4.9: Лінійні інваріантні системи часу

Цілі навчання

• Застосування періодичного введення до лінійних, інваріантних в часі систем.

Коли ми застосовуємо періодичний вхід до лінійної, інваріантної за часом системі, вихід є періодичним і має коефіцієнти рядів Фур'є, рівні добутку частотної характеристики системи та вхідних коефіцієнтів Фур'є (Фільтрація періодичних сигналів). Те, як ми вивели спектр неперіодичного сигналу від періодичних, дає зрозуміти, що такий же результат працює, коли вхід не є періодичним.

Примітка

Якщо x (t) служить входом в лінійну, інваріантну в часі систему, що має частотну характеристику H (f), то спектр виходу дорівнює X (f) H (f).

Приклад$\PageIndex{1}$:

Давайте використаємо це співвідношення вхід-вихід частотної області для лінійних, інваріантних в часі систем, щоб знайти формулу реакції RC-ланцюга на імпульсний вхід. У нас є вирази для спектру входу та частотної характеристики системи.

$$P(f)=e^{-(i\pi f\Delta )}( \frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f} \nonumber$$

$$H(f)=\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber$$

Таким чином, перетворення Фур'є на виході дорівнює

$$Y(f)=e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber$$

Ви не знайдете цього перетворення Фур'є в нашій таблиці, і необхідний інтеграл важко оцінити як вираз стоїть. Ця ситуація вимагає кмітливості та розуміння властивостей перетворення Фур'є. Зокрема, нагадаємо ставлення Ейлера до синусоїдального терміна і відзначаємо той факт, що множення на комплексну експоненцію в частотній області становить тимчасову затримку. Давайте на мить зробимо вираз для Y (f) складніше.

$$e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}=e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{e^{i\pi f\Delta }-e^{-(i\pi f\Delta )}}{i2\pi f} \nonumber$$

$$e^{-(i\pi f\Delta )}\frac{\sin (\pi f\Delta )}{\pi f}=\frac{1}{i2\pi f}\left ( 1- e^{-(i\pi f\Delta )}\right ) \nonumber$$

Отже,

$$Y(f)=\frac{1}{i2\pi f}\left ( 1- e^{-(i\pi f\Delta )}\right )\frac{1}{1+i2\pi fRC} \nonumber$$

Таблиця властивостей перетворення Фур'є пропонує думати про цей вираз як про добуток термінів.

• Множення на 1/i2πf означає інтеграцію.
• Множення на комплексну експоненціальну $$e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$ середню затримку на Δ секунди у часовій області.
• Термін $$1-e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$ означає, що у часовій області відняти сигнал із затримкою часу від його вихідного.
• Обернене перетворення частотної характеристики дорівнює $$\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t) \nonumber$$

Ми можемо перевести кожен з цих продуктів частотної області в операції часової області в будь-якому порядку, який нам подобається, тому що порядок, в якому відбувається множення, не впливає на результат. Почнемо з добутку 1/i2πf (інтеграція в часовій області) і функції перенесення:

$$\frac{1}{i2\pi f}\frac{1}{1+i2\pi fRC}\leftrightarrow \left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )u(t) \nonumber$$

Середній член у виразі для Y (f) складається з різниці двох членів: константи 1 і комплексної експоненціальної $$e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$

Через лінійність перетворення Фур'є ми просто віднімаємо результати.

$$Y(f)\leftrightarrow \left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right )u(t)-\left ( 1-e^{-\frac{t-\Delta }{RC}} \right )u(t-\Delta ) \nonumber$$

Відзначимо, що при затримці сигналу ми обережно включали крок блоку. Другий член в цьому результаті не починається, поки t = Δ. Таким чином, форми хвиль, показані на прикладі фільтрації періодичних сигналів, згаданому вище, є експоненціальними. Ми говоримо, що постійна часу експоненціально загасаючого сигналу дорівнює часу, необхідному для зменшення на 1/e від його початкового значення. Таким чином, постійна часу піднімається і спадає частин виходу дорівнює добутку опору ланцюга і ємності.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вивести результат фільтра, враховуючи члени у наведеному вище рівнянні Y (f) у заданому порядку. Інтегруйте останній, а не перший. Ви повинні отримати ту ж відповідь.

