3: Формальна логіка в філософії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52204

Bahram Assadian
Rebus Publishing

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі розглядаються деякі філософські питання, що стосуються природи формальної логіки. Особливу увагу буде приділено поняттю логічної форми, меті формальної логіки у захопленні логічної форми та поясненню дійсності з точки зору логічної форми. Ми побачимо, як це розуміння поняття дійсності дозволяє нам визначити те, що ми називаємо формальними помилками, які є помилками в аргументі через його логічну форму. Обговоримо також деякі філософські проблеми про природу логічних форм. Заради простоти наша увага буде зосереджена на логіці пропозиції. Але багато результатів, які підлягають обговоренню, не залежать від цього вибору, і застосовні до більш просунутим логічним системам.

Логіка, валідність та логічні форми

Різні науки мають різні предмети: фізика намагається виявити властивості матерії, історія має на меті виявити, що сталося в минулому, біологія вивчає розвиток та еволюцію живих організмів, математика - це або, принаймні, здається, про числа, множини, геометричні простори, і подобається. Але що ж досліджує логіка? Що, власне, логіка?

Це по суті філософське питання, але його відповідь вимагає роздумів про стан і поведінку логічних правил і висновків. Підручники, як правило, представляють логіку як науку про зв'язок наслідків, що тримає між приміщеннями та висновком вагомого аргументу, де аргумент є дійсним, якщо його приміщення не можливо, щоб його приміщення було істинним, а висновок помилковим. Якщо логіка - це наука про зв'язок наслідку, що проходить між приміщеннями та висновком вагомого аргументу, можна сказати, що логіки будуть стурбовані тим, чи є висновок аргументу чи ні наслідком його приміщення.

Розглянемо поняття дійсності з більшою обережністю. Наприклад, розглянемо наступний аргумент:

Якщо Алекс - морський лящ, то Алекс - не троянда.
Алекс - троянда.
$\text{[math]}$ Алекс не морський лящ.

Можна показати, що для (1) і (2) ще не можливо (3) false. Значить, весь аргумент є справедливим. Для зручності представимо кожне речення аргументу в стандартну логіку пропозиції, яка має на меті проаналізувати структуру і значення різних суджень. Для цього треба спочатку ввести мову нашої логіки.

\[(\neg )\]

Таким чином, якщо ми використовуємо A для «Алекс - це морський лящ», ми можемо представляти (1) з $A\ стрілка вправо\ neg B$ і представляти наш вищевказаний аргумент (1) - (3) наступним чином:

$A\ стрілка вправо\ neg B$
$Б$
$\text{[math]}$

Але, нагадаємо, наша мета полягала в тому, щоб вивчити, чому цей аргумент, якщо взагалі, є дійсним. Одного лише подання «не» шляхом « $\ нег$ » та «якщо... то» на « $\ стрілка вправо$ » буде недостатньо для перевірки дійсності чи недійсності даного аргументу: нам також потрібно знати, що означають ці символи та пропозиції, які вони висловлюють. Але як ми можемо вказати значення « $\ нег$ » і « $\ стрілка вправо$ »?

Правдоподібно сказати, що якщо А істинно, то його заперечення помилкове, і навпаки. Наприклад, якщо «Алекс - троянда» вірно, то «Алекс - не троянда» помилково. Це дає нам значення « $\ нег$ ». Цю інформацію про значення заперечення ми можемо представити в терміні істини-таблиці наступним чином (з Т, що символізує істинне, і F false):

Таблиця істинності для заперечення
$A$	$\ neg А$
Т	F
F	Т

Тут ми можемо прочитати кожен рядок таблиці правди так, як світ може бути. Тобто в ситуаціях або можливих світах, де А є істинним (наприклад, де Алекс дійсно є морським лящем), $\ neg\ текст {A}$ є помилковим (помилково, що Алекс - морський лящ); і навпаки. Таким чином тлумачена таблиця істини дає нам ситуації, в яких таке твердження, як A, є істинним, і ті, в яких воно помилкове. Крім того, він говорить нам, в яких ситуаціях $\ neg\ текст {A}$ це правда, і в яких ситуаціях це помилково.

