Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 03: Правила заміни

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52249

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розглянемо, як би ви довели цей аргумент:\(F\) → (\(G\)&\(H\)),.. \(F\)→\(G\)

    Можливо, це спокусливо записати передумову та застосувати правило &E до сполучника (\(G\)&\(H\)). Однак це неприпустимо, оскільки основні правила доказування можуть застосовуватися лише до цілих речень. Нам потрібно отримати (\(G\)&\(H\)) на лінію самостійно. Довести аргумент можна таким чином:

    Тепер ми введемо деякі похідні правила, які можуть бути застосовані до частини речення. Вони називаються правилами заміни, оскільки вони можуть бути використані для заміни частини речення логічно еквівалентним виразом. Одне просте правило заміни - комутівність (скорочено Comm), яке говорить про те, що ми можемо поміняти порядок кон'юнктів у кон'юнкті або порядок диз'юнктів у диз'юнкції. Правило ми визначаємо таким чином:

    (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) ⇒ (\(\mathcal{B}\)&\(\mathcal{A}\))

    (\(\mathcal{A}\)⠀\(\mathcal{B}\)) ⇒ (\(\mathcal{B}\)⠀\(\mathcal{A}\))

    (\(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\)) ⇒ (\(\mathcal{B}\)↔\(\mathcal{A}\)) Ком

    Жирна стрілка означає, що ви можете взяти підформулу з одного боку стрілки і замінити її підформулою на іншій стороні. Стрілка двоголова тому, що правила заміни працюють в обидві сторони.

    Розглянемо такий аргумент\(M\): (\(P\)⠀) → (\(P\)&\(M\)),.. (\(P\)⠀\(M\)) → (\(M\)&\(P\))

    Навести доказ цьому можна, використовуючи тільки основні правила, але це буде довго і незручно. За допомогою правила Comm ми можемо легко надати доказ:

    Ще одне правило заміни - подвійне заперечення (ДН). За допомогою правила DN ви можете видалити або вставити пару заперечень будь-де в реченні. Це правило:

    ¬¬\(\mathcal{A}\) ⇒\(\mathcal{A}\) ДН

    Ще два правила заміни називаються Закони Де Моргана, названі на честь британського логіка 19-го століття Августа Де Моргана. (Хоча Де Морган відкрив ці закони, він не був першим, хто це зробив.) Правила фіксують корисні відносини між запереченням, кон'юнкцією та диз'юнкцією. Ось правила, які ми скорочуємо DeM:

    ¬ (\(\mathcal{A}\)⠀\(\mathcal{B}\)) ⇒ (¬\(\mathcal{A}\) &¬\(\mathcal{B}\))

    ¬ (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) ⇒ (¬\(\mathcal{A}\) ¬\(\mathcal{B}\)) ДеМ

    Оскільки\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\) є матеріалом умовним, він еквівалентний ¬\(\mathcal{A}\) ⠀\(\mathcal{B}\). Подальше правило заміни фіксує цю еквівалентність. Скорочуємо правило MC, для «матеріалу умовний». Він приймає дві форми:

    (\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)) ⇒ (¬\(\mathcal{A}\) ⠀\(\mathcal{B}\))

    (\(\mathcal{A}\)⠀\(\mathcal{B}\)) ⇒ (¬\(\mathcal{A}\) →\(\mathcal{B}\)) МС

    Тепер розглянемо цей аргумент: ¬ (\(P\)→\(Q\)),.. \(P\)&¬\(Q\)

    Як завжди, ми могли б довести цей аргумент, використовуючи лише основні правила. З правилами заміни, правда, доказ набагато простіше:

    Кінцеве правило заміни фіксує зв'язок між умовними та двоумовними. Ми назвемо це правило біумовним обміном і скорочуємо його ↔ ex.

    [(\(\mathcal{A}\)→\(\mathcal{B}\)) & (\(\mathcal{B}\)→\(\mathcal{A}\))] ⇒ (\(\mathcal{A}\)↔\(\mathcal{B}\)) ↔ екс