4.3: Класична серія Фур'є

Цілі навчання

• Сигнали можуть складатися накладенням нескінченної кількості синусоїдних і косинусних функцій.
• Коефіцієнти суперпозиції залежать від представленого сигналу і еквівалентні знанню самої функції.

Класичний ряд Фур'є як похідний спочатку виражав періодичний сигнал (період T) в терміні гармонічно пов'язаних синусів і косинусів.

$$s(t)=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+\sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right ) \nonumber$$

Комплексні ряди Фур'є та синус-косинусні ряди ідентичні, кожен із яких представляє спектр сигналу. Коефіцієнти Фур'є, a _k і b _k, виражають дійсну і уявну частини спектра відповідно, тоді як коефіцієнти c _k комплексного ряду Фур'є виражають спектр як величину і фаза. Прирівнюючи класичний ряд Фур'є до складного ряду Фур'є, додатковий множник двох і складний сполучений стає необхідним для зв'язку коефіцієнтів Фур'є в кожному.

$$c_{k}=\frac{1}{2}\left ( a_{k}-ib_{k} \right ) \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Виведіть цей зв'язок між коефіцієнтами двох рядів Фур'є.

Рішення

Запишіть коефіцієнти комплексного ряду Фур'є в декартовій формі як:

$$c_{k}=A_{k}+iB_{k} \nonumber$$

Тепер підставляємо в вираз складний ряд Фур'є.

$$\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=\sum_{k=-\infty }^{\infty }\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}} \nonumber$$

Спрощення кожного члена в сумі за формулою Ейлера,

$$\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=\left ( A_{k}+iB_{k}\right )\left ( \cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )+i\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )\right ) \nonumber$$

$$\left ( A_{k}+iB_{k}\right ) e^{i\frac{2\pi kt}{T}}=A_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )-B_{k} \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )+i\left ( A_{k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )+B_{k} \cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )\right ) \nonumber$$

Тепер ми об'єднаємо терміни, які мають однаковий частотний показник за величиною. Оскільки сигнал є реальним значенням, коефіцієнти комплексних рядів Фур'є мають сполучену симетрію:

$$c_{-k}=\overline{c_{k}}\; or \; A_{-k}=\overline{A_{k}}\; and\; B_{-k}=\overline{B_{k}} \nonumber$$

Після того, як ми додамо позитивно-індексовані та негативно-індексовані терміни, кожен член ряду Фур'є стає:

$$2A_{k}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right )-2B_{k} \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T}\right ) \nonumber$$

Для отримання класичного ряду Фур'є ми повинні мати:

$$2A_{k}=a_{k}\; and\; 2B_{k}=-b_{k} \nonumber$$

Так само, як і у комплексних рядах Фур'є, ми можемо знайти коефіцієнти Фур'є, використовуючи властивості ортогональності синусоїдів. Зверніть увагу, що косинус і синус гармонічно пов'язаних частот, навіть однієї і тієї ж частоти, ортогональні.

$$\forall k,l,k\in \mathbb{Z}l\in \mathbb{Z}:\left ( \int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=0\right ) \nonumber$$

$$\int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{T}{2} & \text{ if } (k=l)\wedge (k\neq 0)\wedge (l\neq 0) \\ 0 & \text{ if } (k\neq l)\vee (k=0=l) \end{cases} \nonumber$$

$$\int_{0}^{T}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{T}{2} & \text{ if } (k=l)\wedge (k\neq 0)\wedge (l\neq 0) \\ T & \text{ if } k=0=l \\ 0 & \text{ if } k\neq l \end{cases} \nonumber$$

Ці відносини ортогональності випливають з наступних важливих тригонометричних ідентичностей.

$$\sin (\alpha )\sin (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right ) \nonumber$$

$$\cos (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right ) \nonumber$$

$$\sin (\alpha )\cos (\beta )=\frac{1}{2}\left ( \sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right ) \nonumber$$

Ці ідентичності дозволяють замінити суму синусів та/або косинусів для їх добутку. Кожен член в сумі можна інтегрувати, помітивши одне з двох важливих властивостей синусоїдів.

• Інтеграл синусоїди за цілу кількість періодів дорівнює нулю.
• Інтеграл квадрата синусоїди одиничної амплітуди за період T дорівнює T/2.

