4.8: Походження перетворення Фур'є

Цілі навчання

• Цей модуль показує, як отримати сцинтиляційне та корисне перетворення Фур'є.

Ряди Фур'є чітко відкривають частотну область як цікавий і корисний спосіб визначення того, як схеми і системи реагують на періодичні вхідні сигнали. Чи можемо ми використовувати подібні методи для неперіодичних сигналів? Яка реакція фільтра на одиночний імпульс? Вирішення цих питань вимагає знайти спектр Фур'є всіх сигналів, як періодичних, так і неперіодичних. Потрібне визначення для спектра Фур'є сигналу, періодичного чи ні. Цей спектр обчислюється так званим перетворенням Фур'є.

Нехай s _T (t) є періодичним сигналом, що має період T. Ми хочемо розглянути, що відбувається зі спектром цього сигналу, оскільки ми дозволяємо періоду ставати довшим і довшим. Позначимо спектр для будь-якого передбачуваного значення періоду c _k (T). Розраховуємо спектр за знайомою формулою:

$$c_{k}(T)=\frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s_{T}(t)e^{-i\frac{2\pi kt}{T}}dt \nonumber$$

де ми використовували симетричне розміщення інтервалу інтеграції щодо походження для подальшої зручності деривації. Дозволяти f бути фіксованою частотою, що дорівнює k/t; ми змінюємо індекс частоти k пропорційно, коли ми збільшуємо період. Визначте

$$S_{T}(f)\equiv Tc_{k}(T)=\frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}s_{T}(t)e^{-i2\pi kt}dt \nonumber$$

виготовлення відповідних рядів Фур'є

$$s_{T}(t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }S_{T}(f)e^{i2\pi ft}\frac{1}{T} \nonumber$$

Зі збільшенням періоду спектральні лінії стають ближче один до одного, стаючи континуумом. Тому,

$$\lim_{T \to \infty}s_{T}(t)\equiv s(t)=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi ft}df \nonumber$$

де

$$S(f)= \int_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-(i2\pi ft)}dt \nonumber$$

S (f ) S (f) - перетворення Фур'є s (t) (перетворення Фур'є символічно позначається верхнім регістром символу сигналу) і визначається для будь-якого сигналу, для якого інтеграл сходиться.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Обчислимо перетворення Фур'є імпульсного сигналу, p (t).

$$P(f)=\int_{-\infty }^{\infty }p(t)e^{-(i2\pi ft)}dt=\int_{0}^{\Delta }e^{-(i2\pi ft)}dt=\frac{1}{-(i2\pi f)}\left ( e^{-(i2\pi f\Delta )} -1\right ) \nonumber$$

$$P(f)=e^{-(i2\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f} \nonumber$$

Зверніть увагу, наскільки цей результат нагадує вираз для коефіцієнтів рядів Фур'є періодичного імпульсного сигналу.

Малюнок 4.8.1 Верхній графік показує величину спектра рядів Фур'є для випадку T = 1 з перетворенням Фур'є p (t), показаним у вигляді пунктирної лінії. Для нижньої панелі ми розширили період до T = 5, зберігаючи тривалість імпульсу фіксованою на рівні 0,2, і обчислили його коефіцієнти рядів Фур'є.

На малюнку 4.8.1 показано, як збільшення періоду дійсно призводить до континууму коефіцієнтів, і що перетворення Фур'є відповідає тому, що стає континуум. Кількість

$$\frac{\sin (t)}{t} \nonumber$$

має спеціальну назву, функція sinc (вимовляється «раковина»), і позначається sinc (t). Таким чином, величина імпульсного перетворення Фур'є дорівнює

$$\left | \Delta sinc (\pi f\Delta ) \right | \nonumber$$

Перетворення Фур'є пов'язує зображення часової та частотної областей сигналу один з одним. Пряме перетворення Фур'є (або просто перетворення Фур'є) обчислює представлення частотної області сигналу з його варіанта часової області. Див рівняння нижче. Обернене перетворення Фур'є (Equation) знаходить подання часової області з частотної області. Замість того, щоб явно писати необхідний інтеграл, ми часто символічно виражаємо ці обчислення перетворення як

$$\mathfrak{F}(s)\; \; and\; \; \mathfrak{F}^{-1}(S) \nonumber$$

відповідно.

$$\mathfrak{F}(s)=S(f)=\int_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-(i2\pi ft)}dt \nonumber$$

$$\mathfrak{F}^{-1}(s)=s(t)=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi ft}df \nonumber$$

Ми повинні мати

$$s(t)=\mathfrak{F}^{-1}(\mathfrak{F(s(t))}) \nonumber$$

$$S(f)=\mathfrak{F}(\mathfrak{F}^{-1}(S(f))) \nonumber$$

Ці результати дійсно дійсні за незначними винятками.

