11.3: Стабільність

Стабільність в лінійних системах

У лінійних системах експоненціальна стійкість виникає, коли всі дійсні показники$e$ строго негативні. Сигнали зникають в межах експоненціальної оболонки. Якщо один показник є$0$, відповідь ніколи не спадає і не зростає в амплітуді; це називається граничною стабільністю. Якщо хоча б одна реальна експонента позитивна, то один елемент відповіді зростає без зв'язку, а система нестабільна.

$\Leftrightarrow$Поляки стабільності в LHP

У контексті розширень часткових дробів взаємозв'язок між стійкістю та розташуванням полюсів особливо чіткий. Функція одиниці кроку$1(t)$ має полюс на нулі; експоненціальна$e^{-at}$ має полюс в$-a$, і так далі. Всі інші пари мають однакову властивість: система стабільна тоді і тільки тоді, коли всі полюси зустрічаються в лівій половині комплексної площини. Маргінально стійкі частини корелюють з нульовою дійсною частиною, а нестабільні частини - з позитивною дійсною.

Загальна стабільність

Існує два визначення загальної стійкості, які застосовуються до систем з входом$u(t)$ і виходом$y(t)$.

1. Експоненціальна. Якщо$u(t) = 0$ і$y(0) = y_o$, то$|y(t)| < \alpha e^{-\gamma t},$ для деяких кінцевих$\alpha$ і$\gamma > 0$. Вихідні дані асимптотично наближаються до нуля, в межах загасаючої експоненціальної оболонки.
2. Обмежений вхід-обмежений вихід (BIBO). Якщо$y(0) = 0,$$|u(t) < \gamma, \, \gamma > 0$ і кінцеві, то$|y(t)| < \alpha, \, \alpha > 0$ і кінцеві.

У лінійних часових інваріантних системах два визначення ідентичні. Експоненціальну стабільність легко перевірити для лінійних систем, але для нелінійних систем стабільність BIBO зазвичай легше досягти.