6.1: Фазова та групова швидкість
Фазова швидкість - це швидкість, з якою точка постійної фази рухається у міру поширення хвилі. 1 Для синусоїдально-змінної хвилі цю швидкість легко кількісно оцінити. Щоб переконатися в цьому, розглянемо хвилю:
Acos(ωt−βz+ψ)
деω=2πf кутова частота,z це положення, іβ є постійною поширення фази. У будь-який момент часу відстань між точками постійної фази дорівнює одній довжині хвиліλ. Тому фазова швидкістьvp дорівнює
vp=λf
Так якβ=2π/λ, це також може бути написано наступним чином:
vp=ωβ
Відзначаючи, щоβ=ω√μϵ для простої справи ми можемо також висловитиvp з точки зору складових параметрівμ іϵ наступним чином:
vp=1√μϵ
Оскількиvp в даному випадку залежить тільки від складових властивостейμ іϵ, розумно розглядати фазову швидкість також як властивість речовини.
Центральним у понятті фазової швидкості є рівномірність у просторі та часі. Рівняння\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} припускають хвилю, що має форму Equation\ ref {m0176_ewzt}, яка демонструє точно таку ж поведінку протягом усього можливого часуt від−∞ до+∞ і над усім можливимz від−∞ до+∞. Така рівномірність по всьому простору і часу виключає використання такої хвилі для відправки інформації. Для надсилання інформації джерелу хвилі потрібно змінювати принаймні один параметр залежно від часу; наприкладA (що призводить до амплітудної модуляції),ω (що призводить до частотної модуляції), абоψ (що призводить до фазової модуляції). Іншими словами, інформацію можна передати тільки зробивши хвилю неоднорідною в деякому відношенні. Крім того, деякі матеріали та конструкції можуть спричинити зміниψ або інші комбінації параметрів, які залежать від положення або часу. Приклади включають дисперсію та поширення в хвилеводах. Незалежно від причини, зміна параметрівω абоψ в залежності від часу означає, що миттєва відстань між точками постійної фази може сильно відрізнятися відλ. Таким чином, миттєва частота варіації в залежності від часу і положення може сильно відрізнятися відf. У цьому випадку Рівняння\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} не обов'язково можуть надавати значуще значення швидкості поширення.
Для опису швидкості поширення таких хвиль потрібно якесь інше поняття. Це поняття - групова швидкістьvg, яка визначається наступним чином:
Групова швидкістьvg, - це відношення видимої зміни частотиω до пов'язаного зі зміною константи поширення фазиβ; тΔω/Δβ. Е.
ДаючиΔβ стати зникающе маленьким, отримуємо
vg≜∂ω∂β
Зверніть увагу на схожість з визначенням фазової швидкості в Рівнянні\ ref {m0176_evp2}. Групову швидкість можна інтерпретувати як швидкість, з якою поширюється збудження в хвилі. Інформація може передаватися як значущі порушення щодо сталого стану, тому групова швидкість - це також швидкість інформації в хвилі.
Примітка. Рівняння\ ref {m0176_evg} дає очікуваний результат для хвиль у вигляді Рівняння\ ref {m0176_ewzt}:
vg=(∂β∂ω)−1=(∂∂ωω√μϵ)−1=1√μϵ=vp
Іншими словами, групова швидкість хвилі у вигляді Рівняння\ ref {m0176_ewzt} дорівнює її фазовій швидкості.
Щоб спостерігати різницю міжvp іvg,β необхідно якось змінюватися як функція чогось іншого, ніж простоω і складові параметри. Знову ж таки, модуляція (введена джерелом хвилі) і дисперсія (частотно-залежні складові параметри) є прикладами, в якихvg не обов'язково дорівнюєvp. Ось приклад, що включає дисперсію:
Широкий клас немагнітних дисперсійних середовищ демонструє відносну діелектричну проникністьϵr, яка змінюється як квадрат частоти у вузькому діапазоні частот, зосереджених наω0. Для цих засобів масової інформації ми припускаємо
ϵr=K(ωω0)2
деK - реальна позитивна константа. Яка фазова і групова швидкість для синусоїдально-змінної хвилі в цьому матеріалі?
Рішення
По-перше, зверніть увагу
β=ω√μ0ϵ=ω√μ0ϵ0√ϵr=√K⋅ω2ω0√μ0ϵ0
Фазова швидкість становить:
vp=ωβ=ω0√K⋅ω√μ0ϵ0
Тоді як групова швидкість дорівнює:
vg=∂ω∂β=(∂β∂ω)−1=(∂∂ω√K⋅ω2ω0√μ0ϵ0)−1=(2√K⋅ωω0√μ0ϵ0)−1
Тепер спрощення за допомогою рівняння\ ref {m0176_eex1beta}:
vg=(2βω)−1=12ωβ=12vp
Таким чином, ми бачимо, що в даному випадку групова швидкість завжди дорівнює половині фазової швидкості.
Іншим поширеним прикладом, для якогоvg не обов'язково дорівнює,vp є поширення керованих хвиль; наприклад, хвилі всередині хвилеводу. Насправді такі хвилі можуть проявляти фазову швидкість, більшу, ніж швидкість світла у вакууміc. Однак групова швидкість залишається меншоюc, а це означає, що швидкість, з якою інформація може поширюватися в хвилеводі, менша заc. Ніякі фізичні закони не порушуються, так як універсальне «обмеження швидкості»c поширюється на інформацію, а не просто точки постійної фази. (Докладніше про цю концепцію див. розділ «Додаткове читання» в кінці цього розділу.)
- Формально «швидкість» - це вектор, який вказує як напрямок, так і швидкість руху. Звичайною практикою є використання термінів «фазова швидкість» та «групова швидкість», хоча ми насправді маємо на увазі лише швидкість руху. Напрямок, звичайно ж, в напрямку розмноження. ↩