Примітка

Нагадаємо, що ряд Фур'є для квадратної хвилі дає значення для сигналу при розривах, рівне середньому значенню стрибка. Це значення може відрізнятися від того, як сигнал визначається у часовій області, але нерівність у точці справді незначна.

Показати, що ви «повернетеся туди, де ви почали», важко з аналітичної точки зору, і ми не будемо намагатися тут. Зверніть увагу, що пряме і зворотне перетворення відрізняються тільки знаком показника.

Вправа$\PageIndex{1}$

Різні ознаки показника означають, що деякі цікаві результати виникають, коли ми використовуємо неправильний знак. Що таке $$\mathfrak{F}(S(f)) \nonumber$$

Іншими словами, використовуйте неправильний знак експоненти при оцінці зворотного перетворення Фур'є.

Рішення

$$\mathfrak{F}(S(f))=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{-(i2\pi ft)}df=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi f(-t)}df=s(-t) \nonumber$$

Властивості перетворення Фур'є та деяких корисних пар перетворень наведено у супровідних таблицях. Особливо важливою серед цих властивостей є теорема Парсеваля, яка стверджує, що потужність, обчислена в будь-якій області, дорівнює потужності в іншій.

$$\int_{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)dt=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \left | S(f) \right | \right )^{2}df \nonumber$$

Практичне значення має властивість спряженої симетрії: Коли s (t) є дійсним, спектр на негативних частотах дорівнює комплексному сполученню спектра на відповідних позитивних частотах. Отже, нам потрібно лише побудувати ділянку позитивної частоти спектра (ми можемо легко визначити залишок спектра).

Вправа$\PageIndex{1}$

Скільки операцій перетворення Фур'є потрібно застосувати для повернення вихідного сигналу:

$$\mathfrak{F}(...(\mathfrak{F}(s)))=s(t) \nonumber$$

Рішення

$$\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(s(t)))))=s(t) \nonumber$$

Ми знаємо, що

$$\mathfrak{F}(S(f))=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{-(i2\pi ft)}df=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi f(-t)}df=s(-t) \nonumber$$

Отже, два перетворення Фур'є, застосовані до s (t), дають s (-t). Нам потрібно ще два, щоб повернути нас туди, де ми почали.

Зверніть увагу, що математичні зв'язки між версіями часової області та частотної області одного і того ж сигналу називаються перетвореннями. Ми перетворюємо (в нетехнічному значенні слова) сигнал з одного уявлення в інше. Ми виражаємо пари перетворення Фур'є як:

$$s(t)\leftrightarrow S(f) \nonumber$$

Представлення часової та частотної області сигналу однозначно пов'язані один з одним. Таким чином, сигнал «існує» як у часовій, так і в частотній областях, з перемиканням перетворення Фур'є між ними. Ми можемо визначити сигнал, що несе інформацію в часовій або частотній областях; мудрому інженеру належить використовувати простіший з двох.

Поширене непорозуміння полягає в тому, що хоча сигнал існує як у часовій, так і в частотній областях, єдина формула, що виражає сигнал, повинна містити лише час або частоту: Обидва не можуть бути присутніми одночасно. Ця ситуація відображає те, що відбувається зі складними амплітудами в ланцюгах: Коли ми виявляємо, як працюють та розробляються системи зв'язку, ми будемо визначати сигнали повністю у частотній області, не знаходячи явно варіантів їх часової області. Ця ідея показана в іншому модулі, де ми визначаємо коефіцієнти рядів Фур'є відповідно до переданої літери. Таким чином, сигнал, хоча і найбільш знайомий у часовій області, дійсно може бути визначено однаково (а іноді і легше) у частотній області. Наприклад, імпеданси залежать від частоти, і змінна часу не може з'явитися.

Ми дізнаємося, що пошук лінійної, інваріантної системи у часовій області найлегше обчислити шляхом визначення спектра вхідного сигналу, виконання простого обчислення в частотній області та зворотного перетворення результату. Крім того, розуміння систем зв'язку та обробки інформації вимагає глибокого розуміння структури сигналу та того, як системи працюють як у часовій, так і в частотній областях.

