Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.4: Умова врожайності

З попередньої секції одновісна умова плинності при розтягуванні/стисненні в напрямку x становить

σ11=±σy

У загальному 3-D всі шість компонентів тензора напружень сприяють врожайності матеріалу. Умова врожайності фон Мізеса набуває вигляду

12[(σ11σ22)2+(σ22σ33)2+(σ33σ11)2]+3(σ212+σ223+σ231)]=σ2y

або в коротких позначеннях

F(σij)=σy

Поетапне виведення вищевказаного рівняння наведено в наступному розділі. Тут розглядається кілька особливих випадків.

Принципова система координат

Всі недіагональні складові тензора напружень зникають,σ12=σ23=σ31=0. Потім рівняння (11.3.8) зменшується до

(σ1σ2)2+(σ2σ3)2+(σ3σ1)2=2σ2y

деσ1,σ2σ3 є основними напруженнями. Графічне зображення рівняння (?? ) - відкритий циліндр, нормаль до восьмигранної площини, рис. (11.4.1).

Рівняння прямої, нормальної до восьмигранної площині і проходить через початок, дорівнює

σ1+σ2+σ3=3p

деp - гідростатичний тиск. Оскільки гідростатичний тиск не робить ніякого впливу на врожайність, поверхня плинності являє собою відкритий циліндр.

Плоский стрес

Підставляючиσ13=σ23=σ33=0 рівняння (11.3.8), умова плинності плоского напруження стає

σ211σ11σ22+σ222+3σ212=σ2y

11.4.1.PNG
Рисунок11.4.1: Представлення умови плинності фон Мізеса у просторі головних напружень.

Зокрема, в чистому зсувіσ11=σ22=0 іσ12=σy/3. У літературіσy/3=k називається напруга плинності при зсуві, що відповідає умові плинності фон Мізеса. У головній системі координатσ12=0 і умова врожайності набуває простий вигляд.

σ21σ1σ2+σ22=σ2y

11.4.2.png
Малюнок11.4.2: Еліпс фон Мізеса в головній системі координат.

Графічне зображення рівняння (?? ) - еліпс, показаний на малюнку (11.4.2). Кілька важливих напружених станів можна виділити на малюнку (11.4.2).

  • Точки 1 і 2: Одновісний натяг,σ1=σ2=σy
  • Точки 7 і 11: Одновісне стиснення,σ1=σ2=σy
  • Точка 3: Рівно-двовісний натяг,σ1=σ2
  • Точка 9: рівно-двовісне стиснення,σ1=σ2
  • Точки 2, 4, 8 і 10: Звичайна деформація,σ1=23σy
  • Точки 6 і 12: Чистий зсув,σ1=σ2

Поняття площини деформації буде пояснено в розділі, присвяченому правилу потоку.

Еквівалентне напруження і еквівалентна швидкість деформації

При скінченно-елементному аналізі використовується поняття еквівалентного напруженняˉσ або напруження фон Мізеса. Визначається за принциповими напруженнями

ˉσ=12[(σ11σ22)2+(σ22σ33)2+(σ33σ11)2]

Еквівалентним напруженнямˉσ(σij) є квадратний корінь лівої частини Рівняння (11.3.8). Визначивши еквівалентне напруження, енергія сполучена еквівалентна швидкість деформації може бути оцінена з

ˉσˉ˙ϵ=σij˙ϵij

і дається

ˉ˙ϵ={29[(˙ϵ11˙ϵ22)2+(˙ϵ22˙ϵ33)2+(˙ϵ33˙ϵ11)2]}1/2

Еквівалентна деформація отримується з інтеграції в часі еквівалентної швидкості деформації.

ˉϵ=ˉ˙ϵdt