Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.3: нестисливість

Численні експерименти, проведені за минулі 100%, показали, що метали практично нестисливі в пластичному діапазоні. Давайте розберемо наслідки цього фізичного факту в разі одновимірного випадку. Позначимо величину довжини призматичного бруса поl і площа його поперечного перерізу поA. Поточний обсяг секції калібру дорівнюєV=Al. Нестисливість означає, що обсяг повинен бути незмінним абоdV=0.

dV=d(Al)=dAl+Adl=0

З Equation\ ref {11.3.1} робимо висновок, що приріст деформаціїdϵ можна обчислити або шляхом відстеження довжини датчика або площі поперечного перерізу

dϵ=dll=dAA

Інтеграція першої частини рівняння\ ref {eq0}

ϵ=lnl+C1

Константа інтеграції отримується, вимагаючи, щоб деформація зникла, коли довжинаl дорівнює початковій, еталонній довжиніlo, яка даєC=lnlo. Таким чином

ϵ=lnllo

що є логарифмічним визначенням деформації, введене в главі 1. Аналогічно, інтегруючи другу частину Equation\ ref {eq0} з початковою умовою atA=Aoϵ=0, один отримує

ϵ=lnAoA

У напрузіl>lo абоA<Ao, отже, обидва рівняння\ ref {eq1} і\ ref {eq2} дають позитивну деформацію. При стисненні деформація негативна. Те ж саме стосується приросту деформаціїdϵ або швидкості деформації

˙ϵ=˙ll or ˙ϵ=˙AA

З наведеного вище аналізу випливає просте розширення умови пластичної нестисливості в 3-D корпус. Розглянемо нескінченно малий об'ємний елементV=x1x2x3, Рисунок (11.3.1)

11.3.1.png
Малюнок11.3.1: Неформовані та деформовані 1-D та 3-D об'ємні елементи.

Пластична нестисливість вимагає, щоб

dV=d(x1x2x3)=dx1(x2x3)+x1d(x2x3)=dx1x2x3+x1dx2x3+x1x2dx3

Розділивши обидві сторони вищевказаного рівняння на об'єм, отримують

dx1x1+dx2x2+dx3x3=0

або

dϵ11+dϵ22+dϵ33=0,dϵkk=0

Відзначаючиdϵ11=ϵ11tdt=˙ϵ11dt, що альтернативною формою стану нестисливості є

˙ϵ11+˙ϵ22+˙ϵ33=0,˙ϵkk=0

Сума діагональних складових тензора швидкості деформації повинна зникнути, щоб забезпечити нестисливість. З правила потоку (буде сформульовано пізніше) випливає, що при одновісному натягу вx1 напрямку компоненти˙ϵ22=˙ϵ33. Тому˙ϵ11+2˙ϵ22=0 або˙ϵ11+2˙ϵ33=0. Нарешті отримуємо

˙ϵ22=0.5˙ϵ11,˙ϵ33=0.5˙ϵ11

Коефіцієнт 0,5 можна інтерпретувати як коефіцієнт Пуассона

ν=˙ϵ22˙ϵ11=˙ϵ33˙ϵ11=0.5

Можна зробити висновок, що пластична нестисливість вимагає, щоб відношення Пуассона було рівним1/2, яке відрізняється від пружного відношення Пуассона, рівного˜0.3 для металів. Багато інших матеріалів, таких як гума, полімери та вода, є нестисливими.