1.16: Комутатор

Потрібно бути обережним, щоб дотримуватися правильний порядок роботи операторів. Наприклад,

$$\hat{x}\hat{k} \neq \hat{k}\hat{x} \nonumber$$

проте

$$\hat{x}\hat{\omega} = \hat{\omega}\hat{x} \nonumber$$

У квантовій механіці ми визначаємо комутатор:

$$[\hat{q},\hat{r}]=\hat{q}\hat{r}-\hat{r}\hat{q} \nonumber$$

Ми виявляємо, що оператори$\hat{r}$ і$\hat{\omega}$ їздять тому що$[\hat{x},\hat{\omega}]=0$.

З огляду на операторів$\hat{x}$ і$\hat{k}$:

$$[\hat{x},\hat{k}]=-ix\frac{d}{dx}+i\frac{d}{dx}x \nonumber$$

Щоб спростити це далі, нам потрібно оперувати деякою функцією, f (x):

$$\begin{align*} [\hat{x},\hat{k}]f(x) &=-ix\frac{df}{dx}+i\frac{d}{dx}(xf) \\[4pt] &= -ix\frac{df}{dx}+if\frac{dx}{dx}+ix\frac{df}{dx} \\[4pt] &=if \end{align*} \nonumber$$

Таким чином, оператори$\hat{x}$ і$\hat{k}$ не доїжджають на роботу, тобто

$$[\hat{x},\hat{k}] = i \nonumber$$

Хоча ми використовували перетворення Фур'є, Рівняння (1.10.13) також може бути виведено з відношення (1.16.5) для операторів некомутаційних операторів$\hat{x}$ і$\hat{k}$. Звідси випливає, що всі оператори, які не їздять на роботу, підпадають під аналогічне обмеження на добуток своєї невизначеності. У наступному розділі ми побачимо, що ця межа відома як «принцип невизначеності».

$^{†}$Ми застосували теорему Парсеваля; див. Множини проблем.