10.4: Приклад фазового простору

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2923

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для прикладу знаходження рівноваг і стійкості розглянемо два конкуруючих виду з внутрішніми темпами росту r ₁ = 1,2 і r ₂ = 0,8. Нехай кожен вид пригнічує себе таким чином, що s _{1,1 =−1} і s _2,2 =−1, нехай Види 2 пригнічують види 1 сильніше, ніж він пригнічує себе, з s _1,2 = −1.2, і нехай види 1 інгібують види 2 менш сильно, ніж інгібують сам, з s _2,1 =−0,5. Ці умови узагальнені у графі 10.2.2 для довідки. Питання в тому, які рівноваги в цій конкретній конкурентній системі, і якою буде їх стабільність?

По-перше, існує рівновага за походженням (0,0) в цих системах, де обидва види вимерли. Це іноді називають «тривіальним рівновагою», і воно може бути стабільним, а може і не бути. З таблиці 10.2.1 власні значення рівноваги на початку становлять r ₁ і r ₂ —в даному випадку 1.2 і 0,8. Вони обидва позитивні, тому з правил для власнихзначень у графі 10.2.1 рівновага на початку в даному випадку нестабільна. Якщо на території не існує жодних особин будь-якого виду, жодна не виникне. Але якщо будь-які особини будь-якого виду якимось чином прибудуть в цей район, або якщо обидва види прибудуть, популяція збільшиться. Таким чином, ця рівновага нестабільна. Це показано на діаграмі фазового простору фігури\(\PageIndex{1}\), along with the other рівноваги в системі.

коробка\(\PageIndex{1}\) calculated results for the sample competitive system

Рівновага	Координати	Власні значення	Стан
Походження	(0,0)	(1.2,0.8)	Нестабільний
Горизонтальна вісь	(1,2,0)	(-1,2,0,2)	Нестабільний
Вертикальна вісь	(0,0,8)	(-0,8,0.24)	Нестабільний
Інтер'єр	(0,6,0,5)	(-0.123, -0.977)	Стабільна

На горизонтальній осі, де Виду 2 немає, рівновага Виду 1 дорівнює N' ₁ = − r ₁ /s _1,1 = 1,2. Це так, як очікувалося - це так само, як рівновага N '= - r /s для одного виду - тому що це дійсно єдиний вид, коли Виду 2 немає. Що стосується стабільності, то одним власним значенням є − r ₁, що дорівнює −1.2, що є від'ємним, тому воно не призведе до нестабільності. Для іншого власного значення при цій рівновазі потрібно обчислити q з таблиці 10.2.1. Ви повинні отримати q =−0.2, а якщо розділити його на s _1,1, ви отримаєте 0.2. Це позитивне, тому за правилами власнихзначень у графі 10.2.1 рівновага на горизонтальній осі нестабільно. Таким чином, якщо Види 1 знаходиться в рівновазі і приріст Виду 2 прибуває, Види 2 збільшаться, а рівновага буде покинута.

Так само на вертикальній осі, де Види 1 немає, рівновага Виду 2 дорівнює N ₂ = − r ₂ /s _2,2 = 0,8. Обчисліть власні значення при цій рівновазі з таблиці 10.2.1, і ви повинні отримати p =−0,24, а діливши на s _2,2, дати власні значення −0,8 та 0,24. При одному негативному і іншому позитивному, за правилами власнихзначень у графі 10.2.1 рівновага на вертикальній осі також нестабільно.

Нарешті, для четвертого рівноваги - внутрішнього рівноваги, де присутні обидва види - обчислити a, b і c з таблиці. Ви повинні отримати значення =−0,4, b =−0.44 та c =−0,048. Тепер внутрішня рівновага дорівнює N' ₁ = p/a = 0,6 і N' ₂ = q /a = 0,5.

стабільна фаза space.JPG — Малюнок\(\PageIndex{1}\). *Фазовий простір на прикладі конкуренції зі стабільним співіснуванням узагальнено у* графах 10.2.2 і\(\PageIndex{1}\). *Стрілки обчислюються за кодом, подібним* до програми\(\PageIndex{1}\), *включених для довідки.*

Але чи стабільна вона? Зверніть увагу на формулу для власнихзначень внутрішньої рівноваги в таблиці 10.2.1, в перерахунку на a, b і c. Це просто квадратична формула! Це підказка про те, що власні значення вбудовані в квадратне рівняння, ax ² + bx + c = 0. І якщо ви почнете проект, щоб отримати формулу для власних значень олівцем і папером, ви побачите, що насправді вони є. У будь-якому випадку, опрацювавши це простіше за формулою в таблиці, ви повинні отримати −0.123 та −0.977. Обидва негативні, тому за правилами Box 10.2.1 внутрішня рівновага для цього набору параметрів стабільно.

Як завершальне зауваження, наявність квадратного кореня в формулі говорить про те, що власні значення можуть мати уявні частини, якщо квадратний корінь покриває негативне число. Правила власних значень у вікні 10.2.1 все ще застосовуються в цьому випадку, але тільки до реальної частини власних значень. Припустимо, наприклад, що власні значення є\(\frac{-1\pm\sqrt{-5}}{2}\,=\,-0..5\pm\,1.118i\). Вони були б стабільними, оскільки дійсна частина, −0.5, є від'ємною. Але виявляється, що через те,\(\pm\,1.118i\) що уявна частина не дорівнює нулю, система обертається навколо точки рівноваги, як це роблять системи хижак-здобич.

Завершуючи цю частину обговорення, слід зазначити, що власні вектори та власні значення мають електрон orbitals.JPG широке застосування. Вони виявляють, наприклад, електронні орбіталі всередині атомів (праворуч), вирівнювання декількох змінних у статистиці, коливальні режими фортепіано струн та швидкості поширення хвороби, і використовуються для багатьох інших застосувань. Запитати, як можна використовувати власні значення, це трохи схоже на запитання, як можна використовувати число сім. Однак тут ми просто використовуємо їх для оцінки стабільності рівноваг.

Програма\(\PageIndex{1}\) Sample програми в R для генерації фазового простору стрілок, що відображають місця початку і кінця стрілок, які передаються через графічну програму для відображення. Оператор 'while (1) 'означає «while forever», і це просто простий спосіб зберегти цикл, поки умови в нижній частині циклу не виявить кінець і вирватися.