Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 1: Семантика для SL

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52261

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цей розділ надає сувору формальну характеристику істини, в\(SL\) якій ґрунтується на тому, що ми вже знаємо, роблячи таблиці істини. Ми змогли використовувати таблиці істинності, щоб надійно перевірити, чи є речення тавтологією в\(SL\), чи два речення були еквівалентними, чи є аргумент дійсним, і так далі. Наприклад:\(\mathcal{A}\) це тавтологія,\(SL\) якщо вона знаходиться\(T\) на кожному рядку повної таблиці істинності.

    Це спрацювало, тому що кожен рядок таблиці істинності відповідає тому, яким може бути світ. Ми розглянули всі можливі комбінації 1 і 0 для букв речення, які зробили різницю в реченнях, про які ми дбали. Таблиця істинності дозволила нам визначити, що буде з урахуванням цих різних комбінацій.

    Після того, як ми будуємо таблицю істинності, символи «1» та «0» розлучаються від їх металінгвістичного значення «істинного» та «помилкового». Ми інтерпретуємо «1» як значення «правда», але формальні властивості 1 визначаються характерними таблицями істинності для різних зв'язків. Символи в таблиці істинності мають формальне значення, яке ми можемо повністю конкретизувати з точки зору того, як працюють зв'язки. Наприклад,\(A\) якщо значення 1,\(\neg A\) то значення 0.

    Коротше кажучи: Істина в\(SL\) якраз є присвоєння 1 або 0.

    Щоб формально визначити істину в\(SL\), то, ми хочемо функцію, яка призначає 1 або 0 кожному з\ речень\(SL\). Ми можемо інтерпретувати цю функцію як визначення істини,\(SL\) якщо вона призначає 1 всім справжнім реченням\(SL\) і 0 всім помилковим реченням\(SL\). Викличте цю функцію\(v\) '' (для 'оцінка'). Ми\(v\) хочемо бути функція така, що для будь-якого речення\(\mathcal{A}\),\(v(\mathcal{A}) = 1\) якщо\(\mathcal{A}\) істинно і\(v(\mathcal{A}) = 0\) якщо\(\mathcal{A}\) помилково.

    Нагадаємо, що рекурсивне визначення wfor\(SL\) мало два етапи: Перший крок сказав, що атомні речення (одиночні літери речення) є wffs. Другий етап дозволив побудувати wffs з більш основних wff. Існували пункти визначення для всіх речень зв'язків. Наприклад, якщо\(\mathcal{A}\) є w, то\(\neg \mathcal{A}\) є w.

    Наша стратегія визначення функції істини також буде в два етапи.\(v\) Перший крок буде обробляти істину для атомних речень; другий крок буде обробляти істину для складних речень.

    Правда в\(SL\)

    Як ми можемо визначити істину для атомного речення\(SL\)? Розглянемо, наприклад, пропозицію\(M\). Без тлумачення ми не можемо сказати,\(M\) правда чи брехня. Це може означати що завгодно. Якщо ми використовуємо\(M\) для символізації «Місяць обертається навколо Землі», то\(M\) це правда. Якщо ми використовуємо,\(M\) щоб символізувати «Місяць - гігантська ріпа», то\(M\) це помилково.

    Більше того, спосіб, яким ви виявите, чи\(M\) є правдою чи ні, залежить від того, які\(M\) засоби. Якщо\(M\) означає «Це понеділок», то вам потрібно буде перевірити календар. Якщо\(M\) означає «Місяць Юпітера Іо має значну вулканічну активність», то вам потрібно перевірити текст астрономії - і астрономи знають, тому що вони відправили супутники для спостереження Іо.

    Коли ми даємо ключ символізації для\(SL\), ми надаємо інтерпретацію букв речення, які ми використовуємо. Ключ дає англомовне речення для кожної літери речення, яку ми використовуємо. Таким чином тлумачення визначає, що означає кожна з букв речення. Однак цього недостатньо, щоб визначити, чи є це речення істинним. Наприклад, речення про Місяць вимагають, щоб ви знали деяку рудиментарну астрономію. Уявіть собі маленьку дитину, який переконався, що Місяць - гігантська ріпа. Вона могла зрозуміти, що означає речення «Місяць - гігантська ріпа», але помилково подумала, що це правда.

