6.1: Фазова та групова швидкість

Фазова швидкість - це швидкість, з якою точка постійної фази рухається у міру поширення хвилі. ¹ Для синусоїдально-змінної хвилі цю швидкість легко кількісно оцінити. Щоб переконатися в цьому, розглянемо хвилю:

\[A\cos\left(\omega t -\beta z + \psi \right) \label{m0176_ewzt} \]

де\(\omega=2\pi f\) кутова частота,\(z\) це положення, і\(\beta\) є постійною поширення фази. У будь-який момент часу відстань між точками постійної фази дорівнює одній довжині хвилі\(\lambda\). Тому фазова швидкість\(v_p\) дорівнює

\[v_p = \lambda f \label{m0176_evp} \]

Так як\(\beta=2\pi/\lambda\), це також може бути написано наступним чином:

\[\boxed{ v_p = \frac{\omega}{\beta} } \label{m0176_evp2} \]

Відзначаючи, що\(\beta=\omega\sqrt{\mu\epsilon}\) для простої справи ми можемо також висловити\(v_p\) з точки зору складових параметрів\(\mu\) і\(\epsilon\) наступним чином:

\[v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} \label{m0176_evpm} \]

Оскільки\(v_p\) в даному випадку залежить тільки від складових властивостей\(\mu\) і\(\epsilon\), розумно розглядати фазову швидкість також як властивість речовини.

Центральним у понятті фазової швидкості є рівномірність у просторі та часі. Рівняння\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} припускають хвилю, що має форму Equation\ ref {m0176_ewzt}, яка демонструє точно таку ж поведінку протягом усього можливого часу\(t\) від\(-\infty\) до\(+\infty\) і над усім можливим\(z\) від\(-\infty\) до\(+\infty\). Така рівномірність по всьому простору і часу виключає використання такої хвилі для відправки інформації. Для надсилання інформації джерелу хвилі потрібно змінювати принаймні один параметр залежно від часу; наприклад\(A\) (що призводить до амплітудної модуляції),\(\omega\) (що призводить до частотної модуляції), або\(\psi\) (що призводить до фазової модуляції). Іншими словами, інформацію можна передати тільки зробивши хвилю неоднорідною в деякому відношенні. Крім того, деякі матеріали та конструкції можуть спричинити зміни\(\psi\) або інші комбінації параметрів, які залежать від положення або часу. Приклади включають дисперсію та поширення в хвилеводах. Незалежно від причини, зміна параметрів\(\omega\) або\(\psi\) в залежності від часу означає, що миттєва відстань між точками постійної фази може сильно відрізнятися від\(\lambda\). Таким чином, миттєва частота варіації в залежності від часу і положення може сильно відрізнятися від\(f\). У цьому випадку Рівняння\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} не обов'язково можуть надавати значуще значення швидкості поширення.

Для опису швидкості поширення таких хвиль потрібно якесь інше поняття. Це поняття - групова швидкість\(v_g\), яка визначається наступним чином:

Групова швидкість\(v_g\), - це відношення видимої зміни частоти\(\omega\) до пов'язаного зі зміною константи поширення фази\(\beta\); т\(\Delta\omega/\Delta\beta\). Е.

Даючи\(\Delta\beta\) стати зникающе маленьким, отримуємо

\[\boxed{ v_g \triangleq \frac{\partial\omega}{\partial\beta} } \label{m0176_evg} \]

Зверніть увагу на схожість з визначенням фазової швидкості в Рівнянні\ ref {m0176_evp2}. Групову швидкість можна інтерпретувати як швидкість, з якою поширюється збудження в хвилі. Інформація може передаватися як значущі порушення щодо сталого стану, тому групова швидкість - це також швидкість інформації в хвилі.

Примітка. Рівняння\ ref {m0176_evg} дає очікуваний результат для хвиль у вигляді Рівняння\ ref {m0176_ewzt}:

\[\begin{align} v_g &= \left(\frac{\partial\beta}{\partial\omega}\right)^{-1} = \left(\frac{\partial}{\partial\omega}\omega\sqrt{\mu\epsilon}\right)^{-1} \nonumber \\ &= \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = v_p\end{align} \nonumber \]

Іншими словами, групова швидкість хвилі у вигляді Рівняння\ ref {m0176_ewzt} дорівнює її фазовій швидкості.

Щоб спостерігати різницю між\(v_p\) і\(v_g\),\(\beta\) необхідно якось змінюватися як функція чогось іншого, ніж просто\(\omega\) і складові параметри. Знову ж таки, модуляція (введена джерелом хвилі) і дисперсія (частотно-залежні складові параметри) є прикладами, в яких\(v_g\) не обов'язково дорівнює\(v_p\). Ось приклад, що включає дисперсію:

Приклад\(\PageIndex{1}\): Phase and group velocity for a material exhibiting square-law dispersion

Широкий клас немагнітних дисперсійних середовищ демонструє відносну діелектричну проникність\(\epsilon_r\), яка змінюється як квадрат частоти у вузькому діапазоні частот, зосереджених на\(\omega_0\). Для цих засобів масової інформації ми припускаємо

\[\epsilon_r = K\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \nonumber \]

де\(K\) - реальна позитивна константа. Яка фазова і групова швидкість для синусоїдально-змінної хвилі в цьому матеріалі?

Рішення

По-перше, зверніть увагу

\[\begin{align} \beta &= \omega\sqrt{\mu_0\epsilon} = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{\epsilon_r} \nonumber \\ &= \frac{\sqrt{K}\cdot\omega^2}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \label{m0176_eex1beta}\end{align} \]

Фазова швидкість становить:

\[v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\omega_0}{\sqrt{K}\cdot\omega \sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \nonumber \]

Тоді як групова швидкість дорівнює:

\[\begin{align*} v_g &= \frac{\partial\omega}{\partial\beta} = \left( \frac{\partial\beta}{\partial\omega} \right)^{-1} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial\omega} \frac{\sqrt{K}\cdot\omega^2}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \right)^{-1} \\ &= \left( 2\frac{\sqrt{K}\cdot\omega}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \right)^{-1} \end{align*} \nonumber \]

Тепер спрощення за допомогою рівняння\ ref {m0176_eex1beta}:

\[\begin{align*} v_g &= \left( 2\frac{\beta}{\omega} \right)^{-1} \\ &= \frac{1}{2}\frac{\omega}{\beta} \\ &= \frac{1}{2}v_p\end{align*} \nonumber \]

Таким чином, ми бачимо, що в даному випадку групова швидкість завжди дорівнює половині фазової швидкості.

Іншим поширеним прикладом, для якого\(v_g\) не обов'язково дорівнює,\(v_p\) є поширення керованих хвиль; наприклад, хвилі всередині хвилеводу. Насправді такі хвилі можуть проявляти фазову швидкість, більшу, ніж швидкість світла у вакуумі\(c\). Однак групова швидкість залишається меншою\(c\), а це означає, що швидкість, з якою інформація може поширюватися в хвилеводі, менша за\(c\). Ніякі фізичні закони не порушуються, так як універсальне «обмеження швидкості»\(c\) поширюється на інформацію, а не просто точки постійної фази. (Докладніше про цю концепцію див. розділ «Додаткове читання» в кінці цього розділу.)

---

1. Формально «швидкість» - це вектор, який вказує як напрямок, так і швидкість руху. Звичайною практикою є використання термінів «фазова швидкість» та «групова швидкість», хоча ми насправді маємо на увазі лише швидкість руху. Напрямок, звичайно ж, в напрямку розмноження. ↩