Єдина складність обчислення перетворення Фур'є будь-якого сигналу виникає, коли ми маємо періодичні сигнали (в будь-якій області). Розуміючи, що ряд Фур'є є особливим випадком перетворення Фур'є, ми просто обчислюємо коефіцієнти рядів Фур'є, і будуємо їх разом зі спектрами неперіодичних сигналів на одній і тій же частотній осі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

У комунікаціях дуже важливою операцією на сигналі s (t) є його модуляція амплітуди. Використовуючи цю операцію більше як приклад, а не розробляти комунікаційні аспекти тут, ми хочемо обчислити перетворення Фур'є - спектр -

$$(1+s(t))\cos (2\pi f_{c}t) \nonumber$$

Таким чином,

$$(1+s(t))\cos (2\pi f_{c}t)=\cos (2\pi f_{c}t)+s(t)\cos (2\pi f_{c}t) \nonumber$$

Для спектра cos (2π f _c t) використовуємо ряд Фур'є. Його період дорівнює 1/f _c, а його єдиними ненульовими коефіцієнтами Фур'є є c _{+ 1} = 1/2. Другий термін не є періодичним, якщо s (t) не має того ж періоду, що і синусоїда. Використовуючи відношення Ейлера, спектр другого члена можна вивести як

$$s(t)\cos (2\pi f_{c}t)=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi ft}df\cos (2\pi f_{c}t) \nonumber$$

Використовуючи відношення Ейлера для косинуса,

$$s(t)\cos (2\pi f_{c}t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi (f+f_{c})t}df+\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{i2\pi (f-f_{c})t}df \nonumber$$

$$s(t)\cos (2\pi f_{c}t)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }S(f-f_{c})e^{i2\pi ft}df+\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }S(f+f_{c})e^{i2\pi ft}df \nonumber$$

$$s(t)\cos (2\pi f_{c}t)=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{S(f-f_{c})+S(f+f_{c})}{2}e^{i2\pi ft}df \nonumber$$

Використовуючи властивість унікальності перетворення Фур'є, ми маємо

$$\mathfrak{F}(s(t)\cos (2\pi f_{c}t))=\frac{S(f-f_{c})+S(f+f_{c})}{2} \nonumber$$

Цей компонент спектру складається з спектра вихідного сигналу, затриманого та розширеного за частотою. Спектр амплітудно-модульованого сигналу показаний на малюнку 4.8.2.

Малюнок 4.8.2 Сигнал, який має спектр трикутної форми, показаний на верхньому графіку. Його найвища частота - найбільша частота, що містить потужність - Вт Гц. Після амплітудної модуляції результуючий спектр має «лінії», відповідні компонентам ряду Фур'є при + (f _c) і вихідний трикутний спектр зміщений до компонентів при + (f _c) і масштабується на 1/2.

Зверніть увагу, як на цьому малюнку сигнал s (t) визначається в частотній області. Щоб знайти його представлення в часовій області, ми просто використовуємо зворотне перетворення Фур'є.

Вправа$\PageIndex{1}$

Що таке сигнал s (t), який відповідає спектру, показаному на верхній панелі малюнка 4.8.2?

Рішення

Сигнал є зворотним перетворенням Фур'є трикутної форми спектра і дорівнює:

$$s(t)=W\left ( \frac{\sin (\pi W_{t})}{\pi W_{t}} \right )^{2} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Яка потужність в х (t), амплітудно-модульований сигнал? Спробуйте зробити розрахунок як у часовій, так і в частотній областях.

Рішення

Результат найлегше знайти в формулі спектра: потужність в пов'язаної з сигналом частини x (t) становить половину потужності сигналу s (t).

У цьому прикладі ми називаємо сигнал s (t) сигналом базової смуги, оскільки його потужність міститься на низьких частотах. Такі сигнали, як мова та середні показники Доу-Джонса, є сигналами базової смуги. Пропускна здатність сигналу базової смуги дорівнює W, найвища частота, на якій він має потужність. Оскільки спектр x (t) обмежений смугою частот, не близькою до початку (ми припускаємо f _c» W), у нас є смуговий сигнал. Пропускна здатність смугового сигналу - це не найвища його частота, а діапазон позитивних частот, де сигнал має потужність. Таким чином, в даному прикладі пропускна здатність становить 2 Вт Гц. Чому пропускна здатність сигналу повинна залежати від його спектральної форми, стане зрозуміло, як тільки ми розробимо системи зв'язку.