11.7: Приклад: ПІД-контроль

Розглянемо випадок, коли маса$(m)$ ковзає по столу без тертя. Він має ідеальний підрулюючий пристрій, який генерує силу$u(t)$, але також піддається невідомому порушенню$d(t)$. Якщо лінійне положення маси є$y(t)$, і вона ідеально виміряна, у нас є рослина $$m y''(t) \, = \, u(t) + d(t).$$

Припустимо, що бажана умова просто$y(t) = 0$, з початковими умовами$y(0) = y_o$ і$y'(0) = 0$.

Тільки пропорційна

Пропорційний контролер самостійно викликає закон управління$u(t) = −k_p y(t)$, так що динаміка замкнутого циклу слідує

$$m y''(t) \, = \, - k_p y(t) + d(t).$$

За відсутності$d(t)$, ми бачимо, що$y(t) = y_o \cos \sqrt{\frac{k_p}{m}} t$, незначно стабільна реакція, яка небажана.

Лише пропорційна похідна

Нехай$u(t) = - k_p y(t) - k_d y'(t)$, і з цього випливає, що

$$m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_d y'(t) + d(t).$$

Система тепер нагадує масово-пружинну дашпот-систему другого порядку, де$k_p$ грає роль пружини, і$k_d$ частина приладової панелі. При надмірно великому$k_d$ значенні для система буде завищена і дуже повільно реагувати на будь-яку команду. У більшості застосувань допускається невелика кількість перенапруження, оскільки час відгуку коротший. $k_d$Значення критичного демпфування в цьому прикладі є$2 \sqrt{m k_p}$, і так правило є$k_d < 2 \sqrt{m k_p}$. Результат, який легко знайти за допомогою перетворення Лапласа,

$$y(t) \, = \, y_o e^{\frac{-k_d}{2m}t} \left[ \cos \omega_d t + \frac{k_d}{2 m \omega_d} \sin \omega_d t \right],$$

де$\omega_d = \sqrt{4m k_p - k_d^2} / 2m$. Ця реакція експоненціально стабільна за бажанням. Відзначимо, що якщо маса мала дуже велику кількість природного демпфування, для скасування деякого її ефекту і прискорення реакції системи можна$k_d$ було б використовувати негатив.

Тепер розглянемо, що відбувається, якщо$d(t)$ має постійний ухил$d_o$: він врівноважує саме пропорційну контрольну частину, врешті-решт осідаючи на$y(t = \infty) = d_o / k_p$. Щоб досягти хорошої$d_o$ відмови від$PD$ контролера, нам потрібно було б встановити$k_p$ дуже великий. Однак дуже великі значення$k_p$ будуть також приводити резонансну частоту$\omega_d$ вгору, що неприпустимо.

Пропорційна інтегральна похідна

Тепер давайте$u(t) = - k_p y(t) - k_i \displaystyle\int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t)$: у нас є

$$m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_i \int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t) + d(t).$$

Система управління тепер створила реакцію третього порядку із замкнутим циклом. Якщо$d(t) = d_o$, похідна часу призводить до

$$m y'''(t) + k_p y'(t) + k_i y(t) + k_d y''(t) = 0,$$

щоб$y(t = \infty) = 0$, за бажанням, за умови, що коріння були стійкими. Зауважимо, що для випадку$PD$ управління досить було вибрати$k_p$ позитивний і$k_d$ позитивний, оскільки ці терміни представляють сили пружинного та приладового типу. Використання$k_i$ ускладнює стабільність, однак, і в цілому недостатньо, щоб встановити всі три досягнення позитивними - стабільність повинна бути перевірена явно.