Розділ 2: Інтерпретації та моделі в QL

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52265

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У SL ключ інтерпретації або символізації визначає, що означає кожна з букв речення. Тлумачення букви пропозиції разом зі станом світу визначає, правда чи хибна буква пропозиції. Оскільки основними одиницями є літери пропозицій, тлумачення має значення лише в тій мірі, наскільки це робить літери речення істинними чи хибними. Формально семантика для SL строго з точки зору присвоєння істинних цінностей. Два тлумачення однакові, формально, якщо вони роблять для одного і того ж істинного присвоєння цінності.

Що таке інтерпретація в QL? Як і ключ символізації для QL, інтерпретація вимагає UD, схематичне значення для кожного з предикатів, і об'єкт, який вибирається кожною константою. Наприклад:

UD: персонажі коміксів
Fx:\(x\) бореться зі злочинністю.
б: Бетмен
w: Брюс Уейн

Розглянемо речення\(Fb\). Речення вірно в цій інтерпретації, але— так само, як і в SL— речення не вірно тільки через тлумачення. Більшість людей в нашій культурі знають, що Бетмен бореться зі злочинністю, але це вимагає трохи знань про комікси. Речення\(Fb\) вірно через тлумачення плюс деякі факти про комікси. Особливо це очевидно, якщо врахувати\(Fw\). Брюс Уейн є таємною особистістю Бетмена в коміксів— ідентичність стверджують\(b\) =\(w\) є true— так\(Fw\) це правда. Однак, оскільки це таємна ідентичність, інші персонажі не знають, що\(Fw\) це правда, навіть якщо вони знають, що\(Fb\) це правда.

Ми могли б спробувати охарактеризувати це як присвоєння істинного значення, як ми зробили для SL. Призначення значення істинності присвоїло б 0 або 1 кожному атомарному w:\(\),\(Fb\) Fw тощо. Якби ми зробили це, однак, ми могли б так само добре перевести речення з QL на SL шляхом заміни\(Fb\) і\(Fw\) з літерами речення. Тоді ми могли б покладатися на визначення істини для SL, але ціною ігнорування всієї логічної структури предикатів і термінів. При написанні символізаційного ключа для QL ми не даємо окремих визначень для\(Fb\) і\(Fw\). Замість цього ми даємо значення\(F\)\(b\), і\(w\). Це важливо, тому що ми хочемо мати можливість використовувати кількісні показники. Немає адекватного способу перекладу «\(xFx\)в SL».

Таким чином, ми хочемо формальний аналог тлумачення для присудків і констант, а не тільки для речень. Ми не можемо використовувати привласнення значення істинності для цього, тому що присудок не є ні істинним, ні помилковим. У трактуванні,\(F\) наведеному вище, вірно відноситься до Бетмена (\(Fb\)тобто вірно), але немає сенсу взагалі питати, чи правда саме\(F\) по собі. Це було б як запитати, чи є фрагмент англійської мови «... бореться зі злочинністю».

Що робить тлумачення для присудка, якщо воно не робить його істинним або хибним? Тлумачення допомагає вибрати об'єкти, до яких відноситься присудок. Інтерпретація\(Fx\) означає «\(x\)боротьба зі злочинністю» вибирає Бетмена, Супермена, Людини-павука та інших героїв як речі, які є\(Fs\). Формально це сукупність членів УД, до яких відноситься присудок; ця множина називається продовженням присудка.

Багато присудків мають нескінченно великі розширення. Було б недоцільно намагатися записувати всіх бойовиків злочинів коміксів окремо, тому замість цього ми використовуємо вираз англійською мовою для інтерпретації присудка. Це дещо неточно, тому що одне тлумачення не говорить вам, які члени УД знаходяться в розширенні присудка. Для того, щоб з'ясувати, чи є конкретний член UD в розширенні присудка (щоб з'ясувати, чи бореться Чорна блискавка, наприклад), вам потрібно знати про комікси. Взагалі, продовження присудка є результатом тлумачення поряд з деякими фактами.

Іноді можна перерахувати всі речі, які знаходяться в розширенні присудка. Замість того, щоб писати схематичне англійське речення, ми можемо записати розширення як набір речей. Припустимо, ми хотіли додати одномісне предикат\(M\) до ключа вище. Ми хочемо\(Mx\) мати на увазі '\(x\)живе в Wayne Manor', тому ми пишемо розширення як набір символів:
extension (\(M\)) = {Брюс Уейн, Альфред дворецький, Дік Грейсон}

Вам не потрібно нічого знати про комікси, щоб мати можливість визначити, що в цій інтерпретації\(Mw\) це правда: Брюс Уейн просто визначено, щоб бути однією з речей, які є\(M\). \(xMx\)Аналогічно, очевидно вірно в цій інтерпретації: Існує принаймні один член УД, який є\(M\) - насправді, їх три.

А як щодо речення\(xMx\)? Речення є помилковим, оскільки невірно, що всі члени УД є\(M\). Це вимагає найголішого мінімуму знань про комікси, щоб знати, що є й інші персонажі, крім лише цих трьох. Хоча ми визначили розширення формально точно, ми все ж вказували UD з описом англійської мови.\(M\) Формально кажучи, UD - це всього лише набір членів.

Формальне значення присудка визначається його розширенням, але що говорити про константи на кшталт\(b\) і\(w\)? Значення константи визначає, який член УД вибирається константою. Індивід, який константа вибирає, називається референтом константи. Обидва\(b\) і\(w\) мають однаковий референт, так як вони обидва відносяться до одного і того ж персонажа коміксів. Ви можете думати про постійну букву як ім'я, а референт як річ названа. Англійською мовою ми можемо використовувати різні назви «Бетмен» та «Брюс Уейн» для позначення одного і того ж персонажа коміксів. У цій інтерпретації ми можемо використовувати різні константи '\(b\)' і\(w\) 'для позначення одного і того ж члена UD.

