9.2: Потенціал магнітного вектора
Поширеною проблемою в електромагнітиці є визначення полів, випромінюваних заданим розподілом струму. Цю задачу можна вирішити за допомогою рівнянь Максвелла разом з відповідними електромагнітними граничними умовами. Для часово-гармонічних (синусоїдально-змінних) струмів ми використовуємо фазорове подання. 1 Враховуючи заданий розподіл струму˜J і бажані електромагнітні поля˜E і˜H, відповідними рівняннями є:
∇⋅˜E=˜ρv/ϵ
∇טE=−jωμ˜H
∇⋅˜H=0
∇טH=˜J+jωϵ˜E
де˜ρv - об'ємна щільність заряду. У більшості інженерних проблем мова йде про поширення через носії, які добре моделюються як однорідні середовища з нейтральним зарядом, такі як вільний простір. 2 Тому в цьому розділі ми обмежимо нашу сферу застосування проблемами, в яких˜ρv=0. Таким чином, рівняння\ ref {M0195_EMDE0} спрощує:
∇⋅˜E=0
Для розв'язання лінійної системи рівнянь з частинними похідними\ ref {M0195_EMCE} -\ ref {M0195_EMDE} корисно викликати поняття потенціалу магнітного вектора. Потенціал магнітного вектора - це векторне поле, яке має ту корисну властивість, що воно здатне представляти як електричне, так і магнітне поля як єдине поле. Це дозволяє звести грізну систему рівнянь, визначених вище, до єдиного рівняння, яке простіше вирішити. Крім того, це єдине рівняння виявляється хвильовим рівнянням, з невеликою різницею, що рівняння буде математично неоднорідним, а неоднорідна частина представляє вихідний струм.
Потенціал магнітного вектора˜A визначається наступним співвідношенням:
˜B≜∇טA
де˜B=μ˜H - щільність магнітного потоку. Магнітне поле з'являється в трьох рівняннях Максвелла. Щоб рівняння\ ref {M0195_EMVPdef} було розумним визначенням,∇טA має дати розумні результати при замініμ˜H в кожному з цих рівнянь. Давайте спочатку перевіримо на відповідність закону Гаусса для магнітних полів, Equation\ ref {M0195_EMDH}. Здійснюючи заміну, отримуємо:
∇⋅(∇טA)=0
Це виявляється математичною ідентичністю, яка застосовується до будь-якого векторного поля (див. Рівняння 12.3.3 в додатку 12.3). Тому рівняння\ ref {M0195_EMVPdef} узгоджується із законом Гауса для магнітних полів.
Далі перевіряємо на узгодженість за допомогою Equation\ ref {M0195_EMCE}. Здійснюємо заміну:
∇טE=−jω(∇טA)
Зібравши терміни зліва, отримуємо
∇×(˜E+jω˜A)=0
Тепер, з причин, які стануть очевидними лише за мить, ми визначаємо нове скалярне поле˜V і вимагаємо від нього задоволення наступного співвідношення:
−∇˜V≜˜E+jω˜A
Використовуючи це визначення, Рівняння\ ref {m0195_ephi1} стає:
∇×(−∇˜V)=0
який просто
∇×∇˜V=0
Ще раз ми отримали математичну ідентичність, яка застосовується до будь-якого векторного поля (див. Рівняння 12.3.4 у Додатку 12.3). Тому˜V може бути будь-яке математично допустиме скалярне поле. Згодом рівняння\ ref {M0195_EMVPdef} узгоджується з Equation\ ref {M0195_EMCE} (рівняння завитка Максвелла для електричного поля) для будь-якого вибору˜V, який ми схильні зробити.
Проникливі читачі можуть вже зрозуміти, що ми тут до. Рівняння\ ref {m0195_ephi2} дуже схоже на зв'язокE=−∇V з електростатикою, 3 в якійV знаходиться скалярне поле електричного потенціалу. Очевидно, Equation\ ref {m0195_ephi2} є вдосконаленою версією цього зв'язку, яка враховує зв'язок зH (тут, представленимA) у випадку, що змінюється у часі (рішуче нестатичний) випадок. Ця оцінка є правильною, але давайте не будемо занадто далеко випереджати себе: Як продемонстровано в попередньому пункті, ми ще не змушені робити якийсь конкретний вибір˜V, і ця свобода буде використана пізніше в цьому розділі.
