10.3: Поверхня, що генерує потік

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2924

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Подумайте про форми, на яких мармур міг би залишатися нерухомим, можливо, врівноваженим, на складній двовимірній поверхні в тривимірному просторі, з вершинами та долинами в їх структурі. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показані сім можливих конфігурацій для залишилися стаціонарними.

сім видів equilibria.JPG — Малюнок\(\PageIndex{1}\). *Сім видів рівноваг можливі як частина поверхонь, що визначають двовидові фазові простори.*

Конфігурація А - це вершина, висока точка щодо його оточення. Він вигинається вниз у всіх напрямках. Тому це нестабільно - мармур, що сидить зверху, може відкотитися в будь-якому напрямку.

Конфігурація С протилежна, таз. Поверхня вигинається вгору у всіх напрямках. Він стабільний, оскільки мармур, що відпочиває внизу, відкочується від порушення в будь-якому напрямку.

Конфігурація B схожа на поєднання А і С. Її називають «сідлом» за свою колись всюдисущу форму (праворуч). Він вигинається вгору в одних напрямках і вниз в інших. Мармур, що відпочиває в самому його центрі, нестійкий, оскільки він може відкотитися в багатьох напрямках.

Конфігурації D, E і F пов'язані з A, B і C, але рівні принаймні в одному напрямку. А «хребет», конфігурація D, має рівноваги по всій його вершині. Мармур, врівноважений нестабільно там і підштовхнутий міг би, можливо, перейти до нової рівноваги вздовж хребта, якби поштовх був вирівняний з нескінченною точністю; майже напевно, однак, мармур скотився. Ця конфігурація має нескінченну кількість рівноваг - по всьому хребту - але жодна з них не є стабільною.

А «жолоб», конфігурація F, протилежна хребту, з рівновагами по всьому нижньому рівнях. Мармур, що відпочиває там і підштовхне, перейде в нове положення рівноваги біля основи корита. Знову існує нескінченна кількість рівноваг - по всій основі - але жодне не є стабільним, тому що, штовхаючись уздовж корита, мармур не повертається до свого попереднього місця. Рівноваги нейтрально стабільні, однак, в екологічному погляді.

«Перегин», конфігурація E, схожа на комбінацію D і F, змінюючи нахил і стає рівнем, але потім відновлюючи той же напрямок, що і раніше, і не змінюючись на протилежний нахил. Він теж має лінію рівня з нескінченною кількістю рівноваг, всі нестійкі, з мармурами, що відкочуються від найменшого поштовху в половині можливих напрямків.

Конфігурація G, ідеально рівна «рівнина», мабуть, найлегше зрозуміти. Мармур може відпочивати де завгодно, тому кожна точка на рівній поверхні - це рівновага. Але мармур не повернеться в колишнє положення, якщо підштовхнути, тому ніяка рівновага на рівній поверхні не буде стабільною. В екології таку ситуацію іноді називають «нейтрально стабільною»; в математиці її називають «нестабільною».

За допомогою тривимірних зображень та когнітивної сили людини можна з першого погляду візуалізувати поверхню, наприклад, на малюнку 10.1.1, і судити про наслідки для популяцій, що ростуть відповідно до рівнянь, які відповідають цій поверхні. Ви можете з першого погляду побачити, чи згинається він скрізь або вниз, якщо він поєднує напрямки вгору і вниз, або якщо він має рівні плями. Ви можете класифікувати кожну рівновагу на конфігурації фігури\(\PageIndex{1}\). Але як це судження можна кількісно оцінити, зробити автоматичним?

Метод власних векторів та власних значень робить це. Подумайте про префікс eigen - як про значення «власне», як у «правильному векторі» або «належному значенні». Ідея стане зрозумілою незабаром. Метод власних векторів і власних значень розроблявся поетапно протягом більш ніж двох століть одними з кращих математичних умів, і тепер ми можемо застосувати його в цілості й схоронності до екології.

сторінка 138 зображення 37443584 — Малюнок 10.1.1, з нахилом поверхні (її перша похідна, dy/dx, середина) і змінами цього нахилу (його друга похідна, d ² y/dx ², дно)

Подумайте про одновимірному зрізі через поверхню малюнка 10.1.1, послідовно проходячи через точки B, A, C і далі. Це виглядало б як верхня частина малюнка\(\PageIndex{2}\) Як і раніше, мармур, збалансований точно на А, був би нестійким, готовим котитися або до B або C. Точки рівноваги - це точки рівня, де нахил дорівнює нулю, оскільки вони знаходяться на поверхні малюнка 10.1.1 З числення, це де похідна дорівнює нулю, де dy/dx = 0. Ті ухили нуля позначені зеленими горизонтальними лініями на малюнку.

