критика Вітгенштейна також має важливе додаткове застосування до поглядів, таких як у Макгінна, де концептуальні істини розуміються як необхідні істини. Це пояснюється тим, що якщо поняття не захоплюються наборами необхідних і достатніх умов, а мають лише форму множин випадків, пов'язаних сімейними схожістю, то нелегко зрозуміти, як вони можуть бути обов'язково істинними визначеннями. Це просто тому, що відносини подібності між речами здаються умовними відносинами. ←
    12. Члени парадигми класу сімейної схожості є очевидними центральними випадками, тоді як непарадигмальні випадки є менш центральними та очевидними випадками цього класу. Так, наприклад, малинівка - парадигмальний випадок класу птахів, тоді як пінгвін - (правдоподібно) непарадигмальний випадок птиці. ←
    13. Це розуміння необхідної істини як тверджень, які є істинними у всіх можливих світах, є стандартним поняттям необхідної істини. Такі істини не можуть бути помилковими в будь-якому послідовному розташуванні того, що могло б існувати. ←