Далі перевіряємо на узгодженість за допомогою Equation\ ref {M0195_EMCH}. Здійснюємо заміну:
∇×(1μ∇טA)=˜J+jωϵ˜E
Множення обох сторін рівняння наμ:
∇×∇טA=μ˜J+jωμϵ˜E
Далі ми використовуємо рівняння\ ref {m0195_ephi2} для усунення˜E, отримання:
∇×∇טA=μ˜J+jωμϵ(−∇˜V−jω˜A)
Після трохи алгебри отримаємо
∇×∇טA=ω2μϵ˜A−jωμϵ∇˜V+μ˜J
Тепер ми замінюємо ліву частину цього рівняння, використовуючи векторну ідентичність Рівняння 12.3.8 у Додатку 12.3:
∇×∇טA≡∇(∇⋅˜A)−∇2˜A
Рівняння\ ref {m0195_e1} стає:
∇(∇⋅˜A)−∇2˜A=ω2μϵ˜A−jωμϵ∇˜V+μ˜J
Тепер множимо обидві сторони на−1 і переставляємо терміни:
∇2˜A+ω2μϵ˜A=∇(∇⋅˜A)+jωμϵ∇˜V−μ˜J
Поєднання термінів з правого боку:
∇2˜A+ω2μϵ˜A=∇(∇⋅˜A+jωμϵ˜V)−μ˜J
Тепер розглянемо вираз,∇⋅˜A+jωμϵ˜V що з'являється в дужках в правій частині рівняння. Раніше ми встановили, що по суті˜V може бути будь-яке скалярне поле — з математичної точки зору ми вільні вибирати. Посилаючись на цю свободу, ми тепер вимагаємо˜V задовольнити такий вираз:
∇⋅˜A+jωμϵ˜V=0
Зрозуміло, що це вигідно в тому сенсі, що Equation\ ref {m0195_Ewea1} тепер значно спрощено. Це рівняння стає:
∇2˜A+ω2μϵ˜A=−μ˜J
Зверніть увагу, що цей вираз є хвильовим рівнянням. По суті, це те саме хвильове рівняння, яке визначає˜E і˜H в областях, що не мають джерела, за винятком того, що права сторона не дорівнює нулю. Використовуючи математичну термінологію, ми отримали рівняння для˜A у вигляді неоднорідного рівняння з частинними похідними, де неоднорідна частина включає — тут не дивно — струм джерела˜J.
Тепер у нас є те, що нам потрібно, щоб знайти електромагнітні поля, випромінювані розподілом струму. Процедура полягає просто в наступному:
- Розв'яжіть рівняння з частинними похідними\ ref {M0195_EPDEA} для˜A відповідних електромагнітних граничних умов.
- ˜H=(1/μ)∇טA
- ˜Eтепер можна визначити за˜H допомогою Equation\ ref {M0195_EMCH}.
Підводячи підсумки:
Потенціал магнітного вектора˜A являє собою векторне поле, визначене Equation\ ref {M0195_EMVPdef}, яке здатне одночасно представляти як електричне, так і магнітне поля.
Також:
Для визначення електромагнітних полів, випромінюваних розподілом струму˜J, можна вирішити Equation\ ref {M0195_EPDEA},˜A а потім використовувати Equation\ ref {M0195_EMVPdef} для визначення˜H та подальшого визначення˜E.
Специфічні прийоми виконання цієї процедури — зокрема, для розв'язання диференціального рівняння — змінюються залежно від задачі, і розглядаються в інших розділах цієї книги.
Завершуємо цей розділ кількома коментарями щодо Equation\ ref {M0195_ELGC}. Це рівняння відоме як умова датчика Лоренца. Це обмеження не зовсім довільне, як випливає з попередньої деривації; скоріше, тут працює деяка глибока фізика. Зокрема, датчик Лоренца призводить до класичної інтерпретації˜V як звичного скалярного електричного потенціалу, як зазначалося раніше в цьому розділі. (Для отримання додаткової інформації про цю ідею рекомендовані початкові пункти наведені в розділі «Додаткове читання» наприкінці цього розділу.)
На цьому етапі повинно бути зрозуміло, що електричне та магнітне поля є не просто зв'язаними величинами, а насправді двома аспектами одного і того ж поля; а саме магнітним векторним потенціалом. Насправді сучасна фізика (квантова механіка) дає потенціал магнітного вектора як опис «електромагнітної сили», єдиної сутності, яка становить одну з чотирьох основних сил, визнаних у сучасній фізиці; інші - гравітація, сильна ядерна сила та слабка ядерна сила. Для отримання додаткової інформації про цю концепцію чудовою відправною точкою є відео «Квантова інваріантність та походження стандартної моделі», на яке посилається в кінці цього розділу.
Додаткове читання:
- «Стан калібрувальних приладів Лоренца» у Вікіпедії.
- «Магнітний потенціал» у Вікіпедії.
- Відео PBS Space Time «Квантова інваріантність та походження стандартної моделі», доступне на YouTube.
- Нагадаємо, що при цьому немає втрати узагальненості, оскільки будь-яку іншу варіацію часової області розподілу струму можна представити за допомогою сум часових гармонічних розв'язків через перетворення Фур'є. ↩
- Контрприкладом може бути поширення через плазму, яка за визначенням складається з ненульового чистого заряду. ↩
- Примітка: У цьому виразі немає тильди. ↩