Рішення

Обернене перетворення частотної характеристики дорівнює $$\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t) \nonumber$$

Множення частотної характеристики $$1-e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$ засобами відніміть з вихідного сигналу його відкладену за часом версію. Затримка версії часової області частотної характеристики на Δ призводить до $$\frac{1}{RC}e^{-\frac{(t-\Delta) }{RC}}u(t-\Delta ) \nonumber$$

Віднімання з незатриманого сигналу дає

$$\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u(t)-\frac{1}{RC}e^{-\frac{(t-\Delta) }{RC}}u(t-\Delta ) \nonumber$$

Тепер інтегруємо цю суму. Оскільки інтеграл суми дорівнює сумі складових інтегралів (інтеграція лінійна), ми можемо розглянути кожен окремо. Оскільки інтеграція та затримка сигналу є лінійними, інтеграл затримки сигналу дорівнює відкладеній версії інтеграла. Інтеграл наведено в наведеному вище прикладі.

У цьому прикладі ми широко використовували таблицю, щоб знайти зворотне перетворення Фур'є, спираючись здебільшого на те, що множення певними факторами, як 1/i2πf і $$e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$ означало. Ми по суті трактували множення на ці фактори так, ніби вони були передавальними функціями деякої фіктивної схеми. Передавальна функція 1/i2πf відповідала схемі, яка інтегрувалася, і тій $$e^{-(i2\pi f\Delta )} \nonumber$$ , яка затримувалася. Ми навіть неявно інтерпретували функцію передачі ланцюга як спектр вхідного сигналу! Такий підхід до пошуку зворотних перетворень - розбивання складного виразу на продукти та суми простих компонентів - є способом інженера розбити проблему на кілька підзадач, які набагато легше вирішити, а потім склеїти результати разом. По дорозі ми можемо змусити систему служити входом, але в правилі

$$Y(f)=X(f)H(f) \nonumber$$

який термін є вхідним, а який є передавальною функцією - це лише нотаційна матерія (ми позначили один фактор X, а інший - H).

Функції передачі

Поняття передавальної функції застосовується далеко за межами лінійних ланцюгів. Хоча ми ще не маємо всього, що нам потрібно, щоб продемонструвати результат, всі лінійні, інваріантні в часі системи мають частотно-доменне відношення вхідного вхідного перетворення Фур'є та передавальної функції системи. Таким чином, лінійні схеми - це окремий випадок лінійних, інваріантних в часі систем. Коли ми вирішуємо більш складні проблеми передачі, маніпулювання та отримання інформації, ми будемо вважати, що лінійні системи, що мають певні властивості (функції передачі), не турбуючись про те, яка схема має бажану властивість. На цьому етапі ви можете бути стурбовані тим, що цей підхід є глибоким, і це справедливо. Пізніше ми покажемо, що, залучаючи програмне забезпечення, нам дійсно не потрібно турбуватися про побудову функції передачі з елементів схеми та операційних підсилювачів.

Комутативні функції передачі

Ще одне цікаве поняття виникає з комутативного властивості множення (експлуатується в наведеному вище прикладі). Ми можемо досить довільно вибрати порядок, в якому застосовувати кожен продукт. Розглянемо каскад з двох лінійних, інваріантних в часі систем. Тому що перетворення Фур'є вихідних даних першої системи:

$$X(f)H_{1}(f) \nonumber$$

і він служить входом другої системи, вихідний спектр каскаду:

$$X(f)H_{1}(f)H_{2}(f) \nonumber$$

Тому що цей продукт також дорівнює

$$X(f)H_{2}(f)H_{1}(f) \nonumber$$

той же результат дає каскад, що має лінійні системи в протилежному порядку. Крім того, каскад діє як єдина лінійна система, що має передавальну функцію

$$H_{1}(f)H_{2}(f) \nonumber$$

Цей результат стосується і інших конфігурацій лінійних, інваріантних у часі систем; див. цю проблему частотної області. Інженери використовують цю властивість, визначаючи, яку функцію передачі вони хочуть, а потім розбиваючи її на компоненти, розташовані відповідно до стандартних конфігурацій. Використовуючи той факт, що схеми операційних підсилювачів можуть бути з'єднані каскадно з передавальною функцією, що дорівнює добутку передавальної функції його компонента (див. цю задачу обробки аналогового сигналу), ми знаходимо готовий спосіб реалізації конструкцій. Тепер ми розуміємо, чому операційні реалізації передавальних функцій так важливі.