1.17: Імпульс і енергія

Last updated

Oct 25, 2022
Save as PDF
- 1.16: Комутатор
- 1.18: Принцип невизначеності

Marc Baldo
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Два ключових експерименту зробили революцію в науці на рубежі 20 століття. Обидва експерименти передбачають взаємодію світла і електронів. Ми вже бачили, що електрони найкраще описуються хвильовими пакетами. Аналогічно світло переноситься хвилемпакетом, званим фотоном. Перше явище, фотоелектричний ефект, пояснювалося припущенням, що енергія фотону пропорційна його частоті. Друге явище, ефект Комптона, пояснювалося тим, що фотони несуть імпульс. Це світло повинно володіти властивостями частинок, такими як імпульс був абсолютно несподіваним до появи квантової механіки.

Фотоелектричний ефект

Витягнути електрони з твердого тіла непросто. Вони пов'язані своїм потягом до позитивних ядер. Але якщо ми даємо електрону в досить твердій енергії, ми зможемо подолати енергію зв'язку і звільнити електрон. Мінімальна необхідна енергія відома як робоча функція, Вт.

Знімок екрана 2021-04-15 о 09.41.30. — Малюнок $\PageIndex{16}$ : Фотоелектричний ефект: вище критичної частоти світло може звільняти електрони від твердого тіла.

Шляхом бомбардування металевих поверхонь світлом було помічено, що електрони можуть звільнятися тільки в тому випадку, якщо частота світла перевищила критичне значення. Вище мінімальної частоти електрони звільнялися з більшою кінетичною енергією.

Ейнштейн пояснив фотоефект постулюванням, що у фотона енергія пропорційна частоті:

$E = \hbar\omega \nonumber$

Де $h = 6.62 \times 10^{-34} Js$ є постійною Планка, і скорочено для $\hbar=h/2\pi$ . Зверніть увагу на одиниці для константи Планка — енергія × час. Це корисно пам'ятати, перевіряючи, що ваші квантові розрахунки мають сенс.

Таким чином, кінетична енергія випромінюваних електронів задається

$\text{electron kinetic energy} = \hbar\omega-W \nonumber$

Ця методика досі використовується для зондування енергетичної структури матеріалів.

Зверніть увагу, що ми зазвичай виражаємо енергію електронів в «електронвольтах (еВ). Одиниця СІ для енергії, Джоуль, зазвичай занадто велика для зручного обговорення енергій електронів. Більш зручною одиницею є енергія, необхідна для переміщення одного електрона через різницю потенціалів 1В. Таким чином $1\ eV = q\ J$ , де q - заряд на електроні ( $q \sim 1.602\times 10^{-19}\ C$ ).

Ефект Комптона

Якщо фотон стикається з електроном, спостерігається зміна довжини хвилі і траєкторії фотона. Після зіткнення розсіяний фотон зміщується червоним кольором, тобто його частота зменшується, а довжина хвилі подовжується. Траєкторію і довжину хвилі фотона можна обчислити, припускаючи, що фотон несе імпульс:

$p = \hbar k \nonumber$

де хвильове число k пов'язане з частотою

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c} \nonumber$

де c - швидкість світла.

Знімок екрана 2021-04-15 о 09.51.42, — Малюнок $\PageIndex{17}$ : Зсув довжини хвилі світла після зіткнення з електроном узгоджується з передачею імпульсу від фотона до електрона. Втрата енергії фотона відбивається в червоному зсуві його частоти.

Ці два співвідношення: $E=\hbar \omega$ і суворо $p=\hbar k$ вірні лише для плоских хвиль з точно визначеними значеннями ω і k. В іншому випадку ми повинні використовувати операторів для імпульсу та енергії. Виходячи з операторів, які ми визначили раніше для k і ω, визначаємо оператори імпульсу

$\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} \nonumber$

і енергія

$\hat{E} = i\hbar \frac{d}{dt} \nonumber$

Нагадаємо, що кожен оператор діє на функцію праворуч; і $\hat{p}\psi$ це не обов'язково дорівнює $\psi \hat{p}$ .