Аналогічним чином ми можемо вказати значення « $\ стрілка вправо$ », вказавши ситуації, в яких умовні пропозиції виду « $\ textit {A}\ стрілка вправо\ textit {B}$ » істинні або хибні. Ось стандартна таблиця правди для « $\ стрілка вправо$ »:

Таблиця істинності для матеріалу умовний
$A$	$Б$	$A\ стрілка вправо B$
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Як видно, існує лише один рядок, у якому $\ textit {A}\ стрілка вправо\ textit {B}$ є помилковим; тобто другий рядок, в якому наслідок є помилковим, але попереднє є істинним. Як говорить нам перший рядок, якщо і A і B є істинними, то так і є $\ textit {A}\ стрілка вправо\ textit {B}$ . Далі третій і четвертий рядки говорять нам про те, що якщо попередник хибний, то весь умовний істинний, незалежно від того, є наслідком істинним або помилковим. Отже, всі умовні умови з помилковими попередниками є істинними.

Але як умовне може бути істинним, якщо його попередник хибний? Ось одна пропозиція відповісти на це питання: якщо ваше припущення є помилковим, то ви можете законно зробити висновок про те, що хотіли б. Наприклад, якщо припустити, що Амстердам є столицею Англії, ви можете законно укласти що-небудь; неважливо, правда це чи помилково. Таким чином, з припущення, що Амстердам - столиця Англії, можна зробити висновок, що Париж - столиця Франції. Також можна зробити висновок, що Париж - столиця Бразилії.

Ми бачимо, що одна важлива інформація, яку передають таблиці правди, стосується того, як істина чи хибність складних речень, таких як $\ textit {A}\ стрілка вправо\ textit {B}$ і $\ neg\ текст {A}$ залежить від істинності чи хибності запропонованих букв, які вони містять: правда чи хибність $\ textit {A}\ стрілка вправо\ textit {B}$ залежить виключно від істини чи хибність А і В. Аналогічно, правда чи хибність $\ neg\ текст {A}$ залежить виключно від істинності А.

Тепер ми в змозі перевірити, чи є наш аргумент (1) - (3) дійсним чи ні. І, як ми побачимо в мить, дійсність або недійсність аргументу залежить від значення логічних зв'язків (таких як « $\ стрілка вправо$ » і « $\ нег$ »), який задається відповідними таблицями істини. Іншими словами, якби таблиці правди цих зв'язків відрізнялися від того, що вони є насправді, ми мали б іншу колекцію вагомих аргументів.

Ми визначили аргумент як дійсний, якщо його приміщення не можливо, щоб його приміщення було істинним, а висновок помилковим. Спроектувавши таблицю правди, ми можемо побачити, за яких умов приміщення $(\ textit {A}\ стрілка вправо\ neg\ textit {B},\ textit {B})$ і висновок $(\ neg\ текст {A})$ нашого аргументу (1) - (3) є істинними або хибними:

Таблиця істинності для аргументів (1) - (3)
$A$	$Б$	$\ neg А$	$\ neg B$	$A\ стрілка вправо\ neg B$
Т	Т	F	F	F
Т	F	F	Т	Т
F	Т	Т	F	Т
F	F	Т	Т	Т

Оскільки в наведеній істині-таблиці немає рядка, в якій передумови $(\ textit {A}\ стрілка вправо\ neg\ textit {B},\ textit {B})$ істинні, а висновок $(\ neg A)$ помилковий, аргумент є справедливим. Єдиний ряд, в якому істинні і приміщення, - третій ряд, і в тому ряду висновок теж вірний. Іншими словами, немає світу чи ситуації, в якій (1) і (2) є істинними, але (3) ні. Це просто означає, що аргумент є дійсним.

Тепер розглянемо наступний аргумент:

Якщо Алекс - тигр, то Алекс - тварина.
Алекс не тигр.
$\text{[math]}$ Алекс не тварина.