    Розглянемо інший приклад: Якщо\(M\) означає «Зараз ранок», то чи правда це чи ні, залежить від того, коли ви читаєте це. Я знаю, що речення означає, але— так як я не знаю, коли ви будете читати this— Я не знаю, правда це чи помилково.

    Тож одне тлумачення не визначає, чи є речення істинним чи хибним. Істина чи фальш також залежить від того, яким є світ. Якби\(M\) мали на увазі «Місяць - гігантська ріпа», а справжній місяць - гігантська ріпа, то\(M\) було б правдою. Щоб поставити крапку загальним чином, правда чи фальш визначається інтерпретацією плюс способом, яким є світ.

    ТЛУМАЧЕННЯ + СТАН СВІТУ\(\implies\) ПРАВДА/ХИБНІСТЬ

    Надаючи логічне визначення істини, ми не зможемо дати звіт про те, як атомне речення стає істинним чи хибним світом. Замість цього ми введемо присвоєння істинного значення. Формально це буде функція, яка говорить нам істинне значення всіх атомних речень. Викликати цю функцію\(a\) '' (для 'присвоєння'). Ми визначаємо a для всіх букв речення\(\mathcal{P}\), такі, що

    \( a ( \mathcal { P } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \mathcal { P } \text { is true } } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right. \)

    Це означає, що a приймає будь-яке речення\(SL\) і призначає йому або одиницю, або нуль; одиницю, якщо речення істинне, нуль, якщо речення помилкове. Деталі функції\(a\) визначаються значенням букв пропозиції разом зі станом світу. Якщо\(D\) означає «На вулиці темно», то\(a\) (\(D\)) = 1 вночі або під час сильного шторму, тоді як\(a\) (\(D\)) = 0 у ясний день.

    Ви можете думати про те\(a\), щоб бути схожим на рядок таблиці правди. У той час як рядок таблиці істинності присвоює значення істини декільком атомним реченням, присвоєння значення істинності присвоює значення кожному атомному реченню\(SL\). Букви пропозицій нескінченно багато, і присвоєння істинного значення дає значення кожній з них. Будуючи таблицю істини, ми дбаємо лише про літери речень, які впливають на істинну цінність речень, які нас цікавлять. Таким чином, ми ігноруємо решту. Власне кажучи, кожен рядок таблиці істинності дає часткове присвоєння значення істинності.

    Важливо відзначити, що істина присвоєння цінності\(a\),, не є частиною мови\(SL\). Швидше, це частина математичної техніки, яку ми використовуємо для опису\(SL\). Він кодує, які атомні речення є істинними, а які помилковими. Тепер ми визначаємо функцію істинності, v, використовуючи ту ж рекурсивну структуру, яку ми використовували для визначення wff\(SL\).

    1. Якщо\(\mathcal{A}\) є буквою речення, то\(v\) (\(\mathcal{A}\)) =\(a\) (\(\mathcal{A}\)).

    2. Якщо\(\mathcal{A}\) є ¬\(\mathcal{B}\) для деякого речення\(\mathcal{A}\), то
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 0 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    3. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)&\(\mathcal{C}\)) для деяких речень\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\), то
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 1 \text { and } v ( C ) = 1 } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    Може здатися, ніби це визначення є круговим, оскільки воно використовує слово «і» у спробі визначити «і». Однак зауважте, що це не визначення англійського слова 'і'; це визначення істини для речень,\(SL\) що містять логічний символ '&'. Ми визначаємо істину для речень об'єктної мови, що містять символ '&', використовуючи слово metalanguage 'and.' У цьому немає нічого кругового.

