Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.7: Приклад: ПІД-контроль

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31659

    • Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
    • Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розглянемо випадок, коли маса\((m)\) ковзає по столу без тертя. Він має ідеальний підрулюючий пристрій, який генерує силу\(u(t)\), але також піддається невідомому порушенню\(d(t)\). Якщо лінійне положення маси є\(y(t)\), і вона ідеально виміряна, у нас є рослина\[ m y''(t) \, = \, u(t) + d(t). \]

    Припустимо, що бажана умова просто\(y(t) = 0\), з початковими умовами\(y(0) = y_o\) і\(y'(0) = 0\).

    Тільки пропорційна

    Пропорційний контролер самостійно викликає закон управління\(u(t) = −k_p y(t)\), так що динаміка замкнутого циклу слідує

    \[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) + d(t). \]

    За відсутності\(d(t)\), ми бачимо, що\(y(t) = y_o \cos \sqrt{\frac{k_p}{m}} t\), незначно стабільна реакція, яка небажана.

    Лише пропорційна похідна

    Нехай\(u(t) = - k_p y(t) - k_d y'(t)\), і з цього випливає, що

    \[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_d y'(t) + d(t). \]

    Система тепер нагадує масово-пружинну дашпот-систему другого порядку, де\(k_p\) грає роль пружини, і\(k_d\) частина приладової панелі. При надмірно великому\(k_d\) значенні для система буде завищена і дуже повільно реагувати на будь-яку команду. У більшості застосувань допускається невелика кількість перенапруження, оскільки час відгуку коротший. \(k_d\)Значення критичного демпфування в цьому прикладі є\(2 \sqrt{m k_p}\), і так правило є\(k_d < 2 \sqrt{m k_p}\). Результат, який легко знайти за допомогою перетворення Лапласа,

    \[ y(t) \, = \, y_o e^{\frac{-k_d}{2m}t} \left[ \cos \omega_d t + \frac{k_d}{2 m \omega_d} \sin \omega_d t \right], \]

    де\(\omega_d = \sqrt{4m k_p - k_d^2} / 2m\). Ця реакція експоненціально стабільна за бажанням. Відзначимо, що якщо маса мала дуже велику кількість природного демпфування, для скасування деякого її ефекту і прискорення реакції системи можна\(k_d\) було б використовувати негатив.

    Тепер розглянемо, що відбувається, якщо\(d(t)\) має постійний ухил\(d_o\): він врівноважує саме пропорційну контрольну частину, врешті-решт осідаючи на\(y(t = \infty) = d_o / k_p\). Щоб досягти хорошої\(d_o\) відмови від\(PD\) контролера, нам потрібно було б встановити\(k_p\) дуже великий. Однак дуже великі значення\(k_p\) будуть також приводити резонансну частоту\(\omega_d\) вгору, що неприпустимо.

    Пропорційна інтегральна похідна

    Тепер давайте\(u(t) = - k_p y(t) - k_i \displaystyle\int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t)\): у нас є

    \[ m y''(t) \, = \, - k_p y(t) - k_i \int\limits_{0}^{t} y(\tau) \, d\tau - k_d y'(t) + d(t). \]

    Система управління тепер створила реакцію третього порядку із замкнутим циклом. Якщо\(d(t) = d_o\), похідна часу призводить до

    \[ m y'''(t) + k_p y'(t) + k_i y(t) + k_d y''(t) = 0, \]

    щоб\(y(t = \infty) = 0\), за бажанням, за умови, що коріння були стійкими. Зауважимо, що для випадку\(PD\) управління досить було вибрати\(k_p\) позитивний і\(k_d\) позитивний, оскільки ці терміни представляють сили пружинного та приладового типу. Використання\(k_i\) ускладнює стабільність, однак, і в цілому недостатньо, щоб встановити всі три досягнення позитивними - стабільність повинна бути перевірена явно.