Середній графік малюнка\(\PageIndex{2}\) показує знак похідної, dy/dx, плюс або мінус. Знакова функція на вертикальній осі, sgn (u), дорівнює нулю, якщо u дорівнює нулю, але дорівнює плюс-мінус одиниці, якщо u позитивний або негативний відповідно. Чи рівновага знаходиться в жолобі або на вершині визначається тим, як нахил змінюється саме в точці рівноваги. З числення, тобто другої похідної\(\frac{d^2y}{dx^2}\), записуючи зміни в першій похідній, dy/dx - так само, як перша похідна записує зміни в самій поверхні.

Знак другої похідної показаний в нижній частині малюнка\(\PageIndex{2}\). Скрізь, де нахил збільшується в точці рівноваги - тобто змінюється від похилого вниз ліворуч до похилого вгору праворуч - це басейн. Скрізь, де вона зменшується в точці рівноваги - змінюється від похилого вгору ліворуч до похилого вниз праворуч - це вершина. Чи є точка рівноваги стабільною чи ні, таким чином, можна визначити математично лише за ознакою другої похідної поверхні в цій точці!

Це легко, якщо є тільки один вид, як у моделям попередніх глав, з лише одним напрямком для розгляду. Але стає складним, коли два або більше видів взаємодіють, бо стає доступним нескінченна кількість напрямків.

альт — Малюнок\(\PageIndex{3}\) *Часткові похідні, власні вектори та стійкість.*

часткова deriv.JPG — Малюнок\(\PageIndex{3}\) *Часткові похідні, власні вектори та стійкість.*

Може здатися, що конфігурація буде басейном, якщо поверхня крива вгору в обох напрямках x і y, як у конфігурації C малюнка\(\PageIndex{1}\). Але подивіться на три частини фігури\(\PageIndex{3}\). Частина А являє собою поверхню з жолобом, вирівняним з осями.

Дивлячись вздовж осі x - яка була б віссю N ₁, що показує велику кількість видів 1 - поверхня вигинається по обидва боки свого мінімуму (біла крива). Однак, дивлячись вздовж осі y - осі N ₂, що показує велику кількість видів 2 - виявляє, що вона точно рівна в цьому напрямку (зелена лінія), тобто рівновага не є стабільною.

Але припустимо, що та ж поверхня повернена на 45 градусів, як і в частині B фігури. Поверхня крива вгору не тільки вздовж осі x (біла крива), але і по осі y (зелена крива). І все ж поверхня однакова. На відміну від того, що можна було очікувати, вигин вгору як у напрямках x, так і у не означає, що конфігурація є басейном! Розуміння структури означає дивитися в правильних напрямках уздовж поверхні, а не просто по осях.

Це те, що роблять власні значення та власні вектори. Вони вирівнюються з «правильними» осями для поверхні, як показано в частині С. Незалежно від того, наскільки скручена, перекошена або змінена масштаб поверхні щодо осей, власні вектори вирівнюються з «правильними» осями поверхні, а власні значення вимірюють, чи нахил збільшується чи зменшується вздовж них осі при рівновазі.

Коробка\(\PageIndex{1}\) rules of eigenvalues for hill-climbing systems

Якщо всі власні значення від'ємні, рівновага стабільна.
Якщо будь-яке власне значення позитивне, рівновага нестабільна.
Якщо деякі або всі власні значення дорівнюють нулю, а будь-які інші власні значення від'ємні, у власних значеннях недостатньо інформації, щоб знати, стабільна рівновага чи ні. Необхідний більш глибокий погляд на систему.

Коротше кажучи, якщо всі власні значення позитивні, рівновага - це тазик, як на малюнках\(\PageIndex{1}\) 10.1.1C і C. Якщо всі власні значення негативні, рівновага - це вершина, як на малюнках\(\PageIndex{1}\) 10.1.1A і A. І якщо власні значення мають змішані знаки, або якщо деякі - нуль, то отримуємо одне з інших конфігурації. (Див. Коробка\(\PageIndex{1}\))

Малюнок\(\PageIndex{2}\), рівновага в системі альпінізму є стабільним, якщо схил зменшується (негативний знак), а не збільшується (позитивний знак). Оскільки людська інтуїція так добре застосовується до мармуру, що скочується з висоти і осідає на мілководді, ми вирішили спочатку це інтуїтивно пояснити, але важливо зрозуміти обидва способи.

Виявляється, належні осі в кожній точці рівноваги - власні вектори - можна визначити точно лише з чотирьох чисел, і наскільки нахил збільшується або зменшується в кожній точці рівноваги - власні значення - можна визначити одночасно з тих же чотирьох чисел. Це чотири часткові похідні в тому, що називається «матрицею Гессіана» поверхні, або, що еквівалентно в «якобійській матриці» рівнянь зростання популяції. Розуміння цих матриць та їх застосувань склалося в математиці протягом останніх двох століть.

