11.4: Умова врожайності
З попередньої секції одновісна умова плинності при розтягуванні/стисненні в напрямку x становить
σ11=±σy
У загальному 3-D всі шість компонентів тензора напружень сприяють врожайності матеріалу. Умова врожайності фон Мізеса набуває вигляду
12[(σ11−σ22)2+(σ22−σ33)2+(σ33−σ11)2]+3(σ212+σ223+σ231)]=σ2y
або в коротких позначеннях
F(σij)=σy
Поетапне виведення вищевказаного рівняння наведено в наступному розділі. Тут розглядається кілька особливих випадків.
Принципова система координат
Всі недіагональні складові тензора напружень зникають,σ12=σ23=σ31=0. Потім рівняння (11.3.8) зменшується до
(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2=2σ2y
деσ1,σ2σ3 є основними напруженнями. Графічне зображення рівняння (?? ) - відкритий циліндр, нормаль до восьмигранної площини, рис. (11.4.1).
Рівняння прямої, нормальної до восьмигранної площині і проходить через початок, дорівнює
σ1+σ2+σ3=3p
деp - гідростатичний тиск. Оскільки гідростатичний тиск не робить ніякого впливу на врожайність, поверхня плинності являє собою відкритий циліндр.
Плоский стрес
Підставляючиσ13=σ23=σ33=0 рівняння (11.3.8), умова плинності плоского напруження стає
σ211−σ11σ22+σ222+3σ212=σ2y
![11.4.1.PNG](https://eng.libretexts.org/@api/deki/files/22531/11.4.1.png)
Зокрема, в чистому зсувіσ11=σ22=0 іσ12=σy/√3. У літературіσy/√3=k називається напруга плинності при зсуві, що відповідає умові плинності фон Мізеса. У головній системі координатσ12=0 і умова врожайності набуває простий вигляд.
σ21−σ1σ2+σ22=σ2y
![11.4.2.png](https://eng.libretexts.org/@api/deki/files/22532/11.4.2.png)
Графічне зображення рівняння (?? ) - еліпс, показаний на малюнку (11.4.2). Кілька важливих напружених станів можна виділити на малюнку (11.4.2).
- Точки 1 і 2: Одновісний натяг,σ1=σ2=σy
- Точки 7 і 11: Одновісне стиснення,σ1=σ2=−σy
- Точка 3: Рівно-двовісний натяг,σ1=σ2
- Точка 9: рівно-двовісне стиснення,−σ1=−σ2
- Точки 2, 4, 8 і 10: Звичайна деформація,σ1=2√3σy
- Точки 6 і 12: Чистий зсув,σ1=−σ2
Поняття площини деформації буде пояснено в розділі, присвяченому правилу потоку.
Еквівалентне напруження і еквівалентна швидкість деформації
При скінченно-елементному аналізі використовується поняття еквівалентного напруженняˉσ або напруження фон Мізеса. Визначається за принциповими напруженнями
ˉσ=12[(σ11−σ22)2+(σ22−σ33)2+(σ33−σ11)2]
Еквівалентним напруженнямˉσ(σij) є квадратний корінь лівої частини Рівняння (11.3.8). Визначивши еквівалентне напруження, енергія сполучена еквівалентна швидкість деформації може бути оцінена з
ˉσˉ˙ϵ=σij˙ϵij
і дається
ˉ˙ϵ={29[(˙ϵ11−˙ϵ22)2+(˙ϵ22−˙ϵ33)2+(˙ϵ33−˙ϵ11)2]}1/2
Еквівалентна деформація отримується з інтеграції в часі еквівалентної швидкості деформації.
ˉϵ=∫ˉ˙ϵdt