4.6: Комутаційні оператори дозволяють нескінченну точність
- Page ID
- 26642
- Підключити принцип невизначеності Гейзенберга з комутаційними відносинами.
- Розвивати навички обчислення комутатора двох операторів.
Якщо два оператори їздять на роботу, то обидві величини можуть бути виміряні одночасно з нескінченною точністю, якщо ні, то існує компроміс у точності вимірювання для однієї величини проти іншої. Це математичне зображення принципу невизначеності Гейзенберга.
Комутаційні оператори
Одним з важливих властивостей операторів є те, що порядок експлуатації має значення. Таким чином в цілому
\[\hat{A}{\hat{E}f(x)} \not= \hat{E}{\hat{A}f(x)} \nonumber \]
якщо два оператори не їздять на роботу. Два оператори комутують, якщо істинно таке рівняння:
\[\left[\hat{A},\hat{E}\right] = \hat{A}\hat{E} - \hat{E}\hat{A} = 0 \nonumber \]
Щоб визначити, чи два оператори комутують спочатку працювати\(\hat{A}\hat{E}\) над функцією\(f(x)\). Потім\(\hat{E}\hat{A}\) оперуйте тією ж функцією\(f(x)\). Якщо отримана однакова відповідь, віднімання двох функцій дорівнюватиме нулю, а два оператори будуть commute.on
Якщо два оператора коммутують, то вони можуть мати однаковий набір власних функцій. За визначенням, два оператори\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) коммутіруют, якщо ефект застосування\(\hat {A}\) потім\(\hat {B}\) такий же, як застосування\(\hat {B}\) тоді\(\hat {A}\), тобто
\[\hat {A}\hat {B} = \hat {B} \hat {A}. \nonumber \]
Наприклад, операції чищення-ваші-зуби і розчісування-ваше волосся коммутіруют, в той час як операції одягаються і приймаючи-а-душ не роблять. Ця теорема дуже важлива. Якщо два оператори комутують і, отже, мають однаковий набір власних функцій, то відповідні фізичні величини можуть бути оцінені або виміряні точно одночасно без обмеження невизначеності. Як вже говорилося раніше, власнізначення операторів відповідають виміряним значенням.
Якщо\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) коммутіруют і\(ψ\) є власною функцією\(\hat {A}\) з власним значенням\(b\), то
\[\hat {B} \hat {A} \psi = \hat {A} \hat {B} \psi = \hat {A} b \psi = b \hat {A} \psi \label {4-49} \]
Рівняння\(\ref{4-49}\) говорить, що\(\hat {A} \psi \) є власною функцією\(\hat {B}\) з власним значенням\(b\), що означає, що коли\(\hat {A}\) працює\(ψ\), вона не може змінюватися\(ψ\). У більшості випадків,\(\hat {A}\) працюючи на\(ψ\) може виробляти постійний час\(ψ\).
\[\hat {A} \psi = a \psi \label {4-50} \]
\[\hat {B} (\hat {A} \psi ) = \hat {B} (a \psi ) = a \hat {B} \psi = ab\psi = b (a \psi ) \label {4-51} \]
Рівняння\(\ref{4-51}\) показує, що рівняння\(\ref{4-50}\) узгоджується з рівнянням\(\ref{4-49}\). Отже,\(ψ\) також є власною функцією\(\hat {A}\) з власним значенням\(a\).
Чи їздять на роботу наступні пари операторів?
- \(\hat{A} = \dfrac{d}{dx} \nonumber\)і\(\hat{E} = x^2 \nonumber\)
- \(\hat{B}= \dfrac {h} {x} \nonumber\)і\(\hat{C}\{f(x)\} = f(x) +3 \nonumber\)
- \(\hat{J} = 3x\)і\(\hat{O} = x^{-1}\)
- Рішення a
-
Це вимагає оцінки\(\left[\hat{A},\hat{E}\right]\), яка вимагає вирішення для\(\hat{A} \{\hat{E} f(x)\} \) і\(\hat{E} \{\hat{A} f(x)\}\) для довільної хвильової функції\(f(x)\) і запитати, чи рівні вони.
\[\hat{A} \{\hat{E} f(x)\} = \hat{A}\{ x^2 f(x) \}= \dfrac{d}{dx} \{ x^2 f(x)\} = 2xf(x) + x^2 f'(x) \nonumber \]
Від продукту правило диференціації.
\[\hat{E} \{\hat{A}f(x)\} = \hat{E}\{f'(x)\} = x^2 f'(x) \nonumber \]
Тепер запитайте, чи рівні вони
\[\left[\hat{A},\hat{E}\right] = 2x f(x) + x^2 f'(x) - x^2f'(x) = 2x f(x) \not= 0 \nonumber \]
Тому два оператори не їздять на роботу.
- Рішення б
- Для цього потрібна оцінка,\(\left[\hat{B},\hat{C}\right]\) як у прикладі Template:index.
\[\hat{B} \{\hat{C}f(x)\} = \hat{B}\{f(x) +3\} = \dfrac {h}{x} (f(x) +3) = \dfrac {h f(x)}{x} + \dfrac{3h}{x} \nonumber \]
\[\hat{C} \{\hat{B}f(x)\} = \hat{C} \{ \dfrac {h} {x} f(x)\} = \dfrac {h f(x)} {x} +3 \nonumber \]
Тепер запитайте, чи рівні вони
\[\left[\hat{B},\hat{C}\right] = \dfrac {h f(x)} {x} + \dfrac {3h} {x} - \dfrac {h f(x)} {x} -3 \not= 0\nonumber \]
Два оператори не їздять на роботу.
