Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.16: Комутатор

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31914

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Потрібно бути обережним, щоб дотримуватися правильний порядок роботи операторів. Наприклад,

    \[ \hat{x}\hat{k} \neq \hat{k}\hat{x} \nonumber \]

    проте

    \[ \hat{x}\hat{\omega} = \hat{\omega}\hat{x} \nonumber \]

    У квантовій механіці ми визначаємо комутатор:

    \[ [\hat{q},\hat{r}]=\hat{q}\hat{r}-\hat{r}\hat{q} \nonumber \]

    Ми виявляємо, що оператори\(\hat{r}\) і\(\hat{\omega}\) їздять тому що\([\hat{x},\hat{\omega}]=0\).

    З огляду на операторів\(\hat{x}\) і\(\hat{k}\):

    \[ [\hat{x},\hat{k}]=-ix\frac{d}{dx}+i\frac{d}{dx}x \nonumber \]

    Щоб спростити це далі, нам потрібно оперувати деякою функцією, f (x):

    \[\begin{align*} [\hat{x},\hat{k}]f(x) &=-ix\frac{df}{dx}+i\frac{d}{dx}(xf) \\[4pt] &= -ix\frac{df}{dx}+if\frac{dx}{dx}+ix\frac{df}{dx} \\[4pt] &=if \end{align*} \nonumber \]

    Таким чином, оператори\(\hat{x}\) і\(\hat{k}\) не доїжджають на роботу, тобто

    \[ [\hat{x},\hat{k}] = i \nonumber \]

    Хоча ми використовували перетворення Фур'є, Рівняння (1.10.13) також може бути виведено з відношення (1.16.5) для операторів некомутаційних операторів\(\hat{x}\) і\(\hat{k}\). Звідси випливає, що всі оператори, які не їздять на роботу, підпадають під аналогічне обмеження на добуток своєї невизначеності. У наступному розділі ми побачимо, що ця межа відома як «принцип невизначеності».

    \(^{†}\)Ми застосували теорему Парсеваля; див. Множини проблем.