Набори

Ми використовуємо фігурні дужки '{' і '}' для позначення множин. Члени множини можна перераховувати в будь-якому порядку, розділяючи їх комами. Важливим є той факт, що набори можуть бути в будь-якому порядку, тому що це означає, що {foo, bar} і {bar, foo} є одним і тим же набором.

Можна мати набір без членів в ньому. Це називається порожнім набором. Порожній набір іноді записується як {}, але зазвичай він записується як єдиний символ ∅.

Моделі

Як ми бачили, інтерпретація в QL є лише формально значущою, оскільки вона визначає UD, розширення для кожного присудка та референт для кожної константи. Ми називаємо цю формальну структуру моделлю для QL.

Щоб побачити, як це працює, розглянемо цей ключ символізації:

УД: Люди, які грали в складі «Трьох Стоугес
Hx»:\(x\) мали волосся на голові.
f: Містер Файн

Якщо ви нічого не знаєте про Three Stooges, ви не зможете сказати, які пропозиції QL вірні в цій інтерпретації. Можливо, ви просто пам'ятаєте Ларрі, Керлі та Мо. Речення\(Hf\) істинне чи хибне? Це залежить від того, який з палят є Містер Файн.

Яка модель відповідає цій інтерпретації? Було шість людей, які грали в складі Трьох Stooges протягом багатьох років, тому UD матиме шість членів: Ларрі Файн, Мо Говард, Кучеряве Говард, Шемп Говард, Джо Бессер, і Кучеряве Джо DeRita. Кучерявий, Джо та Кучерявий Джо були єдиними повністю лисими палятинами. В результаті виходить така модель:

UD = {Ларрі, Кучеряве, Мо, Shemp, Джо, Кучеряве Джо}
розширення (\(H\)) = {Ларрі, Мо, Shemp}
референт (\(f\)) = Ларрі

Вам не потрібно нічого знати про Three Stooges, щоб оцінити, чи є речення істинними чи хибними в цій моделі. \(Hf\)правда, так як референт\(f\) (Ларрі) знаходиться в розширенні\(H\). Обидва\(xHx\) і\(x\) ¬\(Hx\) вірні, оскільки існує принаймні один член UD, який знаходиться в розширенні\(H\) і принаймні один член, який не знаходиться в розширенні\(H\). Таким чином, модель фіксує все формальне значення тлумачення.

Тепер розглянемо таке тлумачення:

UD: цілі числа менше 10
Ex:\(x\) парне.
Nx:\(x\) негативний.
Lxy:\(x\) менше, ніж\(y\).
Txyz:\(x\) раз\(y\) дорівнює\(z\).

Яка модель поєднується з цією інтерпретацією? UD - це набір {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Розширення одномісного присудка на кшталт\(E\) або\(N\) є лише підмножиною UD, з якого істинний присудок. Грубо кажучи, продовженням\(E\) присудка є множиною\(Es\) в UD. Розширення\(E\) є підмножиною {2,4,6,8}. Є багато парних чисел, крім цих чотирьох, але це єдині члени УД, які є парними. Від'ємних чисел в UD немає, тому\(N\) має порожнє розширення; тобто extension (\(N\)) = ∅.

Розширення двомісного присудка на\(L\) кшталт дещо неприємно. Здається, що розширення\(L\) повинно містити 1, оскільки 1 менше всіх інших чисел; воно повинно містити 2, оскільки 2 менше, ніж всі інші числа, крім 1; і так далі. Кожен член УД крім 9 менше, ніж якийсь член УД. Що буде, якби ми просто написали extension (\(L\)) = {1,2,3,4,5,6,7,8}?

Проблема полягає в тому, що множини можуть бути записані в будь-якому порядку, тому це буде те саме, що написання extension (\(L\)) = {8,7,6,5,4,3,2,1}. Це не говорить нам, які з членів набору менше, ніж які інші члени.

Нам потрібен якийсь спосіб показати, що 1 менше 8, але що 8 не менше 1. Рішення полягає в тому, щоб розширення\(L\) складається з пар чисел. Впорядкована пара схожа на набір з двома членами, за винятком того, що порядок має значення. Пишемо впорядковані пари з кутовими дужками ''< 'and '>. <foo, bar>Впорядкована пара відрізняється від впорядкованої пари <bar, foo>. Розширення\(\) L - це сукупність впорядкованих пар, всі пари чисел в UD такі, що перше число менше другого. Виписуючи це повністю:

розширення (L) = {<1,2 >, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <1,6>, <1,7>,
<1,8>, <1,9>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <2,6>, <2,7>, <2,8>, <2,9>, <3,4>, <3,5>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>,
<3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6>, <3,6> 3,7>, <3,8>, <3,9>, <4,5>, <4,6>,
<4,7>, <4,8>, < ; 4,9>, <5,6>, <5,7>, <5,8>, <5,9>, <6,7>, <6,8>, <6,9>,
<7,8>, <7,9>, <8,9>}

Тримісні предикати працюватимуть аналогічно; розширення тримісного присудка - це набір впорядкованих трійок, де присудок істинний для цих трьох речей у такому порядку. Таким чином, розширення\(T\) в цій моделі буде містити впорядковані трійки, як <2,4,8>, тому що 2 × 4 = 8.

Як правило, розширення присудка\(n\) -place - це набір всіх впорядкованих\(n\) -кортежів <\(a\) ₁,\(a\) ₂,... ,\(a\) _n > такі, що\(a\) ₁ —\(a\) _n є членами UD, а присудок істинний\(a\) ₁ —\(a\) _n у такому порядку.