- Рішення c
- Для цього потрібна оцінка\(\left[\hat{J},\hat{O}\right]\)
\[\hat{J} \{\hat{O}f(x) \} = \hat{J} \{f(x)3x\} = f(x)3x/x = 3f(x) \nonumber \]
\[\hat{O} \{\hat{J}f(x) \}= \hat{O} \{\dfrac{f(x)}{x}\} = \dfrac{f(x)3x}{x} = 3f(x) \nonumber \]
\[\left[\hat{J},\hat{O}\right] = 3f(x) - 3f(x) = 0 \nonumber \]
Оскільки різниця дорівнює нулю, два оператори коммутують.
Загальний принцип невизначеності Гейзенберга
Хоча це не буде доведено тут, є загальне твердження принципу невизначеності з точки зору комутаційної властивості операторів. Якщо два оператора\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) не їздять на роботу, то невизначеності (стандартні відхилення\(σ\)) у фізичних величинях, пов'язаних з цими операторами, повинні задовольняти
\[\sigma _A \sigma _B \ge \left| \int \psi ^* [ \hat {A} \hat {B} - \hat {B} \hat {A} ] \psi \,d\tau \right| \label{4-52} \]
де інтеграл всередині квадратних дужок називається комутатором, а │ │ позначає модуль або абсолютне значення. Якщо\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) комутувати, то права сторона Рівняння\(\ref{4-52}\) дорівнює нулю, тому або обидва\(σ_A\) і\(σ_B\) можуть бути нулем, і немає обмежень на невизначеності в вимірах власних значень\(a\) і\(b\). Якщо\(\hat {A}\) і\(\hat {B}\) не їздити на роботу, то права сторона Рівняння не\(\ref{4-52}\) буде нульовим, і\(σ_A\) ні не\(σ_B\) може бути нулем, якщо інше не нескінченне. Отже, і a, і b не можуть бути власними значеннями однакових хвильових функцій і не можуть бути виміряні одночасно з довільною точністю.
Покажіть, що комутатор для позиції та імпульсу в одному вимірі дорівнює\(–i ħ\) і що правий бік Рівняння,\(\ref{4-52}\) отже, дорівнює\(ħ/2\) дати\(\sigma _x \sigma _{px} \ge \frac {\hbar}{2}\).
Додатки
Оператори дуже поширені з різними цілями. Вони використовуються для з'ясування енергії хвильової функції за допомогою рівняння Шредінгера.
\[\hat{H}\psi = E\psi \nonumber \]
Вони також допомагають пояснити спостереження, зроблені в експериментально. Прикладом цього є взаємозв'язок між величиною моменту моменту і складовими.
\[\left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_x\right] = \left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_y\right] = \left[\hat{L}^2, \hat{L}^2_z\right] = 0 \nonumber \]
Однак компоненти самі по собі не добираються. Додатковою властивістю пасажирів, які їздять на роботу, є те, що обидві величини можуть бути виміряні одночасно. Таким чином, величина моменту моменту і ОДНА з складових (зазвичай z) може бути відома одночасно, однак, НІЧОГО не відомо про інші компоненти.
Фізичні величини, що відповідають операторам, які їздять на роботу, можуть бути виміряні одночасно з будь-якою точністю.
Визначте, чи комутують наступні два оператори:
\[\hat{K} = \alpha \displaystyle \int {[1]}^{[\infty]} d[x] \nonumber \]
і
\[\hat{H} = d/dx\nonumber \]
- Рішення
-
Оцінити
\[\left[\hat{K},\hat{H}\right]\nonumber \]
Визначте, чи комутують наступні два оператори:
\[\hat{I} = 5\nonumber \]
і
\[\hat{L} = \displaystyle \int_{[1]}^{[\infty]} d[x]\nonumber \]
- Рішення
-
Оператор ідентичності,\( \hat{I} \) є дійсним числом і комутує з усім. Таким чином, ці два оператори їздять на роботу. Ми також можемо безпосередньо оцінити комутатор:
\[\left[\hat{I},\hat{L}\right]\nonumber \]
\[ \left[\hat{I},\hat{L}\right]\nonumber f(x) = 5 \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) d(x) \nonumber - \displaystyle \int_{1}^{\infty} 5 f(x) d(x)\nonumber = 0 \nonumber \]
Покажіть, що компоненти кутового моменту не їздять на роботу.
\[ \begin{align*} \hat{L}_x &= -i \hbar \left[ -\sin \left(\phi \dfrac {\delta} {\delta \theta} \right) - \cot (\Theta) \cos \left( \phi \dfrac {\delta} {\delta \phi} \right) \right] \\[4pt] \hat{L}_y &= -i \hbar \left[ \cos \left(\phi \dfrac {\delta} {\delta \theta} \right) - \cot (\Theta) \cos \left( \phi \dfrac {\delta} {\delta \phi} \right) \right] \\[4pt] \hat{L}_z &= -i\hbar \dfrac {\delta} {\delta\theta} \end{align*} \nonumber \]
- Рішення
-
Це вимагає оцінки наступних комунікаторів:
\[\left[\hat{L}_z,\hat{L}_x\right] = i\hbar \hat{L}_y \nonumber \]
\[\left[\hat{L}_x,\hat{L}_y\right] = i\hbar \hat{L}_z \nonumber \]
\[\left[\hat{L}_y,\hat{L}_z\right] = i\hbar \hat{L}_x \nonumber \]
Посилання
- Гоберг, І. Основна теорія операторів; Джерело: Бостон, 2001
- Маккуаррі, доктор квантової хімії, 2-е видання; Університетські наукові книги: Саусаліто, 2008
- Шехтер, М. Операторні методи в квантовій механіці; Dover Publications, 2003