Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 02: Похідні правила

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52234

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Правила природної системи відрахування мають на увазі бути систематичними. Існує правило введення та усунення для кожного логічного оператора, але чому ці основні правила, а не деякі інші? Багато природних систем відрахування мають правило усунення диз'юнкції, яке працює так:

    Давайте назвемо це правило Дилема (DIL) Може здатися, що будуть деякі докази, які ми не можемо зробити з нашою системою доказів, тому що ми не маємо цього як основного правила. І все ж це не так. Будь-який доказ того, що ви можете зробити, використовуючи правило дилеми, можна зробити за допомогою основних правил нашої системи природного відрахування. Розглянемо цей доказ:

    \(\mathcal{A}\),\(\mathcal{B}\), і\(\mathcal{C}\) є мета-змінними. Вони не є символами SL, а stand-ins для довільних пропозицій SL. Так що це не є, строго кажучи, доказом в SL. Це більше схоже на рецепт. Він забезпечує шаблон, який може довести все, що може довести правило дилеми, використовуючи лише основні правила SL. Це означає, що правило дилеми насправді не є необхідним. Додавання його до списку основних правил не дозволило б нам вивести нічого, що ми не могли б вивести без нього.

    Проте правило дилеми було б зручно. Це дозволило б нам зробити в одному рядку те, що вимагає одинадцяти рядків і декількох вкладених піддоказів з основними правилами. Тож ми додамо його до системи доказів як похідне правило.

    Похідне правило - це правило доказування, яке не робить можливими будь-які нові докази. Все, що можна довести за допомогою похідного правила, може бути доведено без нього. Ви можете придумати короткий доказ, використовуючи похідне правило як скорочення для більш тривалого доказу, який використовує лише основні правила. У будь-який час, коли ви використовуєте правило дилеми, ви завжди можете взяти десять додаткових рядків і довести те ж саме без нього.

    Для зручності додамо ще кілька похідних правил. Одним з них є модус Толленс (MT).

    Доказ цього правила залишаємо як вправу. Зауважте, що якби ми вже довели правило MT, то підтвердження правила DIL могло бути зроблено лише у п'яти рядках.

    Ми також додаємо гіпотетичний силогізм (HS) як похідне правило. Доказ цього ми вже дали на стор. 109.