Бувають ситуації, в яких аргумент працює відмінно. Наприклад, припустимо, що Алекс не тигр, а є, по суті, столом. У цьому випадку Алекс теж не був би твариною. І таким чином, речення (4), (5) і (6) були б правдивими. Але це не завжди так, бо ми можемо уявити ситуацію, в якій приміщення вірні, але висновок помилковий, наприклад, коли Алекс не тигр, а насправді собака. Таким чином, уявляючи щойно описану ситуацію, ми зробили б зустрічний приклад: у цій ситуації (6) було б помилковим, а отже, це не було б наслідком (4) та (5). Аргумент недійсний.

Те, що аргумент є недійсним, також можна перевірити методом truth-таблиць. Бо ми можемо знайти ситуацію, в якій (4) і (5) є істинними і ще (6) помилковими. Тобто, в таблиці правди, якщо ми представляємо (4) як $\ textit {C}\ стрілка вправо\ textit {D}$ , (5) як $\ neg\ текст {C}$ , і (6) як $\ neg\ текст {D}$ , буде принаймні один рядок, в якому умови істинні, а висновок помилковий (який рядок це?) :

Таблиця істинності для аргументів (4) - (6)
$C$	$D$	$C\ стрілка вправо D$	$\ neg С$	$\ neg D$
Т	Т	Т	F	F
Т	F	F	F	Т
F	Т	Т	Т	F
F	F	Т	Т	Т

Ми сказали, що логіків турбує обґрунтованість або недійсність аргументів, і ми запропонували метод таблиць правди для виконання цього завдання. Але які аргументи є вагомими, а які ні? Саме тут і виникає поняття логічної форми. Припустимо, що логік приступає до смішного завдання записувати кожен вагомий аргумент. У цьому випадку вона напевно зафіксує, що (1) - (3) є дійсним. Тепер, припустимо, вона стикається з наступним аргументом:

Якщо Аліса читає Гегеля, вона не засмучена.
Аліса засмучена.
$\text{[math]}$ Аліса не читає Гегеля.

Щоб побачити, справедливий цей аргумент чи ні, вона може переписати кожне речення аргументу на свою логічну мову: Аліса читає Гегеля $(\ текст {P})$ ; Аліса розчарована $(\ текст {Q})$ ; і, якщо Аліса читає Гегеля, то Аліса не засмучується) $(\ textit {P}\ стрілка вправо\ neg\ textit {Q})$ . Потім вона може спроектувати відповідну таблицю правди, і перевірити, чи є якийсь ряд або ситуація, в якій приміщення є і правдивими, і висновок помилковим. Так як немає такого ряду (чому?) , вона правильно оголосить, що аргумент є дійсним.

Але очевидно, що для перевірки дійсності (7) - (9) нашому логіку не потрібно було йти на ці зусилля. Було б достатньо, якби вона просто зазначила, що два аргументи (1) - (3) та (7) - (9) та їх відповідні таблиці правди значною мірою схожі; вони мають однакову форму. Насправді їх єдина відмінність полягає в тому, що в першому були використані букви A і B, а в другому їх підставляли відповідно P і Q. Логічні зв'язки так $\ стрілка вправо$ і $\ нег$ не змінилися.

Щоб побачити суть, переведемо кожен аргумент на мову пропозіційної логіки, яку ми ввели вище:

$\ textit {A}\ стрілка вправо\ neg\ textit {B}$
$\ текст {B}$
$\text{[math]}$

$\ textit {P}\ стрілка вправо\ neg\ textit {Q}$
$\ текст {Q}$
$\text{[math]}$

Два аргументи мають щось спільне. Скажемо, що спільне у них є їх логічна форма. Як бачите, логічні зв'язки аргументів не змінилися. Оскільки два аргументи мають однакову форму, якщо один є дійсним, то і інший повинен бути дійсним. У загальному плані всі аргументи цієї ж форми є дійсними. Звільняюча новина полягає в тому, що нашому логіку не потрібно приступати до роздратованого завдання перевірки обґрунтованості кожного аргументу окремо. Бо якщо вона вже знає, що даний аргумент є дійсним, і якщо вона також може показати, що інший аргумент має ту ж форму, що і перший, то вона може бути впевнена, що другий аргумент є дійсним без необхідності проектувати його правдиву таблицю.

