9.4: Випромінювання від герцианського диполя

У розділі 9.1 представлено неформальне виведення електромагнітного поля, випромінюваного диполем Герца, представленого поточним моментом нульової довжини. У цьому розділі ми пропонуємо сувору деривацію з використанням концепції магнітного векторного потенціалу, розглянутого в розділах 9.2 та 9.3. Перед вирішенням цього розділу рекомендується переглянути ці розділи.

Диполь Герца зазвичай визначається як електрично-коротка і нескінченно тонка пряма нитка струму, в якій щільність струму рівномірна по всій його довжині. Диполь Герца зазвичай використовується як «будівельний блок» для побудови фізично реалізованих розподілів струму, що демонструються такими пристроями, як дротяні антени. Метод полягає в моделюванні цих відносно складних розподілів струму як суми диполів Герціана, що зводить проблему до проблеми підсумовування внесків окремих диполів Герціана, причому кожен диполь Герціана має відповідне (тобто різне) положення, величину та фазу.

Щоб полегшити використання диполя Герца як будівельного блоку, придатного для побудови фізично реалізованих розподілів струму, ми вирішили представити диполь Герца, використовуючи по суті еквівалентний розподіл струму, який математично більш універсальний. Цей опис диполя Герца замінює поняття постійного струму на скінченній довжині поняттям поточного моменту, розташованого в одній точці. Це показано на малюнку\(\PageIndex{1}\),

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Герціанський диполь, розташований біля початку, представлений як поточний момент. У цьому випадку\(\hat{\mathrm{I}}=\hat{\mathbf{z}}\). (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

і дається:

\[\Delta\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\widetilde{I}~\Delta l~\delta({\bf r}) \nonumber \]

де добуток\(\widetilde{I}\Delta l\) (базові одиниці СІ А\(\cdot\) м) - поточний момент,\(\hat{\bf l}\) є напрямком потоку струму, і\(\delta({\bf r})\) є об'ємною функцією вибірки, яка визначається наступним чином:

\ begin {вирівняти} ~ &\ дельта ({\ bf r})\ трикутник 0~~~\ mbox {для} ~~ {\ bf r}\ neq 0; ~~\ mbox {і}\ мітка {m0197_edelta1}\\ ~ &\ int_ {\ mathcal {V}}\ дельта ({\ bf} r) ~ dv\ трикутник 1\ мітка {m0197_edeltA2}\ кінець {вирівнювання}

де\(\mathcal{V}\) - будь-який обсяг, який включає origin (\({\bf r}=0\)). У цьому описі герцианський диполь розташований біля початку.

Розв'язок потенціалу магнітного вектора за рахунок\(\hat{\bf z}\) -спрямованого диполя Герціана, розташованого біля початку, було представлено в розділі 9.3. У нинішньому сценарії це:

\[\widetilde{\bf A}({\bf r}) = \hat{\bf z}~\mu~\widetilde{I}~\Delta l~\frac{e^{-\gamma r} }{4\pi r} \nonumber \]

де поширення постійне\(\gamma=\alpha+j\beta\), як зазвичай. Припускаючи lossless media (\(\alpha=0\)), ми маємо

\[\widetilde{\bf A}({\bf r}) = \hat{\bf z}~\mu~\widetilde{I}~\Delta l~\frac{e^{-j\beta r} }{4\pi r} \nonumber \]

Отримано напруженість магнітного поля за допомогою визначення потенціалу магнітного вектора:

\ begin {вирівнювання}\ widetilde {\ bf H} &\\ трикутник (1/\ му)\ nabla\ раз\ widetilde {\ bf A}\\ &=\ frac {\ widetilde {I} ~\ дельта l} {4\ пі} ~\ nabla\ раз\ капелюх {\ bf z} ~\ frac {e^ {-j\ бета-г}} {r}\ мітка {m0197_h1}\ кінець {вирівнювання}

Щоб продовжити, корисно\(\hat{\bf z}\) перетворити в сферичну систему координат. Для цього знаходимо компонент,\(\hat{\bf z}\) який паралельний\(\hat{\bf r}\)\(\hat{\bf \theta}\), і\(\hat{\bf \phi}\); а потім підсумовуємо результати:

\ begin {вирівняти}\ капелюх {\ bf z} &=\ капелюх {\ bf r}\ ліворуч (\ капелюх {\ bf r}\ cdot\ капелюх {\ bf z}\ праворуч) +\ капелюх {\ bf\ тета}\ лівий (\ шапка {\ bf\ theta}\ cdot\ капелюх {\ bf z}\ праворуч) +\ капелюх {\ bf\ phi}\ ліворуч (\ капелюх {\ bf\ phi}\ cdot\ капелюх {\ bf z}\ праворуч)\\ &=\ капелюх {\ bf r}\ cos\ тета -\ капелюх {\ bf\ тета}\ sin\ тета +0\ кінець {вирівнювання}

Рівняння\ ref {M0197_h1} вимагає обчислення такої кількості:

\ begin {вирівнювання}\ набла\ раз\ hat {\ bf z}\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r} &=\ набла\ раз\ ліворуч [~~ ~\ hat {\ bf r}\ ліворуч (\ cos\ тета\ праворуч)\ frac {e^ {-j\ бета-р}} {r}\ праворуч. \ nonumber\\ & ~~~~~~~~~~~~~~~\ ліворуч. -\ hat {\ bf\ тета}\ лівий (\ sin\ тета\ праворуч)\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r}\ праворуч]\ етикетка {m0197_e2}\ кінець {вирівнювання}

У цей момент зручно зробити наступні визначення:

\ begin {вирівнювання} C_r &\ трикутник\ лівий (\ cos\ тета\ праворуч)\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r}\ C_ {\ тета} &\ трикутник -\ лівий (\ sin\ тета\ праворуч)\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r}\ кінець {вирівнювання}

Ці визначення дозволяють компактно записати рівняння\ ref {m0197_e2} наступним чином:

\[\nabla\times \hat{\bf z}\frac{e^{-j\beta r}}{r} = \nabla\times\left[ ~\hat{\bf r}C_r + \hat{\bf \theta}C_{\theta} \right] \label{m0197_e1} \]

Права частина рівняння\ ref {m0197_e1} оцінюється за допомогою рівняння 12.2.9 (Додаток 12.3.2). Хоча повний вираз складається з 6 термінів, тільки 2 терміни є ненульовими. ¹ Це залишає:

\ begin {вирівнювання}\ набла\ раз\ hat {\ bf z}\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r} &=\ hat {\ bf\ phi}\ frac {1} {r}\ left [\ frac {\ partial} {\ partial}\ лівий (r C_ {\ тета}\ правий) -\ frac {\ частковий} {\ частковий}\ лівий (r C_ {\ тета}\ правий) -\ frac {\ частковий} {\ частковий}\ тета} C_r\ право]\\ &=\ hat {\ bf\ phi}\ ліворуч (\ sin\ тета\ право)\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r}\ ліворуч (j\ beta +\ frac {1} {r}\ праворуч)\ кінець {вирівняти}

Підставивши цей результат в Equation\ ref {M0197_H1}, отримаємо:

\[\widetilde{\bf H} = \hat{\bf \phi} \frac{\widetilde{I}~\Delta l}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \left( j\beta + \frac{1}{r} \right) \label{m0197_H2} \]

Давайте далі обмежуємо нашу сферу застосування на поле далеко від антени. Зокрема, припустимо\(r\gg\lambda\). Тепер скористаємося\(\beta=2\pi/\lambda\) співвідношенням і визначаємо наступне:

\ begin {вирівнювання} j\ бета +\ розрив {1} {r} &= j\ розриву {2\ pi} {\ лямбда} +\ розриву {1} {r}\\ &\ приблизно j\ frac {2\ pi} {\ лямбда} =j\ бета\ кінець {вирівнювання}

Рівняння\ ref {m0197_h2} стає:

\[\boxed{ \widetilde{\bf H} \approx \hat{\bf \phi} j \frac{\widetilde{I}\cdot\beta \Delta l}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} } \label{m0197_H4} \]

де наближення має місце для середовищ з низькими втратами і\(r\gg\lambda\). Цей вираз відомий як наближення дальнього поля, оскільки воно дійсне лише для відстаней «далеко» (щодо довжини хвилі) від джерела.

Тепер візьмемо хвилинку, щоб інтерпретувати цей результат:

• Зверніть увагу, що коефіцієнт\(\beta \Delta l\) має одиниці радіанів; тобто це електрична довжина. Це говорить нам про те, що величина випромінюваного поля залежить від електричної довжини поточного моменту.
• Фактор\(e^{-j\beta r}/r\) вказує на те, що це сферична хвиля; тобто поверхні постійної фази відповідають концентричним сферам, зосередженим на джерелі, а величина обернено пропорційна відстані.
• Напрямок вектора магнітного поля завжди\(\hat{\bf \phi}\), що саме те, що ми очікуємо; наприклад, використовуючи закон Біот-Саварта.
• Нарешті, зверніть увагу на фактор\(\sin\theta\). Це говорить про те, що величина поля дорівнює нулю по напрямку, в якому протікає струм джерела, і є максимумом в площині, перпендикулярній цьому напрямку.

Тепер визначимо електричне поле, випромінюване диполем Герца. Прямим методом є застосування закону Ампера. Тобто,

\[\widetilde{\bf E} = \frac{1}{j\omega\epsilon} \nabla \times \widetilde{\bf H} \nonumber \]

де\(\widetilde{\bf H}\) задається рівнянням\ ref {m0197_h4}. У польових точках, далеких від диполя, радіус кривизни сферичних фазових фронтів дуже великий і тому здається локально площинним. Тобто, з точки зору спостерігача, далекого від диполя, що прибуває хвиля представляється плоскою хвилею. У цьому випадку ми можемо використовувати плоскі хвильові відносини. Відповідним співвідношенням в даному випадку є:

\[\widetilde{\bf E} = -\eta \hat{\bf r} \times \widetilde{\bf H} \nonumber \]

де\(\eta\) - хвильовий опір. Так ми знаходимо:

\[\boxed{ \widetilde{\bf E} \approx \hat{\bf \theta} j\eta \frac{\widetilde{I}\cdot\beta \Delta l}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} } \label{m0197_eE} \]

Підводячи підсумки:

Електричні та магнітні поля, далекі (тобто\(\gg\lambda\)) від\(\hat{\bf z}\) -спрямованого диполя Герціана, що мають постійний струм\(\widetilde{I}\) по довжині\(\Delta l\), розташовані біля початку, задаються рівняннями\ ref {m0197_ee} та\ ref {m0197_h4} відповідно.

Додаткове читання:

• «Дипольна антена» (розділ під назвою «Герцианський диполь») у Вікіпедії.

---

1. Зокрема, два члени дорівнюють нулю, оскільки в аргументі функції curl немає\(\hat{\bf \phi}\) компонента; а ще два члени дорівнюють нулю, оскільки аргумент функції curl не залежить від\(\phi\), тому часткові похідні щодо\(\phi\) нульові. ↩