Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.3: Стабільність

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31646

    • Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
    • Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Стабільність в лінійних системах

    У лінійних системах експоненціальна стійкість виникає, коли всі дійсні показники\(e\) строго негативні. Сигнали зникають в межах експоненціальної оболонки. Якщо один показник є\(0\), відповідь ніколи не спадає і не зростає в амплітуді; це називається граничною стабільністю. Якщо хоча б одна реальна експонента позитивна, то один елемент відповіді зростає без зв'язку, а система нестабільна.

    \(\Leftrightarrow\)Поляки стабільності в LHP

    У контексті розширень часткових дробів взаємозв'язок між стійкістю та розташуванням полюсів особливо чіткий. Функція одиниці кроку\(1(t)\) має полюс на нулі; експоненціальна\(e^{-at}\) має полюс в\(-a\), і так далі. Всі інші пари мають однакову властивість: система стабільна тоді і тільки тоді, коли всі полюси зустрічаються в лівій половині комплексної площини. Маргінально стійкі частини корелюють з нульовою дійсною частиною, а нестабільні частини - з позитивною дійсною.

    Загальна стабільність

    Існує два визначення загальної стійкості, які застосовуються до систем з входом\(u(t)\) і виходом\(y(t)\).

    1. Експоненціальна. Якщо\(u(t) = 0\) і\(y(0) = y_o\), то\(|y(t)| < \alpha e^{-\gamma t},\) для деяких кінцевих\(\alpha\) і\(\gamma > 0\). Вихідні дані асимптотично наближаються до нуля, в межах загасаючої експоненціальної оболонки.
    2. Обмежений вхід-обмежений вихід (BIBO). Якщо\(y(0) = 0,\)\(|u(t) < \gamma, \, \gamma > 0\) і кінцеві, то\(|y(t)| < \alpha, \, \alpha > 0\) і кінцеві.

    У лінійних часових інваріантних системах два визначення ідентичні. Експоненціальну стабільність легко перевірити для лінійних систем, але для нелінійних систем стабільність BIBO зазвичай легше досягти.