Ми сказали, що аргумент є дійсним, якщо неможливо, щоб приміщення було істинним, а висновок помилковим. Тепер ми можемо сказати, що кожен аргумент, який поділяє свою форму з дійсним аргументом, також є дійсним, і, отже, кожен аргумент, який поділяє свою форму з недійсним аргументом, також є недійсним. ^[1] Саме в цьому сенсі ідея логічної форми може бути використана для встановлення (в) обґрунтованості аргументів. Наприклад, припустимо, що ми хочемо перевірити достовірність наступного аргументу:

Якщо Аліса читає Рассела, то Аліса думає про логіку.
Аліса не читає Рассела.
$\text{[math]}$ Аліса не думає про логіку.

Як тільки ми бачимо, що (10) - (12) має ту ж форму, що і (4) - (6), яка, як ми вже знаємо, є недійсною, ми можемо бути впевнені, що перший також недійсний, не маючи необхідності будувати свою таблицю правди.

Таким чином, ми бачимо, що розуміння поняття дійсності з точки зору логічної форми дозволяє виявити різні формальні помилки. Наприклад, аргумент (10) - (12) є прикладом помилки заперечення попередника. Таким чином, кожен аргумент, який поділяє свою форму з (10) - (12), також є недійсним.

Є ще три питання, які ми можемо задати про логічні форми: (i) Як ми можемо «витягти» логічну форму з аргументів, які вони поділяють? Тобто, як ми можемо показати, що різні аргументи є екземплярами загальної логічної форми? (ii) Яка природа логічної форми? Чи є логічна форма річ, і якщо так, то що це за річ? (iii) Чи має кожен аргумент лише одну логічну форму? У наступних трьох розділах ми поговоримо про ці три питання відповідно.

Вилучення логічних форм

Розглянемо, знову ж таки, аргументи (1) - (3) і (7) - (9), які, здається, мають одну і ту ж логічну форму. Як ми можемо показати, що вони мають загальну логічну форму? По-перше, ми повинні зобразити їх в логічних символах:

$\ textit {A}\ стрілка вправо\ neg\ textit {B}$
$\ текст {B}$
$\text{[math]}$

$\ textit {P}\ стрілка вправо\ neg\ textit {Q}$
$\ текст {Q}$
$\text{[math]}$

Щоб побачити, що ці два аргументи мають спільного, ми повинні абстрагуватися від (або ігнорувати або залишити осторонь) конкретного змісту їх конкретних приміщень та висновків, і тим самим виявити загальну форму, яка є спільною для цих аргументів. Наприклад, ми повинні ігнорувати, чи є Алекс трояндою чи ні; все, що важливо, - замінити «Алекс - це троянда» на Б. У цьому сенсі, щоб отримати або витягти логічну форму аргументу, ми повинні абстрагуватися від змісту приміщень та висновку, розглядаючи їх як простих власників місць у формі, яку демонструє аргумент. Як ви могли помітити, ми не витягуємо зміст логічних зв'язків. Важливе питання про те, чому ми не абстрагуємося від логічних зв'язків. Основна думка полягає в тому, що їх значення становить важливу частину логічної форми аргументу, і тим самим у визначенні його (в) дійсності.