Витрачаючи певні зусилля та увагу, ви можете математично опрацювати власні значення за допомогою олівця та паперу. Однак ви, швидше за все, будете використовувати комп'ютери для оцінки власних значень екологічних систем. Це можна зробити за допомогою абстрактних символів в комп'ютерних пакетах, таких як Mathematica або Maxima, або чисельно в мовах програмування, таких як R. Для стандартних двовидових систем ми відпрацювали всі рівноваги і відповідні їм власні значення. Вони записуються в таблиці\(\PageIndex{1}\) в математичних позначеннях і в програмі\(\PageIndex{1}\) як код, і ідентифікують рівноваги та стабільність для всіх хижацтва, взаємності та конкуренції систем, представлених двовидовими формулами, які копіюються в таблицю для довідки.

Таблиця\(\PageIndex{1}\). Двовидові формули

Розташування	Рівновага	Власні значення
Походження (Обидва види вимерли)	(0,0)	\((\,r_1,\,r_2)\)
Горизонтальна вісь (Види 1 і К ₁)	\(-\frac{r_1}{s_{1,1}}\,\,0\)	\(-r_1,\,\frac{q}{s_{1,1}}\,)\)
Вертикальна вісь (Види 2 і К ₂)	\(0,\,-\frac{r_2}{s_{2,2}}\)	\(-r_2\,\frac{p}{s_{2,2}}\)
Інтер'єр (Співіснування)	\(\frac{p}{a}\,,\,\frac{q}{a}\)	\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

із

а = с _1,2 с _2,1 − с _1,1 с _2,2

b = r ₁ с _2,2 (s _2,1 −с _1,1) + r ₂ с _1,1 (s _1,2 −с _2,2)

c = −pq

р = р ₁ с _2,2 −р ₂ с _1,2

q = r ₂ с _1,1 −р ₁ с _2,1

в екологічних рівняннях для двох взаємодіючих видів,

\(\frac{1}{N_1}\,\frac{dN_1}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{1,1}N_1\,+\,s_{1,2}N_2\)

\(\frac{1}{N_2}\,\frac{dN_2}{dt}\,=\,r_2\,+\,s_{2,2}N_1\,+\,s_{2,1}N_1\)

де

N ₁, N ₂ - чисельність популяції видів 1 і 2

r ₁, r ₂ - це внутрішні темпи зростання

s _1,1, s _2,2 виміряти види впливу на себе

s _1,2, s _2,1 виміряти ефекти між видами

р = r1*s22 -r2*s12; # Обчислити корисний суб

q = r2*s11 -r1*s21; # формули.

а = с12*с21 -с11*с22;

б = р1*с22* (с21-с11) +р2*с11* (с12-с22);

c = -p*q; # Обчислити рівноваги.

x00=0; y00=0; # (на початку)

x10=-r1/s11; y10=0; # (на осі х)

x01=0; y01=-r2/s22; # (по осі у)

x11=p/a; y11=q/a; # (в інтер'єрі)
v00= r1; w00=r2; # Обчислити відповідний

v10 = -r1; w10 = q/s11; # чотири пари власних значень

v01 = -r2; w01 = п/с22; # (тільки реальна частина).

v11 = (-б-SQRT (б ^ 2-4* а* с))/(2* а);

w11 = (-B+SQRT (б ^ 2-4*а*с))/(2*а);

Програма\(\PageIndex{1}\). Код, еквівалентний таблиці\(\PageIndex{1}\), для використання в комп'ютерних програмах. Sqrt (w) - спеціально записана функція, яка повертає 0, якщо w від'ємне (повертає дійсну частину комплексного числа 0 +\(\sqrt{w}\,i\)).

Формули в таблиці\(\PageIndex{1}\) працюють для будь-якої двовидової моделі RSN - тобто будь-якої моделі форми\(\frac{1}{N_i}\frac{dN_i}{dt}\,=\,r_1\,+\,s_{i,i}N_i\,+\,s_{i,j}N_j\) з постійними коефіцієнтами, але формули для інших моделей повинні бути отримані окремо, з програмного пакету або наступних методів для якобійських матриць.

коробка\(\PageIndex{2}\) parameters for a sample Competitive system

\(r_1\,=\,1.2\)	\(r_2\,=\,0.8\)	Інтриністичний темп зростання
\(s_{1,1}\,=\,-1\)	\(s_{2,2}\,=\,-1\)	Самообмеження термінів
\(s_{1,2}\,=\,-1.2\)	\(s_{2,1}\,=\,-0.5\)	Перехресні обмеження