1.9: Групова швидкість
- Page ID
- 74201
Тепер ми задаємо наступне питання: Як швидко рухаються хвильові пакети? Дивно, але ми часто виявляємо, що хвильові пакети рухаються зі швидкістю, дуже відмінною від\(c=\omega / k\) фазової швидкості хвилі, що становить хвильовий пакет.
Виявимо, що швидкість руху хвильових пакетів, іменованих груповою швидкістю, задається
\[u=\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} \quad \text { (group velocity). }\label{1.36}\]
Похідна\(\omega(k)\) щодо спочатку\(k\) обчислюється, а потім оцінюється\(k=k_{0}\) за центральним хвильовим номером хвилевого пакету цікавить.
Зв'язок між кутовою частотою і хвильовимчислом для хвилі,\(\omega=\omega(k)\) залежить від типу розглянутої хвилі. Яким би не виявилося це співвідношення в конкретному випадку, воно називається дисперсійним відношенням для розглянутого типу хвилі.
Як приклад розрахунку групової швидкості, припустимо, що ми хочемо знайти швидкість глибоких океанських хвиль пакетів для центральної довжини хвилі\(\lambda_{0}=60 \mathrm{~m}\). Це відповідає центральному хвильовомучислу\(k_{0}=2 \pi \lambda_{0} \approx 0.1 \mathrm{~m}^{-1}\). Фазова швидкість глибоких океанських хвиль становить\(c=(g / k)^{12}\). Однак, оскільки\(c \equiv \omega / k,\) ми знаходимо частоту глибоких океанських хвиль, щоб бути\(\omega=(g k)^{1 / 2}\). Тому групова швидкість є\(u \equiv d \omega / d k=(g / k)^{12} / 2=c / 2\). Для зазначеного центрального хвильового числа знаходимо, що\(u \approx\left(9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} / 0.1 \mathrm{~m}^{-1}\right)^{12} / 2 \approx 5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\). На відміну від цього, фазова швидкість глибоких океанських хвиль з цією довжиною хвилі становить c ≈ 10 м с -1.
Дисперсійні хвилі - це хвилі, в яких швидкість фази змінюється в залежності від хвильового числа. Легко показати, що дисперсійні хвилі мають нерівні фазові та групові швидкості, тоді як ці швидкості рівні для недисперсійних хвиль.
Виведення формули групової швидкості
Тепер ми виведемо рівняння\ ref {1.36}. Найпростіше це зробити для найпростіших хвильових пакетів, а саме тих, що побудовані з суперпозиції всього двох синусоїд. Ми продовжимо, додаючи дві хвилі з повним простором і залежністю від часу:
\[h=\sin \left(k_{1} x-\omega_{1} t\right)+\sin \left(k_{2} x-\omega_{2} t\right)\label{1.37}\]
Після алгебраїчних і тригонометричних маніпуляцій, знайомих з більш ранніх розділів, знаходимо
\[h=2 \sin \left(k_{0} x-\omega_{0} t\right) \cos (\Delta k x-\Delta \omega t)\label{1.38}\]
де, як раніше ми маємо\(k_{0}=\left(k_{1}+k_{2}\right) 2, \omega_{0}=\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) 2, \Delta k=\left(k_{2}-k_{1}\right) 2, \text { and } \Delta \omega=\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) 2\).
Знову подумайте про це як синусоїда частоти ω 0 і wavenumber k 0 модулюється функцією косинуса. У цьому випадку шаблон модуляції рухається зі швидкістю так, щоб аргумент функції косинуса був постійним:
\[\Delta k x-\Delta \omega t=\text { const. }\label{1.39}\]
Диференціювання цього по відношенню до t при утримуванні Δ k і Δ ω постійних виходів
\[u \equiv \frac{d x}{d t}=\frac{\Delta \omega}{\Delta k}\label{1.40}\]
У межі, в якій дельти стають дуже маленькими, це зводиться до похідної
\[u=\frac{d \omega}{d k},\label{1.41}\]
що і є бажаним результатом.
Приклади
Зараз ми проілюструємо деякі приклади фазової швидкості та групової швидкості, показуючи зміщення, отримане в результаті суперпозиції двох синусоїдальних хвиль, заданого Equation\ ref {1.38}, у площині x - t. Це приклад діаграми просторового часу, з якої ми побачимо багато прикладів пізніше.
На верхній панелі малюнка\(\PageIndex{2A}\) показаний недисперсійний випадок, в якому швидкість фази дорівнює груповій швидкості. Біла і чорна області позначають відповідно сильні гребені хвиль і западини (тобто області великих позитивних і негативних зміщень), при цьому сірі вказують на зсув поблизу нуля. Регіони з великими зміщеннями вказують на розташування хвильових пакетів. Таким чином, положення хвиль і хвильових пакетів у будь-який момент часу можуть бути визначені шляхом проведення горизонтальної лінії на графіку в потрібний час і вивчення варіацій зміщення хвиль уздовж цієї лінії. Нижня панель цього малюнка показує зміщення хвилі як функція часу\(t = 0\) як допоміжний засіб для інтерпретації верхньої панелі.\(x\)
Зверніть увагу, що зі збільшенням часу гребені рухаються вправо. Це відповідає руху хвиль всередині хвильових пакетів. Зауважте також, що хвильові пакети, тобто широкі області великих позитивних і негативних амплітуд, рухаються вправо зі збільшенням часу, а також.
Оскільки швидкість - це відстань, переміщена Δ x розділена на минулий час Δ t, нахил лінії на малюнку\(\PageIndex{2A}\)\(\Delta t / \Delta x\), є одним над швидкістю того, що ця лінія представляє. Нахили ліній, що представляють гребені, такі ж, як і нахили ліній, що представляють хвильові пакети в даному випадку, що вказує на те, що обидва рухаються з однаковою швидкістю. Оскільки швидкість руху гребенів хвиль - це фазова швидкість, а швидкість руху хвильових пакетів - групова швидкість, дві швидкості рівні і підтверджений недисперсійний характер цього випадку.
\(\PageIndex{2A}\)На малюнку показана дисперсійна хвиля, в якій групова швидкість вдвічі перевищує фазову швидкість, тоді як на малюнку\(\PageIndex{2B}\) показано випадок, коли групова швидкість фактично протилежна за знаком швидкості фази. Подивіться, чи можете ви підтвердити, що фазові та групові швидкості, помічені на кожному малюнку, відповідають значенням для цих величин, обчислених із заданих частот і хвильових чисел.