Щоб говорити про логічні форми, ми будемо використовувати малі грецькі $\ альфа,\ бета,\ гамма,$ літери, такі як і $\ дельта$ . Наприклад, ми можемо представити логічну форму, яку поділяють (1) - (3) та (7) - (9) наступним чином:

$\ альфа\ стрілка вправо\ neg\ бета$
$\ бета$
$\text{[math]}$

Тут може допомогти аналогія: в математиці ми думаємо про конкретні арифметичні пропозиції, такі як « $1 + 2 = 2 + 1$ » і «» $0 + 2 = 2 + 0$ . Але коли ми хочемо узагальнити, ми використовуємо формули, які містять змінні, а не конкретні числа. Наприклад, « $х + у = у + х$ » виражає щось загальне про поведінку натуральних чисел. Що б не означали натуральні числа x та y, « $х + у = у + х$ » залишається істинним. Те ж саме стосується змінних $\ альфа,\ бета,\ гамма,$ і $\ дельта$ , які дозволяють нам говорити загальним чином про передумови та висновки аргументів. Яке б значення $\ альфа$ і $\ бета$ не давалося, тобто які б пропозиції вони не висловлювали, (i) - (iii) залишається дійсним, як і всі його екземпляри, такі як (1) - (3) і (7) - (9).

Як вже говорилося вище, витяг певної логічної форми дозволяє говорити, в загальному вигляді, про передумови і висновки аргументів. Не має значення, про які конкретні об'єкти та властивості - про який конкретний предмет мають значення - вони говорять. І це призводить нас, знову ж таки, до нашої первісної турботи про реальний предмет логіки:

Таким чином, форма може вивчатися незалежно від предмета-матерії, і саме в силу їх форми, як виявляється, а не їх предмета, аргументи є дійсними або недійсними. Звідси саме форми аргументів, а не самі фактичні аргументи, які досліджує логіка. (Леммон 1971, 4)

Відповідно до цієї концепції логіки, логіки можуть оцінити обґрунтованість аргументу, навіть якщо вони не чітко розуміють зміст претензій всередині аргументу, а також за яких умов вони були б правдивими. Незалежно від того, чи є твердження в аргументах істинними, отже, не є питанням логіки. Натомість логіка полягає в тому, щоб дослідити логічні форми аргументів і тим самим встановити їх (в) обґрунтованість.

Природа логічних форм

У цьому та наступному розділі ми розглянемо більш філософські питання. У цьому розділі ми обговоримо наше друге питання: яка природа логічної форми? Питання про природу логічної форми нагадує стародавнє питання про природу універсалій. Всі червоні троянди мають щось спільне; всі вони поділяють або створюють щось. Але що це за річ, якщо це взагалі річ? Чи властивість бути червоним схожим на платонічний універсал, який існує незалежно від червоних троянд, які його екземпляри? Або це схоже на Аристотельський універсал, існування якого залежить від існування конкретної троянди? Можливо, він взагалі не має ніякого існування; це не що інше, як ім'я чи етикетка, які ми використовуємо, щоб говорити про червоні троянди. Ми можемо задати точно паралельні питання про логічні форми: Що таке, що всі достовірні аргументи однієї форми поділяють або екземпляри? Це сутність у світі, або символ мовою, або ментальна конструкція, сформована і створена нами?

Припускаючи, що логічні форми існують, які вони? Тут є, загалом, дві лінії думки. Згідно з першими, логічні форми є схемами, а значить, і є лінгвістичними утвореннями. Згідно з другим, логічні форми - це властивості: вони є позалінгвістичними сутностями, схожими на універсалії. Вони є те, що схеми виражають або представляють. (Тут може допомогти аналогія: вираз «щасливий» - це присудок; це лінгвістичний елемент. Але він виражає позамовну сутність, таку як властивість бути щасливим.)

Виявлення логічних форм за допомогою схем представляється досить інтуїтивним. Але це призводить до помилки. Як зазначає Тімоті Смайлі, помилка полягає в «трактуванні середовища як повідомлення» (Smiley 1982, 3). Розглянемо логічну форму (1) - (3):

$\ альфа\ стрілка вправо\ neg\ бета$
$\ бета$
$\text{[math]}$

Вам може сподобатися, з рівним правом, ідентифікувати логічну форму (1) - (3) з:

$\ гамма\ стрілка вправо\ ng\ eta$
$\ ета$
$\text{[math]}$

І ще один логік може віддати перевагу захопити його логічну форму за допомогою чіткого набору змінних:

$\ chi\ стрілка вправо\ neg\ дельта$
$\ дельта$
$\text{[math]}$

Які з них є логічними формами (1) - (3)? Існує безліч різних способів зафіксувати його логічну форму. Який з них має право кваліфікуватися як логічна форма (1) - (3)? Це питання є актуальним, якщо логічні форми приймаються як схеми, а отже, і як мовні сутності. Якщо логічна форма - це просто рядок символів, то вона змінюється за допомогою чіткого набору змінних. Не буде недовільного способу вибору одного на відміну від будь-якого іншого як логічної форми заданого аргументу. Іншими словами, вибирати між цими лінгвістично відмінними сутностями не буде нічого, і, отже, жодна з них не може бути ототожнена з логічною формою вихідного аргументу.

Це може спонукати нас ідентифікувати логічні форми як незалежні від мови або інваріантні мови сутності. На цьому погляді логічні форми ототожнюються не зі схемами, а з тим, які схеми виражають або представляють. Вони є мирськими, а не лінгвістичними сутностями. Цей погляд не піддається вищезгаданій проблемі. Оскільки, з цієї точки зору, логічні форми є мирськими сутностями, жоден з перерахованих вище кандидатів—тобто (i) - (iii), (iv) - (vi), і (vii) - (ix) —є логічною формою (1) - (3). Швидше кожен з них виражає або представляє свою логічну форму.

Одна логічна форма чи багато?

Тоді здається, що ми опинимося в кращому становищі, якщо припустити, що логічні форми - це мирські сутності. Але це також не залишає нас повністю вдома і сухими. Поки що ми припускали, що логічні форми - це унікальні сутності. Тобто ми припустили, що такі аргументи, як (1) - (3) і (7) - (9) не мають однієї і тієї ж логічної форми. Але це так?

Взагалі предмети можуть приймати різні форми. Наприклад, конкретний сонет може бути як Петрарчаном, так і Мілтоніком, а ваза може бути як кубовидной, так і кубиком. ^[2] Крім того, здається, що одне речення може приймати багато (принаймні, більше однієї) форми. Розглянемо $\ neg (\ textit {P}\ стрілка вправо\ neg\ textit {Q})$ . Яка її логічна форма? Здається, що кожен з наступних варіантів чудово працює як відповідь на наше запитання: це заперечення; це заперечення умовного; і це заперечення умовного, наслідком якого є заперечення. ^[3]

Тепер припустимо, що кожна з цих логічних форм є логічною формою даного аргументу. В силу чого кожна з них є логічною формою одного і того ж аргументу? Тобто чим пояснюється той факт, що різні логічні форми - це форми одного і того ж аргументу? Що їх об'єднує в цьому відношенні? Одна відповідь - сказати, що всі ці форми мають загальну логічну форму. Але потім можна задати одне і те ж питання про цю поширеній логічній формі, так як ця сама форма має і далі різні форми. В силу чого це логічні форми форми однієї і тієї ж форми? І цей процес може йти нескінченно. У вас є логічна форма, яка сама по собі має інші логічні форми і так далі. Але це не сумісно з тезою про те, що логічні форми - це унікальні сутності. ^[4]

Питання для роздумів

Здається, ми не завжди можемо говорити про логічну форму, яку поділяє аргумент чи різні аргументи. Якщо ця точка зору вірна, то які його філософські наслідки? Чи можемо ми ще зрозуміти поняття дійсності з точки зору поняття логічної форми?

Резюме

Цей розділ розпочався з питання про предмет формальної логіки: що це, що вивчає формальна логіка? Обговорюється теза про те, що формальна логіка вивчає логічні наслідки через форму аргументів. Потім ми експлуатували поняття дійсності з точки зору таблиць істини, які визначають умови, за яких пропозиція є істинною чи хибною - наприклад, умовна пропозиція є помилковою лише тоді, коли її попередник істинний, а його наслідок помилковий; інакше це правда. Таким чином, як ми обговорювали вище, істинні таблиці можуть бути використані для визначення того, чи є аргументи, сформульовані мовою логіки пропозицій, є дійсними.

