11.3: нестисливість
Численні експерименти, проведені за минулі 100%, показали, що метали практично нестисливі в пластичному діапазоні. Давайте розберемо наслідки цього фізичного факту в разі одновимірного випадку. Позначимо величину довжини призматичного бруса поl і площа його поперечного перерізу поA. Поточний обсяг секції калібру дорівнюєV=Al. Нестисливість означає, що обсяг повинен бути незмінним абоdV=0.
dV=d(Al)=dAl+Adl=0
З Equation\ ref {11.3.1} робимо висновок, що приріст деформаціїdϵ можна обчислити або шляхом відстеження довжини датчика або площі поперечного перерізу
dϵ=dll=−dAA
Інтеграція першої частини рівняння\ ref {eq0}
ϵ=lnl+C1
Константа інтеграції отримується, вимагаючи, щоб деформація зникла, коли довжинаl дорівнює початковій, еталонній довжиніlo, яка даєC=−lnlo. Таким чином
ϵ=lnllo
що є логарифмічним визначенням деформації, введене в главі 1. Аналогічно, інтегруючи другу частину Equation\ ref {eq0} з початковою умовою atA=Aoϵ=0, один отримує
ϵ=lnAoA
У напрузіl>lo абоA<Ao, отже, обидва рівняння\ ref {eq1} і\ ref {eq2} дають позитивну деформацію. При стисненні деформація негативна. Те ж саме стосується приросту деформаціїdϵ або швидкості деформації
˙ϵ=˙ll or ˙ϵ=−˙AA
З наведеного вище аналізу випливає просте розширення умови пластичної нестисливості в 3-D корпус. Розглянемо нескінченно малий об'ємний елементV=x1x2x3, Рисунок (11.3.1)
![11.3.1.png](https://eng.libretexts.org/@api/deki/files/22530/11.3.1.png)
Пластична нестисливість вимагає, щоб
dV=d(x1x2x3)=dx1(x2x3)+x1d(x2x3)=dx1x2x3+x1dx2x3+x1x2dx3
Розділивши обидві сторони вищевказаного рівняння на об'єм, отримують
dx1x1+dx2x2+dx3x3=0
або
dϵ11+dϵ22+dϵ33=0,dϵkk=0
Відзначаючиdϵ11=∂ϵ11∂tdt=˙ϵ11dt, що альтернативною формою стану нестисливості є
˙ϵ11+˙ϵ22+˙ϵ33=0,˙ϵkk=0
Сума діагональних складових тензора швидкості деформації повинна зникнути, щоб забезпечити нестисливість. З правила потоку (буде сформульовано пізніше) випливає, що при одновісному натягу вx1 напрямку компоненти˙ϵ22=˙ϵ33. Тому˙ϵ11+2˙ϵ22=0 або˙ϵ11+2˙ϵ33=0. Нарешті отримуємо
˙ϵ22=−0.5˙ϵ11,˙ϵ33=−0.5˙ϵ11
Коефіцієнт 0,5 можна інтерпретувати як коефіцієнт Пуассона
ν=−˙ϵ22˙ϵ11=−˙ϵ33˙ϵ11=0.5
Можна зробити висновок, що пластична нестисливість вимагає, щоб відношення Пуассона було рівним1/2, яке відрізняється від пружного відношення Пуассона, рівного˜0.3 для металів. Багато інших матеріалів, таких як гума, полімери та вода, є нестисливими.