    4. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)₵\(\mathcal{C}\)) для деяких речень\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\), то
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 0 \text { and } v ( \mathcal { C } ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    5. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)→\(\mathcal{C}\)) для деяких речень\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\), то
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = 1 \text { and } v ( C ) = 0 } \\ { 1 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    6. Якщо\(\mathcal{A}\) є (\(\mathcal{B}\)↔\(\mathcal{C}\)) для деяких речень\(\mathcal{B}\)\(\mathcal{C}\), то
    \( v ( \mathcal { A } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } v ( \mathcal { B } ) = v ( C ) } \\ { 0 } & { \text { otherwise } } \end{array} \right .\)

    Оскільки визначення\(v\) має ту саму структуру, що і визначення w, ми знаємо, що\(v\) присвоює значення кожному wof\(SL\). Оскільки речення\(SL\) та wffs однакові, це означає, що\(v\) повертає істинну цінність кожного речення\(SL\).\(SL\)

    Істина в завжди\(SL\) є істиною відносно деякого присвоєння істини цінності, тому що визначення істини для\(SL\) не говорить, чи є дане речення істинним чи хибним. Швидше, це говорить про те, як істина цього речення стосується присвоєння істинної цінності.

    Інші поняття в\(SL\)

    Працюючи з\(SL\) досі, ми обійшлися без точного визначення «тавтології», «протиріччя» тощо. Таблиці істинності надали спосіб перевірити, якщо речення є тавтологією\(SL\), але вони не визначали, що означає бути тавтологією в\(SL\). Ми дамо визначення цих понять для з\(SL\) точки зору тягне за собою.

    Співвідношення семантичного\(\mathcal{A}\) тягне за собою, означає\(\mathcal{B}\), що не існує привласнення істинного значення, для якого\(\mathcal{A}\) є\(\mathcal{B}\) істинним і помилковим. Якщо говорити по-іншому, це означає, що\(\mathcal{B}\) це вірно для будь-яких істинних цінностей, для яких\(\mathcal{A}\) вірно.

    Ми скорочуємо це символом, який називається подвійним турнікетом:\(\mathcal{A}\) |=\(\mathcal{B}\) означає «\(\mathcal{A}\)семантично тягне за собою»\(\mathcal{B}\).

    Ми можемо говорити про спричинення між більш ніж двома реченнями:

    {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} |=\(\mathcal{B}\)

    означає, що не існує привласнення значення істинності, для якого всі речення у множині {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} є істинними і\(\mathcal{B}\) є хибними.

    Ми також можемо використовувати символ лише з одним реченням: |=\(\mathcal{C}\) означає, що\(\mathcal{C}\) це вірно для всіх присвоєнь істинних значень. Це еквівалентно тому, щоб сказати, що речення тягне за собою що-небудь.

    Символ подвійного турнікета дозволяє дати стислі визначення для різних понять\(SL\):

    А тавтологія в\(SL\) - це\(\mathcal{A}\) таке речення, що |=\(\mathcal{A}\).
    Протиріччя в\(SL\) - це\(\mathcal{A}\) таке речення, що |= ¬\(\mathcal{A}\).
    Речення є умовним в тому випадку,\(SL\) якщо і тільки в тому випадку, якщо воно не є ні тавтологією, ні протиріччям.

    Аргумент «\(\mathcal{P}\)1,\(\mathcal{P}\) 2, ···,.. \(\mathcal{C}\)» діє тоді і тільки\(SL\) тоді, коли {\(\mathcal{P}\)1,\(\mathcal{P}\) 2, ···} |=\(\mathcal{C}\). Два речення\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) логічно еквівалентні в\(SL\) if і тільки якщо обидва\(\mathcal{A}\) |=\(\mathcal{B}\) і\(\mathcal{B}\) |=\(\mathcal{A}\).

    Логічну послідовність дещо складніше визначити з точки зору смислового потягу. Натомість ми визначимо його таким чином:

    Набір {\(\mathcal{A}\)1,\(\mathcal{A}\) 2,\(\mathcal{A}\) 3, ···} є послідовним у\(SL\) разі, якщо і тільки якщо існує хоча б одне присвоєння істинного значення, для якого всі речення є істинними. Безліч суперечливий в тому випадку,\(SL\) якщо і тільки немає такого призначення.