Щоб скористатися ними, давайте, наприклад, помножимо ряд Фур'є для сигналу на косинус l ^-ї гармоніки:

$$\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right ) \nonumber$$

та інтегрувати.

Ідея полягає в тому, що, оскільки інтеграція є лінійною, інтеграція буде просіяти всі, крім терміну, що включає _l.

$$\int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt=\int_{0}^{T}a_{0}\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt+\sum_{k=1}^{\infty }a_{k}\int_{0}^{T}\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt+\sum_{k=1}^{\infty }b_{k}\int_{0}^{T}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt \nonumber$$

Перший і третій члени дорівнюють нулю; у другому єдиний ненульовий член в сумі виходить, коли індекси k і l рівні (але не нуль), в цьому випадку отримуємо:

$$\frac{a_{1}T}{2} \nonumber$$

$$If\; \; k=0=l\; \; a_{0}T\; is\; obtained \nonumber$$

Отже,

$$\forall l,l\neq 0:\left ( a_{l}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi lt}{T} \right )dt\right ) \nonumber$$

Всі коефіцієнти Фур'є можна знайти аналогічно.

$$a_{0}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)dt \nonumber$$

$$\forall k,k\neq 0:\left ( a_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\cos \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt\right ) \nonumber$$

$$b_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T}s(t)\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Вираз для ₀ називається середнім значенням s (t). Чому?

Рішення

Середнє значення набору чисел - це сума, поділена на кількість термінів. Розглядаючи інтеграл сигналу як межу суми Рімана, інтеграл відповідає середньому.

Вправа$\PageIndex{1}$

Що таке ряд Фур'є для квадратної хвилі з одиничною амплітудою?

Рішення

Встановлено, що комплексні коефіцієнти рядів Фур'є задаються

$$c_{k}=\frac{2}{i\pi k} \nonumber$$

Коефіцієнти чисті уявні, що означає _k = 0. Коефіцієнти синусоїдних домішок задаються:

$$b_{k}=-\left ( 2\Im (c_{k}) \right ) \nonumber$$

так що:

$$b_{k}=\begin{cases} \frac{4}{\pi k} & \text{ if } k\; odd \\ 0 & \text{ if } k\; even \end{cases} \nonumber$$

Таким чином, ряд Фур'є для квадратної хвилі дорівнює

$$sq(t)=\sum_{k\in \left \{ 1,3,... \right \}}\frac{4}{\pi k}\sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right ) \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{1}$:

Знайдемо подання рядів Фур'є для напівхвильової випрямленої синусоїди.

$$s(t)=\begin{cases} \sin \frac{2\pi t}{T} & \text{ if } 0\leq t\leq \frac{T}{2} \\ 0 & \text{ if } \frac{T}{2}\leq t< T \end{cases} \nonumber$$

Почніть з синусоїдних членів у ряді; щоб знайти b _k, ми повинні обчислити інтеграл

$$b_{k}=\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt \nonumber$$

Використання наших тригонометричних тотожностей перетворює наш інтеграл добутку синусоїдів в суму інтегралів окремих синусоїдів, які набагато легше оцінити.

$$\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{T}{2}}\cos \left ( \frac{2\pi (k-1)t}{T} \right ) -\cos \left ( \frac{2\pi (k+1)t}{T} \right )dt \nonumber$$

$$\int_{0}^{\frac{T}{2}}\sin \left ( \frac{2\pi t}{T} \right ) \sin \left ( \frac{2\pi kt}{T} \right )dt=\begin{cases} \frac{1}{2} & \text{ if } k=1 \\ 0 & \text{ if } otherwise \end{cases} \nonumber$$

Таким чином,

$$b_{1}=\frac{1}{2} \nonumber$$

$$b_{2}=b_{3}=...=0 \nonumber$$

До термінів косинуса. Середнє значення, яке відповідає a ₀, дорівнює 1/π. Решту коефіцієнтів косинусів знайти нескладно, але дають складний результат:

$$a_{k}=\begin{cases} -\left ( \frac{2}{\pi } \frac{1}{k^{2}-1}\right ) & \text{ if } k\in \left \{ 2,4,... \right \} \\ 0 & \text{ if } k\; odd \end{cases} \nonumber$$

Таким чином, ряд Фур'є для напівхвильової випрямленої синусоїди має ненульові умови для середньої, фундаментальної і парної гармонік.