10.1: Розділ Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 2929

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У моделями диференціальних рівнянь основна динаміка популяцій серед видів стає видимою з першого погляду в «фазовому просторі». Поняття та застосування фазових просторів спочатку були розроблені наприкінці дев'ятнадцятого століття Анрі Пуанкаре та іншими для динамічних систем фізики, але математичні основи також застосовуються до теорій екології. (Ліворуч знаходиться Пуанкаре, що сидить з Марією Кюрі на початковій конференції Solvay в 1911 році. Як цікава точка, Марі Кюрі є єдиною людиною, яка двічі вигравала Нобелівську премію з науки - і вона була номінована вперше перед захистом докторської!)

У фазовому просторі з двома видами, що взаємодіють - у конкуренції, хижацтва чи взаємності - велика кількість одного виду займає горизонтальну вісь, а іншого займає вертикальну вісь. Це робить кожну можливу пару значень популяцій (N ₁, N ₂) в точку у фазовому просторі.

Простір фаз 1.JPG — Малюнок\(\PageIndex{1}\). *Також відзначено фазовий простір з двома видами достатку та спрямованими похідними.*

Наприклад, виміряна середня чисельність 1,55 особин на квадратний метр для Виду 1 і 1,1 особин на квадратний метр для Виду 2 відповідає точці, позначеній «×» на малюнку\(\PageIndex{1}\) - 1,55 одиниць праворуч на горизонтальній осі та 1,1 одиниці вгору по вертикальній осі. Якщо вид 1 зустрічається рідко, при 0,05 особин на квадратний метр, а вид 2 - 0,85 особин на квадратний метр, точка в тому, що позначена «+», зліва на малюнку\(\PageIndex{1}\). Однак фазовий простір стосується не розміру популяцій, а скоріше про те, як популяції змінюються з часом. Ця зміна\(\frac{dN_1}{dt}\,=\,f_1\,(N_1,\,\,N_2),\frac{dN_2}{dt}\,=\,f_2\,(N_1,\,N_2))\) стає видимою як стрілки, що виходять з кожної точки.

Простір фаз 2.JPG — Малюнок\(\PageIndex{2}\). *Фазовий простір з двома видовими достатками і траєкторіями до рівноваг.*

Припустимо, що на момент вимірювання популяцій, позначених ×, Вид 1 дещо зменшується, а вид 2 зростає порівняно сильно. Зменшення для видів 1 означає переміщення вліво у фазовому просторі, тоді як збільшення для видів 2 означає рух вгору, як показано на вставці малюнка 10.1. Таким чином, чистий напрямок змін буде північно-північний захід. У зворотному напрямку, для популяцій, позначених +, якщо вид 1 трохи збільшується, а Вид 2 відносно сильно зменшується, напрямок змін буде південно-південним.

Стрілки в фазовому просторі вказують в бік безпосередньої зміни населення. Але зі зміною населення змінюються і екологічні умови, а шляхи криві. \(\PageIndex{2}\)На малюнку зеленим кольором показано, як змінюється популяція в цьому прикладі з плином часу. Пара достатку, починаючи з × рухається вгору, при цьому Species 1 зменшується спочатку, а потім обидва види збільшуються і, нарешті, приходять у спокій у зеленій точці, яка позначає спільну несучу здатність.

З +, з іншого боку, Вид 2 зменшується рівномірно, але Вид 1 спочатку збільшується, а потім змінює напрямок. У цьому випадку обидва види вимерли, приїхавши до походження (0,0). Щось істотне відокремлює + від ×.

Простір фаз 3.JPG — Малюнок\(\PageIndex{3}\). Фазовий простір з множинними рівновагами.

Про те, що їх розділяє, можна судити, обчисливши стрілку в багатьох точках по всьому фазовому простору (рис.\(\PageIndex{3}\)). Слідом за стрілками з будь-якої пари достатку (N ₁, N ₂) простежує майбутні достатки, які виникнуть з часом, і слідуючи стрілками назад, показує, як популяції могли розвиватися в минулому. Зверніть увагу, що стрілки начебто уникають відкритого кола поблизу лівого нижнього (приблизно на 0,5, 0,3). Це точка Аллі.

Деякі точки в фазовому просторі є винятковими: за певними спеціальними кривими стрілки спрямовані точно горизонтально або точно вертикально. Це означає, що одна з двох популяцій не змінюється - вид 1 не змінюється вздовж вертикальних стрілок, а Вид 2 незмінний уздовж горизонтальних стрілок. Ці спеціальні криві є ізоклінами - від коренів «iso -», що означає «однаковий» або «рівний», і «- клін», «що означає «нахил» або «напрямок».)

Простір фаз 4.JPG — Малюнок\(\PageIndex{4}\). *Фазовий простір з множинними рівновагами та ізоклінами.*

Дві ізокліни Види 2 показані червоним кольором на малюнку\(\PageIndex{4}\), одна вздовж горизонтальної осі, а інша піднімається і вигинається вправо. На горизонтальній осі велика кількість видів 2 дорівнює нулю. Тому він завжди залишатиметься нулем, тобто він не зміниться і зробить всю цю вісь ізокліном. Уздовж іншого червоного ізокліна стрілки виходять точно з ізоклінової точки точно вправо або вліво, тому що система точно збалансована таким чином, що велика кількість видів 2 не змінюється - вона не має вертикального руху.

Ситуація подібна для двох ізоклін Виду 1, показаних синім кольором на малюнках\(\PageIndex{4}\) і\(\PageIndex{5}\) —один вздовж вертикальної осі, а інший піднімається і згинається вгору. Уздовж синіх кривих стрілки виходять точно з ізоклінової точки точно вгору або вниз. Знову ж таки, вздовж синього ізокліна система точно збалансована таким чином, що велика кількість видів 1 не змінюється - вона не має горизонтального руху.

Простір фаз 5.JPG — Малюнок\(\PageIndex{5}\). *Фазовий простір з множинними рівновагами, ізоклінами та траєкторіями.*

Розуміння ізоклін системи проходить довгий шлях до розуміння динаміки системи. Там, де ізоклін одного виду зустрічається з ізокліном іншого, популяція жодного виду не змінюється і, отже, формується рівновага. Вони позначені колами. Зверніть увагу, що стрілки сходяться на заповнених колах (стійкі рівноваги) і розумно уникають відкритого кола (нестійкої рівноваги). І зверніть увагу, що всюди, де починається популяція (N ₁, N ₂), стрілки переносять його до одного з двох результатів (за винятком, технічно, починаючи з самої точки Allee, де вона делікатно залишиться, поки не збурене).

Для подальшої ілюстрації чотири криві зростання населення простежуються зеленим кольором на малюнку\(\PageIndex{5}\) та позначені як A, B, C та D. Усі починаються з однієї з популяцій у 2,0, а інша - на низькому або помірному рівні. І вони прямують до одного з двох стабільних рівноваг, уникаючи нестабільної рівноваги між ними. Ви можете переглянути ці чотири криві зростання, побудовані звичайним способом, як кількість видів проти часу, на малюнку\(\PageIndex{6}\). Синій вказує на вид 1, а червоний - вид 2.

Простір фаз 6.JPG — Фігура\(\PageIndex{5}\) *крізь час.*