Потім ми заглибилися в те, що означає аргументи мати логічну форму, і як їх логічна форма впливає на їх (в) обґрунтованість. Головна ідея полягає в тому, що кожен аргумент, який поділяє свою логічну форму з дійсним аргументом, також є дійсним, і, отже, кожен аргумент, який поділяє свою логічну форму з недійсним аргументом, також є недійсним. Ми побачили, як це розуміння поняття дійсності дозволяє нам виявляти формальні помилки, такі як помилка підтвердження наслідку. Ми закінчили цю главу, поставивши три філософські питання про природу, існування та унікальність логічних форм.

ВПРАВИ

Вправа перша

Використовуючи таблицю правди, показати, що наступний аргумент, який відомий як помилка підтвердження результату, є недійсним: $\text{[math]}$ .

Вправа друга

Використовуючи таблицю правди, як діє наступний аргумент, який відомий як гіпотетичний силогізм: $\text{[math]}$ . [Підказка: Ваша таблиця істини повинна мати вісім рядків, оскільки є три змінні пропозиції (A, B і C), які вам потрібно включити в неї.]

Вправа третя

Використовуйте таблиці правди, вже надані вам для умовного $(\ стрілка вправо)$ та заперечення $(\ neg)$ , а також дві нові таблиці істини для кон'юнкції $(\ клин)$ та диз'юнкції $(\ ве)$ нижче, які використовуються для логічного вираження загальних застосувань просторіччя «та» та «або» відповідно:

Таблиця істинності для сполучника
$A$	$Б$	$A\ клин B$
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

Таблиця істинності для диз'юнкції
$A$	$Б$	$А\ ве Б$
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Оцініть, чи є наступні аргументи дійсними чи недійсними. По-перше, визначте їх логічну форму, а потім використовуйте істинні таблиці для встановлення їх (в) дійсності.

Ми тепер знаємо ситуацію. Янкі або повинні перемогти Red Sox, або вони не зроблять його до Світової серії, і вони не будуть робити перший.
Сара здасть дискретний іспит з математики лише в тому випадку, якщо вона знає свою теорію набору. На щастя, вона добре знає теорію набору, тому вона здасть іспит.
Це просто не так, що ви можете бути лібералом і республіканцем, так що або ви не республіканець, або ви не ліберал.
Якщо Ділан йде до юридичної або медичної школи, то він буде в порядку фінансово. На щастя, він йде до юридичної школи.

Точніше сказати, що кожен аргумент, який поділяє свою форму з недійсним аргументом, також є недійсним у цій логіці, але не обов'язково для кожної логіки. Наприклад, в логіці пропозиції,
1. Всі люди смертні
2. Сократ - людина
3. $\text{[math]}$ Сократ смертний
має ту ж логічну форму, що і:
1. Всі люди безсмертні
2. Сократ - людина
3. $\text{[math]}$ Сократ смертний
Обидва ці аргументи можна перекласти наступним чином:
1. Р
2. Q
3. $\text{[math]}$ R
Але (4) - (6), на відміну від (1) - (3), є недійсним, бо якщо всі люди безсмертні, а Сократ - людина, то Сократ безсмертний. Таким чином, у логіці пропозицій обидва ці аргументи мають однакову логічну форму, хоча, з точки зору більш виразної логіки, такої як логіка першого порядку, яка пояснює роль, яку квантори, такі як «все» та «деякі», грають у аргументах, лише перший є дійсним. Таким чином, кожен аргумент, який поділяє свою форму з дійсним аргументом, є дійсним у межах цієї логіки, але не обов'язково по всій дошці. ←
Див. Олівер (2010, 172), де він не згоден зі Стросоном (195, 54). ←
Такий спосіб поставити крапку зобов'язаний Сміту (2012, 81). ←
Це нагадує аргумент Аристотеля Третьої людини проти теорії форм Платона. ←