9.1: Випромінювання від поточного моменту

У цьому розділі ми починаємо вирішувати наступну проблему: З огляду на розподіл щільності струму\({\bf J}({\bf r})\), що таке результуюча напруженість електричного поля\({\bf E}({\bf r})\)? Один шлях до відповіді - через рівняння Максвелла. Розглядаючи рівняння Максвелла як систему диференціальних рівнянь, можливе суворе математичне рішення за відповідних граничних умов. Суворе рішення, що слідує за цим підходом, є відносно складним і представлено починаючи з розділу 9.2 цієї книги.

Якщо замість цього обмежити область видимості досить простим розподілом струму, можлива проста неформальна деривація. У цьому розділі представлена така деривація. Перевага вирішення простого спеціального випадку в першу чергу полягає в тому, що це дозволить нам швидко оцінити характер рішення, яке виявиться корисним, як тільки ми врешті-решт вирішимо більш загальну проблему. Крім того, результати, представлені в цьому розділі, виявляться достатніми для вирішення багатьох часто зустрічаються додатків.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): A\(+\hat{\bf{z}}\) -спрямований струмовий момент, розташований біля початку. (CC BY-SA 4.0; C Wang)

Простий розподіл струму, розглянутий в цьому розділі, відомий як поточний момент. Приклад поточного моменту показаний на малюнку\(\PageIndex{1}\) і в даному випадку визначається наступним чином:

\[\Delta{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf z}~I~\Delta l~\delta({\bf r}) \label{m0194_eCM} \]

де\(I~\Delta l\) - скалярна складова поточного моменту, що має одиниці поточної довжини часу (базові одиниці СІ A\(\cdot\) m); і\(\delta({\bf r})\) являє собою об'ємну функцію вибірки ¹, яка визначається наступним чином:

\ begin {вирівняти} ~ &\ дельта ({\ bf r})\ трикутник 0~~~\ mbox {для} ~~ {\ bf r}\ neq 0; ~~\ mbox {і}\ мітка {m0194_edelta1}\\ ~ &\ int_ {\ mathcal {V}}\ дельта ({\ bf r}) ~dv\ трикутник 1\ мітка {m0194_edeltA2}\ кінець {вирівнювання}

де\(\mathcal{V}\) - будь-який обсяг, який включає origin (\({\bf r}=0\)). Це видно з Рівняння\ ref {M0194_edelta2}, що\(\delta({\bf r})\) має базові одиниці SI m\(^{-3}\). Згодом SI\(\Delta{\bf J}({\bf r})\) має базові одиниці А/м\(^2\), підтверджуючи, що це об'ємна щільність струму. Однак це найпростіша можлива форма об'ємної густини струму, оскільки, як зазначено Equation\ ref {M0194_edelta1}, вона існує тільки на початку і більше ніде.

Хоча деякі розподіли струму наближають поточний момент, розподіли струму, що зустрічаються в загальній інженерній практиці, як правило, не існують саме в такому вигляді. Проте, поточний момент виявляється в цілому корисним як «будівельний блок», з якого можна побудувати практичні розподіли струму, за принципом суперпозиції. Випромінювання від побудованих таким чином розподілів струму розраховується просто шляхом підсумовування випромінювання від кожного з складових струмових моментів.

Тепер розглянемо напруженість електричного поля\(\Delta{\bf E}({\bf r})\), яка створюється цим розподілом струму. По-перше, якщо струм стійкий (тобто «DC»), ця задача потрапляє в область магнітостатики; тобто результат повністю описується магнітним полем, і випромінювання бути не може. Тому обмежимо нашу увагу корпусом «АС», для якого можливе випромінювання. Зручно буде використовувати фазорне представництво. У фазорному поданні щільність струму дорівнює

\[\Delta\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf z}~\widetilde{I}~\Delta l~\delta({\bf r}) \label{m0194_eCM2} \]

де\(\widetilde{I}~\Delta l\) просто скалярний момент струму, виражений у вигляді фазора.

Тепер ми готові звернутися до питання «З чим\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) пов'язано\(\Delta\widetilde{\bf J}({\bf r})\)?» Не роблячи жодної математики, ми знаємо зовсім небагато про\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\). Наприклад:

• Оскільки електричні поля пропорційні струмам, які їх породжують, ми\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) очікуємо бути пропорційними\(\left|\widetilde{I}~\Delta l\right|\).
• Якщо ми досить далекі від походження, ми\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) очікуємо бути приблизно пропорційним,\(1/r\) де\(r\triangleq\left|{\bf r}\right|\) знаходиться відстань від джерела струму. Це пов'язано з тим, що точкові джерела породжують сферичні хвилі, а щільність потужності в сферичній хвилі буде пропорційною\(1/r^2\). Оскільки середня за часом щільність потужності пропорційна\(\left|\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\right|^2\),\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) повинна бути пропорційною\(1/r\).
• Якщо ми досить далекі від походження, і втрати через середовище незначні, то ми очікуємо, що фаза\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) зміниться приблизно зі швидкістю,\(\beta\) де\(\beta\) постійна поширення фази\(2\pi/\lambda\). Оскільки ми очікуємо сферичних фазових фронтів, тому\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) повинні містити фактор\(e^{-j\beta r}\).
• Закон Ампера вказує на те, що а\(\hat{\bf z}\) -спрямований струм біля початку повинен давати початок\(\hat{\bf \phi}\) -спрямованому магнітному полю в\(z=0\) площині. ² У той же час теорема Пойнтінга вимагає, щоб перехресний добуток електричного та магнітного полів вказував у напрямку потоку потужності. У теперішній задачі цей напрямок знаходиться далеко від джерела; тобто\(+\hat{\bf r}\). Тому\(\Delta\widetilde{\bf E}(z=0)\) вказує в\(-\hat{\bf z}\) напрямку. Цей же принцип застосовується і поза\(z=0\) площиною, тому в цілому ми очікуємо\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) вказувати в\(\hat{\bf \theta}\) напрямку.
• Чекаємо\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})=0\) уздовж\(z\) осі. Згодом\(\left|\Delta\widetilde{\bf E}(\hat{\bf r})\right|\) повинні збільшитися з нуля на\(\theta=0\) і повернутися до нуля в\(\theta=\pi\). Симетрія проблеми підказує\(\left|\Delta\widetilde{\bf E}(\hat{\bf r})\right|\) максимальна при\(\theta=\pi/2\). Ця величина повинна змінюватися найпростішим способом, що призводить нас до висновку,\(\Delta\widetilde{\bf E}(\hat{\bf r})\) що пропорційна\(\sin\theta\). Крім того, радіальна симетрія проблеми означає, що зовсім не\(\Delta\widetilde{\bf E}(\hat{\bf r})\) повинна залежати від\(\phi\).

Склавши ці ідеї воєдино, робимо висновок, що випромінюване електричне поле має наступний вигляд:

\[\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} C \left(\widetilde{I}~\Delta l\right) \left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

де\(C\) - константа, яка враховує всі константи пропорційності, визначені в попередньому аналізі. Оскільки одиниці\(\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r})\) V/m, одиниці\(C\) повинні\(\Omega\) бути/м. ми ще не враховували хвильовий опір середовища\(\eta\), який має одиниці виміру\(\Omega\), тому було б гарною ставкою на основі одиниць, які\(C\) пропорційні\(\eta\). Однак тут неформальний аналіз заходить у глухий кут, тому ми просто констатуємо результат суворого рішення:\(C=j\eta\beta/4\pi\). Одиниці правильні, і ми нарешті отримуємо:

\[\Delta\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} \frac{j\eta\beta}{4\pi} \left(\widetilde{I}~\Delta l\right) \left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

Додаткові докази того, що це рішення вірне, походять від того, що воно задовольняє хвильовому рівнянню\(\nabla^2 \Delta\widetilde{\bf E}({\bf r}) + \beta^2 \Delta\widetilde{\bf E}({\bf r}) = 0\). ³

Зверніть увагу, що отриманий нами вираз для випромінюваного електричного поля є приблизним (звідси і «\(\approx\)»). Частково це пов'язано з нашою презумпцією простої сферичної хвилі, яка може бути дійсною лише на відстанях, далеких від джерела. Але як далеко? Освіченою здогадкою будуть відстані набагато більші за довжину хвилі (тобто\(r\gg\lambda\)). Це буде робити зараз; в іншому розділі ми покажемо, що ця здогадка по суті є правильною.

Ми завершуємо цей розділ, зазначивши, що розподіл струму, проаналізований у цьому розділі, іноді називають диполем Герціана. Диполь Герціана, як правило, визначається як пряма нескінченно тонка нитка струму з довжиною, яка дуже мала по відношенню до довжини хвилі, але не точно нулю. Ця інтерпретація не змінює рішення, отримане в цьому розділі, тому ми можемо розглядати поточний момент та диполь Герціана як ефективно однакові в практичних інженерних додатках.

Додаткове читання:

• «Дельта-функція Дірака» у Вікіпедії.
• «Дипольна антена» (розділ під назвою «Герцианський диполь») у Вікіпедії.

---

1. Також форма дельта-функції Дірака; див. «Додаткове читання» в кінці цього розділу. ↩
2. Це іноді описується як «правило правої руки» закону Ампера. ↩
3. Підтвердження цього є простим (просто замінити та оцінити) і залишається як вправа для учня. ↩