Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.2: Фазовий простір

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    2931

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Хороший спосіб зрозуміти стрілки фазових просторів - уявити краплі дощу, що падають на криволінійний дах і протікають по його поверхні. На\(\PageIndex{1}\) малюнку зображена така поверхня.

    Перехідний surface.JPG
    Цифри 10.0.3 до 10.0.5.

    Чому мислення про краплі дощу на дахах будинків повинні допомогти нам зрозуміти фазові простори? Це пов'язано з тим, що самі диференціальні рівняння розташовані на математичних поверхнях - хоча іноді і вищих розмірних поверхнях - з точками динамічно протікають по поверхнях, подібно до крапель дощу, що протікають через дах. Це, звичайно, не зовсім те ж саме, але є корисним помічником для думки.

    Замість крапель дощу також може бути корисно думати про мармуровий кочення по поверхні. На дніmarble.JPG басейну в точці C на малюнку\(\PageIndex{1}\) мармур знаходиться в пастці. Поверхня йде вгору у всіх напрямках від цієї точки, тому після будь-якого невеликого порушення мармур знову скотиться на дно.

    Точка Б відповідає рівновазі у початку, стабільної в даному випадку, де обидва види вимерли. Мармур, що спирається на цю поверхню і відчуває невелике позитивне порушення подалі від походження, повинен рухатися в гору у всіх напрямках, тому він також повернеться до цієї рівноваги. Вона знаходиться нижче двовидової точки Allee.

    Наприклад, точка А розділяє дощ, що йде вліво, і дощ, що йде вправо. Басейн в точці С відповідає вантажопідйомності, точка B відповідає вимиранню на початку, а точка А відповідає нестійкій точці Аллі.

    Точка А, з іншого боку, відповідає точці Аллі. Мармур може бути збалансований ненадійно в цьому місці, з найменшим подихом повітря, що надсилає його на згасання при B або вантажопідйомності в басейні при C, залежно від незначних варіацій дихання. Мармуру, починаючи близько до будь-якої з осей котитися до початку, рівноваги B. мармуру, починаючи далі від осей, знаходяться на іншій стороні довгого гребеня і котитися до вантажопідйомності на C.